Pavyzdiniai klausimai, kuriuose aptariami trys trigonometriniai santykiai
Trigonometrija yra matematikos šaka, tirianti trikampių ilgių ir kampų sąryšį. Viena iš pagrindinių trigonometrijos sąvokų yra trigonometriniai santykiai: sinusas (sin), kosinusas (cos) ir tangentas (tan). Šiame straipsnyje bus pateikti keli pavyzdiniai uždaviniai ir išsami trigonometrinių santykių diskusija, kad būtų lengviau suprasti.
1. Trijų trigonometrinių santykių supratimas
Pirmiausia supraskime, ką reiškia sinusas, kosinusas ir tangentas.
– Kampo sinusas (sinusas) yra priešingos kampo kraštinės ilgio ir trikampio hipotenuzės ilgio santykis.
– Kampo kosinusas (cos) yra gretimos kampo kraštinės ilgio ir trikampio hipotenuzės ilgio santykis.
– Kampo liestinė (tan) yra priešingos kampo kraštinės ilgio ir gretimos kampo kraštinės ilgio santykis. Liestinė taip pat gali būti išreikšta sinuso ir kosinuso dalmeniu: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
2. Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimas:
Duotas statusis trikampis, kurio įžambinė lygi 10 cm, o priešingoji kraštinė θ lygi 6 cm. Nustatykite kampo θ sin, cos ir tan reikšmes.
Diskusija:
Norint rasti sin(θ), cos(θ) ir tan(θ) reikšmes, taip pat reikia žinoti gretimos kraštinės ilgį. Pasinaudokime Pitagoro teorema, kad rastume gretimos kraštinės ilgį.
Pitagoro teorema:
a^2 + b^2 = c^2
kur c yra hipotenuzė, a yra priešinga kampo pusė, o b yra gretima kampo pusė.
Duota:
– Įžambinė (c) = 10 cm
– Kampo θ (a) priekinė pusė = 6 cm
Taigi:
a^2 + b^2 = c^2
\[6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[36 + b^2 = 100 \]
\[ b^2 = 64 \]
\[b = \qrt{64} \]
\[ b = 8 \]
Taigi, kraštinės (b) ilgis yra 8 cm.
Toliau galime apskaičiuoti sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes:
– Nuodėmė(θ) = Priešinga pusė / Hipotenūza
\[ \sin(θ) = \frac{6}{10} = 0.6 \]
– Cos(θ) = Šoninė pusė / Hipotenuzė
\[ \cos(θ) = \frac{8}{10} = 0.8 \]
– Įdegis (θ) = Priekinė pusė / Šoninė pusė
\[ \tan(θ) = \frac{6}{8} = 0.75 \]
2 klausimas:
Duotas statusis trikampis, kurio priešingos kampo α kraštinės ilgis yra 5 cm, o gretimos kampo α kraštinės ilgis yra 12 cm. Raskite kampo α sin, cos ir tan reikšmes.
Diskusija:
Kaip ir 1 klausime, pasinaudokime Pitagoro teorema, kad rastume hipotenuzės ilgį.
Duota:
– Kampo α (a) priekinė pusė = 5 cm
– Kampo α (b) kraštinė = 12 cm
Pasinaudokite Pitagoro teorema:
a^2 + b^2 = c^2
\[5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[25 + 144 = c^2 \]
\[169 = c^2 \]
\[c = \qrt{169} \]
\[ c = 13 \]
Taigi, hipotenuzės (c) ilgis yra 13 cm.
Toliau galime apskaičiuoti sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes:
– Nuodėmė (α) = priešinga pusė / hipotenuzė
∫[sin(α) = ∫frac{5}{13}]
– Cos(α) = Šoninė pusė / Hipotenuzė
\[ \cos(α) = \frac{12}{13} \]
– Įdegis(α) = Priekinė pusė / Šonas
[tan(α) = ∫frac{5}{12}]
3 klausimas:
Jei žinoma, kad sin β = 0.6 ir kampas β yra I kvadrante, raskite cos β ir tan β reikšmes.
Diskusija:
Duota sin β = 0.6
Žinome, kad I kvadrante cos β vertė taip pat yra teigiama.
Naudokite pagrindines trigonometrines tapatybes:
\[ \sin^2(β) + \cos^2(β) = 1 \]
\[ (0.6)^2 + \cos^2(β) = 1 \]
\[0.36 + \cos^2(β) = 1 \]
[cos^2(β) = 1 – 0.36]
[cos^2(β) = 0.64]
[cos(β) = √qrt{0.64}]
[cos(β) = 0.8]
Toliau galime apskaičiuoti tangentinę vertę:
\[ \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]
\[ \tan(β) = \frac{0.6}{0.8} \]
\[ \tan(β) = 0.75 \]
3. Kesimpulanas
Trigonometrinės triados (sin, cos, tan) sąvoka yra esminė ir labai svarbi norint suprasti trigonometriją apskritai. Suprasdami, kaip rasti ir apskaičiuoti šias tris reikšmes įvairių tipų trikampiuose, galite išspręsti įvairias trigonometrijos problemas. Aukščiau aptartos problemos turėtų padėti suprasti, kaip taikyti šias sąvokas įvairiuose kontekstuose.
Tvirtas trigonometrijos supratimas taip pat padės lengviau mokytis sudėtingesnių matematikos ir gamtos mokslų temų, tokių kaip skaičiavimas ir fizika. Nedvejodami toliau praktikuokite ir gilinkite šių sąvokų supratimą, kad pasiektumėte aukštesnį meistriškumo lygį.
