Kaip apskaičiuoti kvartiles, deciles ir procentiles statistiniuose duomenyse
Statistikoje dažnai reikia žinoti reikšmės vietą duomenų rinkinyje. Vien vidurkio ar medianos apskaičiavimo nepakanka, nes šie matai neapibūdina, kaip duomenys pasiskirstę ir kaip stebėjimas lyginamas su kitais. Čia praverčia kvartiliai, deciliai ir procentiliai. Šie trys yra padėties matai, kurie padalija surūšiuotus duomenis į lygias dalis. Šiame straipsnyje aptariamas apibrėžimas, bendrieji veiksmai ir kaip apskaičiuoti kvartilius, decilius ir procentilius tiek pavieniams, tiek sugrupuotiems duomenims.
-
1. Pagrindinė koncepcija: duomenys turi būti rūšiuojami
Prieš skaičiuojant kvartiles, deciles ar procentiles, svarbiausias žingsnis yra surūšiuoti duomenis nuo mažiausio iki didžiausio. Surūšiavus duomenis, galime nustatyti kvartilių, decilių ar procentilių vietą pagal jų indekso pozicijas.
Apskritai:
– Kvartiliai duomenis padalija į 4 dalis.
– Deciliai duomenis padalija į 10 dalių.
– Procentiliai padalija duomenis į 100 dalių.
Praktiškai kvartiliai, deciliai ir procentiliai dažniausiai naudojami testų balų, pajamų duomenų, antropometrinių matavimų (ūgio / svorio) analizei ir veiklos vertinimui.
-
2. Kaip apskaičiuoti kvartilius (Q1, Q2, Q3)
A. Kvartiliai pavieniuose duomenyse (nesugrupuoti)
Kvartilius sudaro:
– Q1: apatinis kvartilis (25 % duomenų yra žemiau jo)
– Q2: mediana (50 %)
– Q3: viršutinis kvartilis (75 %)
Vieno duomenų kvartilio apskaičiavimo veiksmai:
1. Rūšiuokite duomenis.
2. Apskaičiuokite kvartilio poziciją naudodami pozicijos formulę:
– Padėtis Q1 = \((n+1)/4\)
– Padėtis Q2 = \(2(n+1)/4\) arba \((n+1)/2\)
– Padėtis Q3 = ∫(3(n+1)/4)
Jei pozicija yra sveikasis skaičius, imkite reikšmę toje pozicijoje. Jei pozicija yra trupmena, interpoliuokite (imkite reikšmę tarp dviejų artimiausių duomenų taškų).
Trumpas pavyzdys:
Rūšiuoti duomenys: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Pozicija Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → yra tarp 2 ir 3 duomenų.
Taigi Q1 yra tarp 6 ir 7. Interpoliacija:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Kvartiliai sugrupuotuose duomenyse (dažnio skirstinys)
Sugrupuotų duomenų (pvz., klasių intervalų) kvartiliai apskaičiuojami pagal formulę:
\[
Q_k = L + ∫(\frac{\frac{k}{4}n – F\)}{f}) × c
\]
Informacija:
– \(Q_k\): k-tasis kvartilis (k = 1, 2, 3)
– \(L\): kvartilio klasės apatinė riba
– \(n\): duomenų skaičius (bendras dažnis)
– \(F\): kaupiamasis dažnis prieš kvartilio klasę
– \(f\): dažnis kvartilinėje klasėje
– \(c\): klasės trukmė
Bendrieji žingsniai:
1. Sukurkite kaupiamąjį dažnį.
2. Nustatykite kvartilio vietą: \(k/4 \x n\).
3. Raskite klasę, kurioje yra ta pozicija.
4. Įveskite į formulę.
-
3. Kaip apskaičiuoti deciles (nuo D1 iki D9)
Deciliai duomenis padalija į 10 dalių taip:
– \(D_1\) nurodo apatinę 10 % duomenų ribą,
– \(D_5\) yra lygus medianai,
– \(D_9\) nurodo 90 % duomenų ribą.
A. Decilės pavieniuose duomenyse
Dešimtainio pozicijos formulė:
\[
\text{Pozicija } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
su (k = 1,2, taškai, 9).
Gavus poziciją, reikšmės ėmimo metodas yra toks pat kaip ir kvartilio atveju: jei ji sveika, imama tiesiogiai, jei trupmeninė – interpoliuojama.
-
B. Decilės sugrupuotuose duomenyse
Dešimtainė formulė sugrupuotiems duomenims:
\[
D_k = L + ∫(∫(k₀n – F₀)}{f) × c
\]
Aprašymas toks pat kaip kvartilio, tik daliklis yra 10.
Žingsnis:
1. Apskaičiuokite \(k/10 \x n\).
2. Nustatykite decilinę klasę pagal kaupiamąjį dažnį.
3. Įdėkite į formulę.
Deciliai dažnai naudojami ekonominėje analizėje, pavyzdžiui, žmonių pajamas skirstant į 10 grupių (1 decilis reiškia skurdžiausią, o 10 decilis – turtingiausią).
-
4. Kaip apskaičiuoti procentiles (nuo P1 iki P99)
Procentiliai yra detalesni, nes jie padalija duomenis į 100 dalių. Reikšmė P25 = Q1, P50 = mediana, o P75 = Q3. Tai reiškia, kad kvartiliai iš tikrųjų yra ypatingas procentilių atvejis.
A. Pavienių duomenų procentiliai
Procentilės pozicijos formulė:
\[
\text{Pozicija } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
su (k = 1,2, taškai, 99).
Procedūra ta pati: rūšiuokite duomenis, apskaičiuokite poziciją, tada paimkite reikšmę arba interpoliuokite.
-
B. Grupuotų duomenų procentiliai
Grupuotų duomenų procentilio formulė:
\[
P_k = L + ∫(∫(k₀n – F₀)}{f) × c
\]
Žingsniai yra identiški decilių / kvartilių žingsniams:
1. Nustatykite padėtį (k/100 × n).
2. Raskite kaupiamojo dažnio procentilio klasę.
3. Naudokite formulę.
Procentiliai dažnai naudojami akademiniuose ir sveikatos vertinimuose. Pavyzdžiui, vaiko ūgis ties 80-uoju procentiliu reiškia, kad vaikas yra aukštesnis nei 80 % jo amžiaus vaikų.
-
5. Svarbūs patarimai ir dažniausios klaidos
1. Duomenys turi būti rūšiuojami (ypač pavieniai duomenys). Be rūšiavimo kvartiliai / deciliai / procentiliai neturi prasmės.
2. Jei naudojate tolydžiąsias sąvokas, būtinai sugrupuotuose duomenyse naudokite klasių briaunas (ne klasių ribas).
3. Kaupiamasis dažnis turi būti teisingas, nes kvartilio / decilio / procentilio klasė nustatoma pagal kaupiamąjį dažnį.
4. Atkreipkite dėmesį į klasės ilgį (c). Klasės ilgis negali būti neteisingas, nes tai turi įtakos skaičiavimo rezultatams.
5. Interpoliacija yra svarbi, kai pozicijos nėra suapvalintos. Daugelis studentų iš karto suapvalina pozicijas, nors tai gali sumažinti tikslumą.
-
6. Pennutup
Kvartiliai, deciliai ir procentiliai yra svarbios statistinės priemonės duomenų pasiskirstymui suprasti. Kvartiliai tinka paprastoms apibendrinimams (pvz., dėžutinėje diagramoje), deciliai yra naudingi išsamesniems grupavimo metodams, pavyzdžiui, pajamų analizei, o procentiliai padeda įvertinti labai konkretaus asmens padėtį populiacijoje. Suprasdami pagrindinius veiksmus – duomenų rūšiavimą, padėties nustatymą ir tinkamų formulių naudojimą pavieniams arba grupuotiems duomenims – galite tiksliau ir užtikrinčiau apskaičiuoti kvartiles, deciles ir procentiles.
Jei norite, galiu pridėti pilną sugrupuotos duomenų lentelės pavyzdį (intervalas, dažnis, kaupiamasis dažnis) ir tada išsamiai apskaičiuoti Q1, D7 ir P85, kad būtų lengviau praktikuotis.
