Bootstrap metodas statistikoje
Pendahuluanas
Statistika yra mokslas, kurio tikslas – rinkti, analizuoti, interpretuoti ir pateikti duomenis. Statistinė analizė dažnai remiasi tam tikromis prielaidomis arba tikimybių teorijomis, kurioms reikalingi dideli imčių dydžiai, kad būtų galima gauti tikslius įvertinimus. Tačiau daugeliu atvejų gauti dideles imtis nėra nei praktiška, nei įmanoma. Čia labai naudingas pakartotinės imties sudarymo metodas – „bootstrap“.
„Bootstrap“ metodą pirmą kartą 1979 m. pristatė Bradley Efronas, ir dėl savo lankstumo ir gebėjimo gauti tikslius daugelio populiacijos parametrų įverčius, nereikalaujant daryti konkrečių pasiskirstymo prielaidų, jis tapo vienu populiariausių statistikos metodų. Šiame straipsnyje bus aprašyti pagrindiniai „bootstrap“ metodo principai, jo įgyvendinimo etapai ir pateikti keli jo taikymo statistikoje pavyzdžiai.
Pagrindiniai „Bootstrap“ metodo principai
„Bootstrap“ metodas yra neparametrinis metodas, leidžiantis įvertinti statistikos (pvz., vidurkio, medianos, dispersijos) pasiskirstymą iš naujo imant pradinius duomenis. Pagrindinis šio metodo principas yra naudoti esamus duomenis (pradinę imtį), kad būtų galima imituoti daug naujų duomenų rinkinių su pakartotine imtimi.
Toliau pateikiami pagrindiniai „bootstrap“ metodo veiksmai:
1. Pakartotinis atrankos ėmimas: iš pradinio N dydžio duomenų rinkinio, atliekant pakeitimą, iš naujo imamas atrankos ėmimas N kartų. Tai reiškia, kad analizei pasirinkti elementai gali būti pasirinkti daugiau nei vieną kartą.
2. Statistinių duomenų apskaičiavimas: Apskaičiuokite pageidaujamus kiekvieno pakartotinio mėginio statistinius duomenis (pvz., vidurkį, medianą).
3. Pakartokite procesą: pakartokite 1 ir 2 veiksmus kelis kartus (pvz., B = 1000 ar daugiau), kad gautumėte jus dominančios statistikos „bootstrap“ skirstinį.
4. Įvertinimas ir išvados: naudokite šį „bootstrap“ skirstinį pasikliautiniesiems intervalams sudaryti, hipotezėms patikrinti arba kitai išvadinei statistikai sukurti.
„Bootstrap“ įgyvendinimo etapai
„Bootstrap“ metodą galima išsamiau paaiškinti šiais etapais:
1. Pakartotinis mėginių ėmimas
Pakartotinis imties ėmimas su pakeitimu yra „bootstrap“ metodo esmė. Naudodami pradinius duomenis, sukuriame daug naujų duomenų rinkinių, vadinamų „bootstrap“ pavyzdžiais. Kiekvienas „bootstrap“ pavyzdys yra N kartų imties ėmimo iš pradinio N dydžio duomenų rinkinio rezultatas, bet su pakeitimu, todėl pradinio imties elementai „bootstrap“ pavyzdžiuose gali pasirodyti daugiau nei vieną kartą.
Contoh:
Jei turime pradinius duomenis \[3, 5, 7, 9\], tai vienas galimas „bootstrap“ pavyzdys galėtų būti \[3, 9, 9, 5\].
2. „Bootstrap“ statistikos skaičiavimas
Kiekvienam „bootstrap“ metodui apskaičiuokite norimą statistiką. Tarkime, kad mus domina vidurkis, apskaičiuotume kiekvieno „bootstrap“ metodo vidurkį. Jei šį procesą pakartosime B kartų, turėsime B vidurkio įverčių.
3. „Bootstrap“ paskirstymo formavimas
Sudėjus visus iš B bootstrap imčių apskaičiuotus statistinius duomenis, sudarome norimos statistikos bootstrap skirstinį. Šis skirstinys naudojamas statistikos imties skirstiniui aproksimuoti.
4. Statistinė išvada
Iš šio „bootstrap“ skirstinio galime daryti įvairias statistines išvadas. Pavyzdžiui, galime nustatyti pasikliautinuosius intervalus, imdami procentiles iš „bootstrap“ skirstinio, arba patikrinti hipotezes, žiūrėdami į iš šio skirstinio gautą p reikšmę.
Bootstrap metodo naudojimo pavyzdys
Kad susidarytume aiškesnį vaizdą, panagrinėkime keletą pavyzdžių, kaip „bootstrap“ metodas naudojamas praktiniuose kontekstuose.
1 pavyzdys: Vidutinis pasikliautinasis intervalas
Tarkime, kad turime 10 asmenų kūno svorio imties duomenis: \[60, 62, 67, 70, 65, 68, 64, 60, 66, 63\].
1. Iš šių duomenų imame 1000 vienodo dydžio „bootstrap“ pavyzdžių, pavyzdžiui:
– 1 pavyzdys: \[62, 67, 70, 67, 64, 62, 63, 65, 68, 60\]
– 2 pavyzdys: \[60, 62, 70, 70, 63, 64, 63, 65, 68, 62\]
- ir t. t.…
2. Iš kiekvieno „bootstrap“ imties apskaičiuojame vidurkį:
– Imties vidurkis 1: (62+67+70+67+64+62+63+65+68+60) / 10
– Imties vidurkis 2: (60+62+70+70+63+64+63+65+68+62) / 10
- ir t. t.…
3. Pakartoję šį veiksmą 1000 kartų, gausime 1000 vidutinių svorių.
4. Turėdami šiuos 1000 vidutinių duomenų, sudarome „bootstrap“ skirstinį ir imame 2.5 ir 97.5 procentiles, kad sukurtume 95 % pasikliautinį intervalą.
2 pavyzdys: Kelių medianų hipotezių testas
Tarkime, kad norime patikrinti, ar dviejų duomenų rinkinių medianos yra lygios. Galime panaudoti „bootstrapping“ metodą, kad sukurtume medianų skirtumo skirstinį.
1. Iš kiekvieno pradinio duomenų rinkinio paimkite „bootstrap“ pavyzdžius.
2. Apskaičiuokite kiekvieno „bootstrap“ metodo medianos skirtumą.
3. Sukurkite „bootstrap“ medianų skirtumų skirstinį.
4. Patikrinkite, ar nulis patenka į skirstinio patikimumo intervalą.
„Bootstrap“ metodo privalumai ir apribojimai
Kelebihanas
– Neparametrinis: nereikalauja prielaidų apie duomenų pasiskirstymą.
– Efektyvumas mažiems mėginiams: efektyvus net ir mažiems mėginiams.
– Lankstus: gali būti taikomas įvairiems statistiniams duomenims, įskaitant vidurkį, medianą, regresijos koeficientą ir kt.
– Įgyvendinimo paprastumas: Tobulėjant skaičiavimo technologijoms, „bootstrap“ metodą gana lengva įgyvendinti naudojant statistinę programinę įrangą, tokią kaip R arba Python.
Apribojimai
– Skaičiavimo sąnaudos: gali pareikalauti daug skaičiavimo išteklių, ypač naudojant didelius duomenų kiekius arba daug „bootstrap“ pavyzdžių (B).
– Imties įvairovė: tinka tik toms imtims, kurios pakankamai reprezentatyvios pradinei populiacijai.
– Neapsaugo nuo šališkumo: jei pradiniai duomenys yra šališki, visi „bootstrap“ pavyzdžiai turės tą patį šališkumą.
Išvada
„Bootstrap“ metodas siūlo galingą ir lankstų sprendimą daugeliui statistinių išvadų problemų. Dėl savo gebėjimo efektyviai įvertinti įvairių statistinių rodiklių pasiskirstymą nedarant prielaidų apie kokį nors konkretų pasiskirstymą, „bootstrap“ metodas tapo vertinga duomenų analizės priemone. Nepaisant apribojimų, jo teikiama nauda dažnai nusveria skaičiavimo sąnaudas. Tinkamai naudojamas „bootstrap“ metodas gali suteikti išsamių ir tikslesnių įžvalgų apie statistinę analizę.
