Klausimų, aptariančių funkcijų transformaciją, pavyzdys
Funkcijų transformacijos yra pagrindinė matematikos sąvoka, ypač algebroje ir funkcinėje analizėje. Šios transformacijos apima įvairias operacijas, tokias kaip perkėlimai, atspindžiai, išplėtimai ir sukimai funkcijos grafike. Suprasti, kaip veikia funkcijų transformacijos, ir gebėti jas pritaikyti problemoms spręsti, yra vertingas įgūdis tiek akademiniame kontekste, tiek kasdieniame praktiniame pritaikyme.
Šiame straipsnyje bus pateikti keli funkcijų transformavimo uždavinių pavyzdžiai su paaiškinimais, kad būtų aiškiau suprantama, kaip taikyti šias sąvokas. Prieš pasinerdami į pavyzdžius, apžvelkime keletą įprastų funkcijų transformacijų tipų:
1. Vertimas (poslinkis):
– Horizontalus poslinkis: \( f(x) \longrightarrow f(x – h) \), kur \( h \) yra poslinkio į dešinę arba į kairę dydis.
– Vertikalus poslinkis: \( f(x) \longrightarrow f(x) + k \), kur \( k \) yra poslinkio aukštyn arba žemyn dydis.
2. Atspindys (atspindys):
– Atspindys apie x ašį: f(x) = ∑.
– Atspindys apie y ašį: f(x) = ∏²⁻¹².
3. Išsiplėtimas (masto pokytis):
– Horizontalusis išsiplėtimas: \( f(x) \longrightarrow f(cx) \), kur \( c \) yra horizontalusis mastelio koeficientas.
– Vertikalus išsiplėtimas: \( f(x) \longrightarrow af(x) \), kur \( a \) yra vertikalus mastelio koeficientas.
Turėdami šį pagrindinį supratimą, pereisime prie kai kurių funkcijų transformavimo uždavinių pavyzdžių.
1 klausimo pavyzdys: horizontalus vertimas
Klausimas: Duota funkcija \(f(x) = x^2 \). Nustatykite funkcijos formą po to, kai ji perkelta 3 vienetus į dešinę.
Diskusija:
Horizontalus poslinkis funkcijos grafiką perkelia išilgai x ašies. Poslinkis į dešinę per 3 vienetus perkeliamas taip:
f(x-3)
Taigi, kiekvieną \(x \) pakeičiame į \(x – 3 \) pradinėje funkcijoje:
f(x-3) = (x-3)^2
Taigi funkcija, perkelta į dešinę per 3 vienetus, yra:
_[(x-3)^2 _]
2 klausimo pavyzdys: Vertikalus vertimas
Klausimas: Duota funkcija \(g(x) = \sqrt{x} \). Nustatykite funkcijos formą, perkėlus ją 4 vienetais į viršų.
Diskusija:
Vertikalus poslinkis funkcijos grafiką perkelia išilgai \(y \) ašies. Poslinkis aukštyn 4 vienetais perkeliamas taip:
_[g(x) + 4_]
Taigi, funkcija, perkelta į viršų, yra:
[\sqrt{x} + 4 \]
3 pavyzdžio klausimas: Atspindys apie x ašį
Klausimas: Duota funkcija h(x) = sin(x)). Nustatykite funkcijos pavidalą po to, kai ji atspindėta apie x ašį.
Diskusija:
Atspindėjimas apie x ašį keičia funkcijos ženklą. Taigi funkciją dauginame iš -1:
[ -h(x) ]
Taigi, funkcija po atspindžio apie x ašį yra:
\[ - \sin(x) \]
4 pavyzdžio klausimas: Atspindys apie y ašį
Klausimas: Duota funkcija \(j(x) = e^x \). Nustatykite funkcijos formą po to, kai ji atspindėta apie \(y \) ašį.
Diskusija:
Atspindys apie y ašį keičia kintamojo x ženklą. Taigi kiekvieną x pakeičiame į -x:
j(-x)
Taigi, funkcija po atspindžio apie y ašį yra:
e^{-x}]
5 pavyzdžio klausimas: Vertikalus išsiplėtimas
Klausimas: Duota funkcija f(x) = cos(x). Nustatykite funkcijos formą, kai vertikalus išplėtimas atliekamas su koeficientu 2.
Diskusija:
Vertikalus išplėtimas apima funkcijos dauginimą iš vertikalaus mastelio koeficiento. Taigi, funkciją dauginame iš 2:
∫[2f(x)]
Taigi, funkcija po vertikalaus išsiplėtimo koeficientu 2 yra:
∫[2cos(x)]
6 pavyzdžio klausimas: Horizontalių ir vertikalių vertimų derinys
Klausimas: Duota funkcija \(k(x) = \ln(x) \). Nustatykite funkcijos formą, perkėlus ją 2 vienetais į kairę ir 3 vienetais žemyn.
Diskusija:
Pirma, 2 vienetų poslinkis į kairę verčiamas taip: \(k(x+2) \). Antra, 3 vienetų poslinkis į apačią verčiamas taip:
_k(x+2) – 3_
Taigi, funkcija po šio vertimo derinio yra:
[ ∫ln(x+2) – 3 ]
7 pavyzdžio klausimas: Atspindžio ir išsiplėtimo derinys
Klausimas: Duota funkcija \(m(x) = x^3 \). Nustatykite funkcijos pavidalą po to, kai ji atspindėta apie \(y \) ašį ir atliktas vertikalus išplėtimas su koeficientu 1/2.
Diskusija:
Pirma, atspindys apie y ašį perkeliamas į m(-x). Antra, vertikalus išsiplėtimas 1/2 karto perkeliamas į:
[\frac{1}{2} m(-x)]
Taigi, funkcija po šio atspindžio ir išsiplėtimo derinio yra:
[\frac{1}{2}(-x)^3 = -\frac{1}{2} x^3 \]
8 klausimo pavyzdys: Horizontalus išsiplėtimas
Klausimas: Duota funkcija \(n(x) = \tan(x) \). Nustatykite funkcijos formą, kai horizontalusis išplėtimas atliekamas su koeficientu 3.
Diskusija:
Horizontalusis išplėtimas apima kintamojo \(x \) dauginimą iš 1/c (čia \(c \) yra horizontalaus mastelio koeficientas). Taigi kintamąjį \(x \) dauginame iš 1/3:
n(\frac{x}{3})
Taigi, funkcija po horizontalaus išsiplėtimo 3 kartus yra:
[tan(\frac{x}{3})]
Uždarymas
Funkcijų transformacijų, įskaitant perkėlimus, atspindžius ir išplėtimus, supratimas yra labai naudingas matematikoje ir jos taikymuose. Praktikuodami ir spręsdami įvairius su funkcijų transformacijomis susijusius uždavinius, lavinsite savo gebėjimą vizualizuoti ir numatyti funkcijų grafikų formos pokyčius.
Šiame straipsnyje pateikiami keli uždavinių pavyzdžiai, padėsiantys jums sužinoti apie funkcijų transformacijas. Po kiekvieno uždavinio pavyzdžio pateikiamas išsamus aptarimas, siekiant užtikrinti, kad suprastumėte sąvokas. Nuolatinė praktika su įvairiais uždaviniais padės jums geriau suprasti ir taikyti funkcijų transformacijas.
