Laukiama binominio skirstinio vertė
Binominis skirstinys yra vienas iš dažniausiai statistikoje ir tikimybių teorijoje sutinkamų diskrečiųjų tikimybių skirstinių. Šis skirstinys apibūdina sėkmių skaičių nepriklausomų dvejetainių bandymų serijoje (bandymų, kuriuose yra tik du rezultatai: sėkmė arba nesėkmė). Norint geriau suprasti binominį skirstinį, svarbu suprasti tikėtinos vertės sąvoką, kuri apibūdina vidutinę pakartotinio bandymo vertę per ilgą laiką. Šiame straipsnyje bus apžvelgta tikėtinos vertės sąvoka binominio skirstinio kontekste.
Binominio pasiskirstymo apibrėžimas
Binominis skirstinys atsiranda tais atvejais, kai atliekame daug identiškų ir nepriklausomų bandymų, ir kiekvienas bandymas turi du vienas kitą paneigiančius rezultatus, paprastai vadinamus „sėkme“ ir „nesėkme“. Pavyzdžiui, monetos metimas (galva arba uodega), atsakymas į egzamino klausimą (teisinga arba klaidinga) arba medicininis tyrimas (išgydymas arba nepagydymas).
Binominį skirstinį apibrėžia du parametrai:
– n , bandymų skaičius.
– p , kiekvieno bandymo sėkmės tikimybė.
Grubiai tariant, jei X yra atsitiktinis kintamasis, vaizduojantis sėkmių skaičių per n bandymų, tai X atitinka binominį skirstinį su parametrais n ir p, žymimą X ~ Binomial(n, p).
Tikimybės funkcija
Binominio skirstinio tikimybės funkcija yra tokia:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
mano:
– \( \binom{n}{k} \) yra binominis koeficientas, kuris apskaičiuojamas taip: \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k \) yra norimas sėkmių skaičius.
– \(n \) yra bandymų skaičius.
– \(p \) yra kiekvieno bandymo sėkmės tikimybė.
– \( (1-p) \) yra kiekvieno bandymo nesėkmės tikimybė.
Laukiama vertė
Tikimybių skirstinio laukiama vertė arba vidurkis yra vienas iš svarbiausių centrinės vietos matų. Binominio skirstinio atveju atsitiktinio kintamojo X, einančio po Binomial(n, p), laukiama vertė yra:
_[E(X) = np_]
Laukiamos vertės įrodymas
Norėdami suprasti, kodėl binominio skirstinio laukiama vertė yra np, galime panaudoti laukiamos vertės tiesiškumo savybę ir pamatyti, kaip dvejetainiai kintamieji sumuojasi ir įneša savo indėlį.
Apibrėžkime \(X \) kaip sėkmių skaičių n dvejetainių bandymų. Tiksliau, tegu \(X_i \) yra atsitiktinis kintamasis, žymintis i-tojo bandymo rezultatą, kur \(X_i = 1 \), jei i-tasis bandymas yra sėkmingas, ir \(X_i = 0 \), jei jis nesėkmingas. Tada \(X \) galime užrašyti taip:
\[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Kadangi kiekvienas \(X_i \) yra dvejetainis kintamasis, kurio sėkmės tikimybė yra p, tikėtina \(X_i \) reikšmė yra:
\[E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Laukiamai X vertei galime naudoti laukiamos vertės tiesiškumo savybę:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + ≤ √ + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ⋅ dots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + ₀ + p \]
_[E(X) = np_]
Tai rodo, kad binominio skirstinio laukiama vertė yra np.
Iliustracinis pavyzdys
Panagrinėkime atvejį, kai teisingą monetą apverčiame 10 kartų. Paklauskime, kokia būtų monetų apvertimų, kai iškrenta galva, skaičiaus tikėtina vertė.
Šiuo atveju:
– n = 10 (monetos metimų skaičius)
– p = 0.5 (tikimybė gauti „hev“, nes moneta teisinga)
Taigi, tikėtina vertė yra:
\[E(X) = np = 10 × 0.5 = 5 \]
Tai reiškia, kad jei ilguoju laikotarpiu 10 kartų pakartotinai apversime monetą, vidutiniškai 5 kartus iškris mūsų galva.
Dispersija ir standartinis nuokrypis
Be laukiamos vertės, taip pat svarbu suprasti binominio skirstinio dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Binominio skirstinio dispersija \( \sigma^2 \) ir standartinis nuokrypis \( \sigma \) yra tokie:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
[\sigma = sqrt{np(1-p)}]
Dispersija matuoja, kiek duomenys nukrypsta nuo laukiamos vertės. Standartinis nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis ir taip pat matuoja duomenų sklaidą, bet tais pačiais vienetais kaip ir pradiniai duomenys.
Išvada
Binominis skirstinys yra pagrindinė statistikos ir tikimybių sąvoka, dažnai sutinkama įvairiose realaus pasaulio srityse – nuo verslo iki socialinių mokslų ir biologijos. Binominio skirstinio laukiama vertė, apskaičiuojama kaip np, suteikia svarbių įžvalgų apie vidutinį sėkmių skaičių dvejetainių bandymų serijoje. Suprasdami laukiamos vertės, dispersijos ir standartinio nuokrypio sąvokas, galime aiškiau suprasti binominio skirstinio charakteristikas ir tai, kaip jis apibūdina tam tikrus reiškinius kasdieniame gyvenime.
Šios žinios yra nepaprastai naudingos ne tik duomenų analizėje ir statistikoje, bet ir priimant sprendimus, kuriems reikia įvertinti tikimybę ir neapibrėžtumą. Laukiamos vertės ir binominio skirstinio supratimas gali padėti mums pateikti tikslesnes prognozes ir priimti labiau pagrįstus sprendimus.
