Sukamasis judesys – problemos ir sprendimai

Sukamasis judesys – problemos ir sprendimai

Sukimo momentas

1. 140 cm ilgio sija. Siją veikia trys jėgos F.₁ = 20 Š, Š₂ = 10 N ir F₃ = 40 N, o kryptis ir padėtis parodyta paveikslėlyje apačioje. Koks yra sukimo momentas dėl ko sija sukasi apie savo masės centrą?

Žinomas:

Masės centras yra sijos centre.

Sijos ilgis (l) = 140 cm = 1.4 metro

1 jėga (F₁) = 20 N, svirties petys 1 (l₁) = 70 cm = 0.7 metro

2 jėga (F₂) = 10 N, svirties petys 2 (l₂) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metro

3 jėga (F₃) = 40 N, svirties petys 3 (l₃) = 70 cm = 0.7 metro

Ieškoma: Sukimo momento dydis

sprendimas:

Sukimo momentas 1 suka siją pagal laikrodžio rodyklę, todėl sukimo momentui 1 priskiriamas neigiamas ženklas.

τ₁ =F₁ l₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Sukimo momentas 2 suka siją prieš laikrodžio rodyklę, todėl sukimo momentui 2 priskiriamas teigiamas ženklas.

τ₂ =F₂ l₂ = (10⁻¹⁴ N)(0.3 m) = 3 N m

Sukimo momentas 3 suka siją pagal laikrodžio rodyklę, todėl jam priskiriamas teigiamas ženklas.

τ₃ =F₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Grynasis sukimo momentas:

Στ = –14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = –39 Nm

Sukimo momento dydis yra 39 Nm. Sijos sukimosi kryptis yra pagal laikrodžio rodyklę, todėl jai priskiriamas neigiamas ženklas.

2. Koks yra grynasis sukimo momentas, veikiantis siją? Sukimosi ašis taške D. (sin 53^o = 0.8)

Žinomas:

Sukimosi ašis taške D

F₁ = 10⁻⁶ N ir l⁻¹⁵₁ = r₁ sin θ = (40 cm)(sin 53^o) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metro

F₂ = 10√2 N ir l₂ = r₂ sin θ = (20 cm)(sin 45^o) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metrų

F₃ = 20⁻⁶ N ir l⁻¹⁵₃ = r₁ sin θ = (10 cm)(sin 90^o) = (0.1 m)(1) = 0.1 metro

Ieškoma: Grynasis sukimo momentas

sprendimas:

τ₁ =F₁ l₁ = (10⁻¹⁸ N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Sukimo momentas 1 suka siją prieš laikrodžio rodyklę, todėl sukimo momentui 1 priskiriame teigiamą ženklą)

τ₂ =F₂ l₂ = (10√2 N)(0.1√2 m) = -2 Nm

(2-asis sukimo momentas suka siją pagal laikrodžio rodyklę, todėl 2-ajam sukimo momentui priskiriame neigiamą ženklą)

τ₃ =F₂ l₂ = (20⁻¹⁸ N)(0.1 m) = 2 Nm

(Sukimo momentas 3 suka siją prieš laikrodžio rodyklę, todėl sukimo momentui 3 priskiriame teigiamą ženklą)

Grynasis sukimo momentas:

Στ = τ₁ – τ₁ + τ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Koks yra grynasis sukimo momentas, jei sukimosi ašis taške D. (sin 53^o = 0.8)

Žinomas:

Sukimosi ašis taške D.

Atstumas tarp F₁ ir sukimosi ašį (r_AD) = 40 cm = 0.4 m

Atstumas tarp F₂ ir sukimosi ašį (r_BD) = 20 cm = 0.2 m

Atstumas tarp F₃ ir sukimosi ašį (r_CD) = 10 cm = 0.1 m

F₁ = 10 niutonų

F₂ = 10√2 Niutonas

F₃ = 20 niutonų

Be 53^o = 0.8

Ieškoma: Grynasis sukimo momentas

sprendimas:

Jėgos momentas. 1

Šv₁ = (F₁)(r_AD 53. nuodėmė^o) = (10⁻¹⁸ N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Sukimo momentas 1 suka siją prieš laikrodžio rodyklę, todėl sukimo momentui 1 priskiriame teigiamą ženklą)

Jėgos momentas 2

Šv₂ = (F₂)(r_BD 45. nuodėmė^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(2-asis sukimo momentas suka siją pagal laikrodžio rodyklę, todėl 2-ajam sukimo momentui priskiriame neigiamą ženklą)

Jėgos momentas 3

Šv₃ = (F₃)(r_CD 90. nuodėmė^o) = (20⁻¹⁸ N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Sukimo momentas 2 suka siją prieš laikrodžio rodyklę, todėl sukimo momentui 3 priskiriame teigiamą ženklą)

Grynasis sukimo momentas:

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 niutonmetro

Inercijos momentas

4. Vielos ilgis = 12 m, l₁ = 4 m. Nepaisykite laido masės. Kokia yra inercijos momentas sistemos.

Žinomas:

Masė A (m_A) = 0.2 kg

B masė (m_B) = 0.6 kg

Atstumas tarp A ir sukimosi ašies (r_A) = 4 metrų

Atstumas tarp B ir sukimosi ašies (r_B) = 12 – 4 = 8 metrai

Ieškoma: Sistemos inercijos momentas

sprendimas:

A inercijos momentas

I_A = (m_A)(r_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 kg m²

B inercijos momentas

I_B = (m_B)(r_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 kg m²

Sistemos inercijos momentas:

Aš = aš_A + I_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m²

Rotacijos dinamika

5. 6 N jėga veikia virvę, apvyniotą aplink skriemulį, kurio masė M = 5 kg, o spindulys R = 20 cm. Koks yra skriemulio kampinis pagreitis? Skriemulys yra vientisas cilindras.

Žinomas:

Jėga (F) = 6 niutonai

Masė (M) = 5 kg

Spindulys (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Ieškoma: Kampinis pagreitis (α)

sprendimas:

Jėgos momentas:

τ = FR = (6 niutonai) (0.2 metro) = 1.2 N m

Kietojo cilindro inercijos momentas:

I = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 kg) (0.2 m)²

I = 1/2 (5 kg) (0.04 m²)²)

Aš = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m².

Kampinis pagreitis:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s^-2

6. 4 kg masės luitas kabo ant virvės, apvyniotos aplink 8 kg masės ir 10 cm spindulio skriemulį. Gravitacijos pagreitis yra 10 m/s.^-2 . Koks yra bloko tiesinis pagreitis? Skriemulys yra vientisas cilindras.

Žinomas:

Skriemulio masė (m) = 8 kg

Skriemulio spindulys (r) = 10 cm = 0.1 m

Bloko masė (m) = 4 kg

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/s²

Svoris (s) = mg = (4 kg) (10 m/s²) = 40 kg m/s² = 40 niutonų

Ieškoma: Bloko laisvo kritimo pagreitis

sprendimas:

Kietojo cilindro inercijos momentas:

I = 1/2 MR² = 1/2 (8 kg) (0.1 m²)² = (4 kg)(0.01 m²²) = 0.04 kg m²

Jėgos momentas:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Kampinis pagreitis:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Linijinis pagreitis:

a = r α = (0.1) (100) = 10 m/s²

7. Kaladėlė, kurios masė yra m, kabanti ant virvės, apvyniotos aplink skriemulį. Jei laisvas kritimas Bloko pagreitis yra am/s², koks yra skriemulio inercijos momentas?

Žinomas:

svoris = w = mg

Svirties ranka = R

Kampinis pagreitis = α

Bloko laisvo kritimo pagreitis = a ms^-2

Ieškoma: Skriemulio inercijos momentas (I)

sprendimas:

Ryšys tarp linijinio pagreičio ir kampinio pagreičio:

a = Rα

α = a / R

Inercijos momentas:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a^-1

Kampinis momentas

8. 0.2 gramo dalelė juda apskritimu pastoviu 10 m/s greičiu. Apskritimo spindulys yra 3 cm. Koks yra dalelės kampinis momentas?

Žinomas:

Dalelių masė (m) = 0.2 gramo = 2 x 10^-4 kg

Kampinis greitis (ω) = 10 rad s^-1

Spindulys (r) = 3 cm = 3 x 10^-2 metrų

Ieškoma: Dalelės kampinis momentas

sprendimas:

Kampinio momento lygtis:

L = Iω

I = kampinis momentas, I = inercijos momentas, ω = kampinis greitis

Inercijos momentas (dalelėms):

Aš = Ponas.² = (2 x 10^-4 )(3 x 10^-2)² = (2 x 10^-4 )(9 x 10^-4) = 18 x 10^-8

Kampinis momentas:

L = I ω = (18 x 10^-8)(10 rad./s^-1) = 18 x 10^-7 kg m² s^-1

1. Kas yra sukamasis judėjimas?
   • atsakymasSukamasis judėjimas reiškia objekto judėjimą aplink fiksuotą ašį. Tai judėjimo rūšis, kai kiekvienas objekto taškas juda apskritimu aplink ašį.
2. Kaip linijinis greitis yra susijęs su kampiniu greičiu sukamajame judesyje?
   • atsakymasLinijinis greitis ($v$) taško besisukančio objekto atstumas yra tiesiogiai proporcingas jo atstumui ($r$) nuo sukimosi ašies ir kampinio greičio ($\omega$) objekto. Ryšys pateikiamas taip $v=r\cdot \omega$.
3. Kas yra inercijos momentas ir kaip jis susijęs su sukamuoju judėjimu?
   • atsakymasInercijos momentas yra masės sukimosi analogas tiesiaeigiame judėjime. Jis matuoja objekto pasipriešinimą jo sukimosi būsenos pokyčiams. Inercijos momentas priklauso tiek nuo objekto masės, tiek nuo jos pasiskirstymo sukimosi ašies atžvilgiu.
4. Kaip pirmasis Niutono judėjimo dėsnis taikomas sukamajam judėjimui?
   • atsakymasLygiai taip pat, kaip tiesiaeigiu judesiu judantis objektas išlieka judesyje, nebent jį veikia išorinė jėga, sukamasis objektas išliks toje būsenoje, nebent jį veikia išorinis sukimo momentas.
5. Kokia yra giracijos spindulio reikšmė?
   • atsakymasSukimosi spindulys rodo objekto masės pasiskirstymą nuo jo sukimosi ašies. Iš esmės jis apibūdina, kaip toli nuo ašies turėtų būti sukoncentruota visa objekto masė, kad jos inercijos momentas būtų toks pat kaip ir pradinio pasiskirstymo atveju.
6. Kas yra kampinis momentas ir kaip jis išsaugomas?
   • atsakymasKampinis momentas yra linijinio momento sukimosi ekvivalentas. Jis yra objekto inercijos momento ir kampinio greičio sandauga. Uždaroje sistemoje bendras kampinis momentas išlieka pastovus, nebent jį veikia išorinis sukimo momentas, o tai pabrėžia kampinio momento tvermės dėsnį.
7. Kaip sukimo momentas veikia sukamąjį judėjimą?
   • atsakymasSukimo momentas yra jėgos sukimosi ekvivalentas. Jis sukelia objekto sukamojo judesio pokyčius. Ryšys pateiktas antrajame Niutono sukimosi dėsnyje: $\tau =I\cdot \alpha$, Kur $\tau$ yra sukimo momentas, $I$ yra inercijos momentas, ir $\alpha$ yra kampinis pagreitis.
8. Kuo masės centras skiriasi nuo sukimosi centro?
   • atsakymasNors jie gali sutapti, masės centras yra taškas, kuriame galima laikyti, kad visa objekto masė yra sutelkta atliekant tiesinio judėjimo skaičiavimus, o sukimosi centras yra taškas (arba ašis), aplink kurią objektas sukasi.
9. Koks yra centripetalinės jėgos vaidmuo sukamajame judesyje?
   • atsakymasCentripetalinė jėga yra grynoji jėga, veikianti objektą, judantį apskritimu, nukreiptu į sukimosi centrą. Ji yra atsakinga už tai, kad objektas išliktų išlenktoje trajektorijoje ir neleistų jam judėti tiesia linija dėl inercijos.

10. Kaip sukimosi kinetinė energija yra susijusi su inercijos momentu ir kampiniu greičiu?

    • atsakymasSukimosi kinetinė energija yra energija, atsirandanti dėl objekto sukimosi apie ašį. Ji pateikiama pagal formulę: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Kur $I$ yra inercijos momentas ir $\omega$ yra kampinis greitis.