Jautājumu piemēri par atstarpju aizpildīšanas noteikumiem
Vietas aizpildīšanas noteikums jeb izvietojuma noteikums ir matemātikas un varbūtību teorijas pamatjēdziens, kas ir ļoti noderīgs daudzās situācijās. Šo noteikumu parasti izmanto objektu sakārtošanai noteiktā secībā vai dažādos izkārtojumos. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus piemērus problēmām, kas saistītas ar vietas aizpildīšanas noteikumu, sniedzot detalizētus risinājumus katram no tiem.
Pendahuluan
Telpu aizpildīšana ir izplatīta metode, ko izmanto kombinatorikā — matemātikas jomā, kas pēta objektu izvietojumu, kombinēšanu un atlasi. Viens no kombinatorikas pamatprincipiem ir reizināšanas likums, kas nosaka, ka, ja procesā ir vairāki posmi un katrā posmā ir noteikts skaits izvēļu, tad kopējo iespējamo izvietojumu skaitu var atrast, reizinot izvēļu skaitu katrā posmā.
Piemēram, ja mums ir divi posmi, kur pirmajam posmam ir \(m\) izvēles iespējas un otrajam posmam ir \(n\) izvēles iespējas, tad kopējais iespējamo izkārtojumu skaits ir \(m \x n\).
Pielietosim šo koncepciju dažu piemēru problēmu risināšanai.
1. piemērs: Grāmatu izvietošana plauktā
Jautājums:
Ir 5 dažādas grāmatas un grāmatu plaukts ar 5 aizpildāmām vietām. Cik veidos šīs piecas grāmatas var sakārtot plauktā?
Diskusija:
Šajā gadījumā mums piecas grāmatas ir jāsakārto piecās dažādās telpās. Šī ir permutācijas problēma, jo secība ir izšķiroša. Šīs problēmas risināšanai varam izmantot telpas aizpildīšanas likumu vai reizināšanas likumu.
1. Pirmajai istabai mums ir 5 grāmatu izvēles iespējas.
2. Pēc tam, kad pirmajā istabā ir novietota viena grāmata, otrajā istabā ir palikušas 4 grāmatu izvēles iespējas.
3. Trešajai istabai mums ir atlikušas 3 grāmatu izvēles iespējas utt.
Kopējā iestatījumu skaita vienādojums ir:
\[5 \x 4 \x 3 \x 2 \x 1 = 5! = 120 \]
Tātad, ir 120 veidi, kā sakārtot piecas grāmatas.
2. piemērs: Vārdu veidošana no dažādiem burtiem
Jautājums:
Cik dažādus vārdus var izveidot, izmantojot visus burtus vārdā "MATHEMATICS", tos neatkārtojot?
Diskusija:
Vispirms mums jānoskaidro, cik burtu ir vārdā "MATHEMATICS". Tajā ir 11 burti, daži no tiem atkārtojas. Atkārtotie burti ir:
– M pat 2
– Pat 3
– T pat 2
– Pārējie burti (E, I, K) katrs parādās vienu reizi.
Atkārtotiem elementiem mēs izmantojam permutācijas formulu, proti:
\[ \frac{n!}{n_1! \reizes n_2! \reizes \ldots \reizes n_k!} \]
kur \(n \) ir kopējais elementu (burtu) skaits un \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) ir katra atšķirīgā elementa atkārtojumu skaits.
Ar vārdu “MATEMĀTIKA”:
\[n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Tātad vārdu skaits, ko var izveidot, ir:
\[ \frac{11!}{2! \reizes 3! \reizes 2! \reizes 1! \reizes 1! \reizes 1!} = \frac{39916800}{2 \reizes 6 \reizes 2 \reizes 1 \reizes 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Ir 1 663 200 dažādu vārdu, kurus var izveidot.
3. piemērs: Kombināciju skaita noteikšana valodā Martabak
Jautājums:
Martabaka pārdevējs piedāvā piecus pildījumus (sieru, šokolādi, zemesriekstus, banānu un rozīnes). Ja klients vēlas izvēlēties trīs no pieciem pildījumiem savam martabakam, cik dažādas kombinācijas viņš var izvēlēties?
Diskusija:
Šī ir kombinēšanas problēma, nevis permutācija, jo secība nav svarīga. Mēs izmantojam kombinēšanas formulu:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
kur \(n \) ir kopējais izvēļu skaits un \(k \) ir izdarīto izvēļu skaits.
Šajā gadījumā n = 5 un k = 3, tātad:
\[C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \reiz 2!} = \frac{120}{6 \reiz 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Ir 10 dažādas kombinācijas, lai izvēlētos 3 saturu no 5 iespējām.
4. piemērs: Dalībnieku izkārtojums spēlē
Jautājums:
Skriešanas sacensībās piedalās 8 dalībnieki. Cik veidos var ierindoties labāko 3 finišētāju vidū?
Diskusija:
Šī ir permutācijas problēma bez atkārtošanās, jo pozīcija nozīmē, ka secībai ir liela nozīme. Mēs izmantojam permutācijas formulu:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Šajā gadījumā n = 8 un k = 3, tad:
\[P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Tātad, ir 336 veidi, kā ieņemt 8 dalībnieku pirmās trīs pozīcijas.
Šajā rakstā mēs esam apsprieduši vairākus uzdevumu piemērus un to risinājumus, izmantojot atstarpes aizpildīšanas noteikumus dažādās situācijās: sākot no grāmatu izvietošanas plauktā līdz sacensību uzvarētāja noteikšanai. Izpratne par šiem pamatprincipiem dos jums lielāku pārliecību par dažādu kombinatorikas un varbūtības uzdevumu risināšanu, ar kuriem jūs varētu saskarties.
