Trigonometrijos pavyzdžių klausimai ir diskusija
Trigonometrija yra matematikos šaka, tirianti trikampių kampų ir kraštinių ilgių ryšį. Suprasti pagrindines trigonometrijos sąvokas yra labai svarbu įvairiose srityse – nuo fizikos ir inžinerijos iki astronomijos ir geografijos. Šiame straipsnyje paaiškinsime keletą uždavinių pavyzdžių ir pateiksime išsamius paaiškinimus, kurie padės suprasti.
1 pavyzdžio klausimas: Trikampio kraštinių skaičiavimas naudojant sinuso metodą
Klausimas:
Duotas trikampis ABC, kurio kampas A = 30°, kampas B = 45°, o kraštinė b = 10 cm. Apskaičiuokite kraštinės a ilgį.
Diskusija:
Naudokite sinusų dėsnį:
[a = b]
Įveskite žinomas vertes:
[a = 10° sin 45°]
Mes žinome, kad:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Dabar pakeiskite šias vertes į lygtį:
[a) 1} = 10}, sqrt 2}]
Supaprastinkite lygtį:
\[2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Racionalizuokite vardiklį:
\[2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[2a = 10 kv. m. {2} \]
\[a = 5\sqrt{2} \]
Taigi, kraštinės a ilgis yra \(5\sqrt{2} \) cm.
2 pavyzdžio klausimas: kampų skaičiavimas naudojant kosinuso metodą
Klausimas:
Trikampio kraštinės a = 7 cm, b = 10 cm ir c = 5 cm. Apskaičiuokite kampo C dydį.
Diskusija:
Naudokite kosinusų dėsnį:
[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C]
Įveskite žinomas vertes:
\[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \]
Supaprastinkite lygtį:
\[ 25 = 49 + 100 - 140 \cos C \]
\[25 = 149 – 140 \cos C \]
Perkelkite 149 į kairę pusę:
\[ 25–149 = -140 \cos C \]
\[-124 = -140 \cos C \]
\[ \cos C = \frac{124}{140} \]
\[ \cos C = \frac{62}{70} \]
\[ \cos C = \frac{31}{35} \]
Norėdami rasti atvirkštinį kosinusą (\cos^{-1}), naudokite skaičiuotuvą:
\[ C \approx \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C \apytiksliai 25.84° \]
Taigi, kampo C dydis yra apie 25.84°.
3 pavyzdžio klausimas: trikampio aukščio ir ploto apskaičiavimas
Klausimas:
Trikampis turi dvi kraštines, kurių ilgis a = 6 cm ir b = 8 cm, o kampas tarp jų yra θ = 60°. Apskaičiuokite trikampio aukštinę ir plotą.
Diskusija:
1. Trikampio ploto apskaičiavimas:
Trikampio plotui apskaičiuoti naudokite formulę:
\[ \text{Plotas} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Įveskite žinomas vertes:
\[ \text{Plotas} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
Mes žinome, kad:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Taigi:
\[ \text{Plotas} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Plotas} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Plotas} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Plotas} = 12\sqrt{3} \]
Taigi, trikampio plotas yra \(12\sqrt{3} \) cm².
2. Trikampio aukščio apskaičiavimas nuo pagrindo a:
Norėdami apskaičiuoti trikampio aukštį, pažymėkite aukštį h ir naudokite ploto formulę:
\[ \text{Plotas} = \frac{1}{2} \x a \x h \]
\[12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \x 6 \x h \]
\[12 kv. m. {3} = 3 val. \]
\[h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[h = 4\sqrt{3} \]
Taigi, trikampio aukštis yra \(4\sqrt{3} \) cm.
4 pavyzdžio klausimas: Stačiojo trikampio kraštinių nustatymas
Klausimas:
Stačiajame trikampyje, kurio kampas θ = 30°, o kampo θ lygiagreti kraštinė lygi 5 cm, nustatykite įžambinės ilgį.
Diskusija:
Naudokite trigonometrinius santykius 30° kampui stačiajame trikampyje:
\[ \sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{hipotenuzė}} \]
\[ \sin 30° = \frac{avers}{hipotenuzė} = \frac{5}{\text{hipotenuzė}} \]
Mes žinome, kad:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Taigi:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{hipotenuzė}} \]
\[ \text{hipotenuzė} = 10 \]
Taigi, hipotenuzės ilgis yra 10 cm.
5 pavyzdžio klausimas: Kampų skaičiavimas naudojant trigonometrines funkcijas
Klausimas:
Jei \tan \theta = \frac{3}{4} \), apskaičiuokite kampo \theta dydį.
Diskusija:
Naudojant atvirkštinio tangento formulę:
[theta = tan^{-1} (3}{4})]
Skaičiuoklės pagalba:
[teta maždaug 36.87°]
Taigi, kampo \(\theta\) dydis yra apie 36.87°.
Išvada
Trigonometrija yra plati matematinė sąvoka, plačiai taikoma įvairiose srityse. Supratimas, kaip naudoti sinusų, kosinusų ir kitų pagrindinių funkcijų dėsnius, leidžia mums išspręsti įvairias problemas, susijusias su trikampiais ir kampais. Tikimasi, kad pateikti pavyzdžiai padės skaitytojams geriau suprasti trigonometriją ir galės ją pritaikyti įvairiose situacijose, reikalaujančiose trigonometrijos supratimo.
