Pavyzdiniai klausimai ir grandinės taisyklės aptarimas išvestinėse finansinėse priemonėse
Grandinės taisyklė yra viena iš fundamentaliausių diferencialinio skaičiavimo sąvokų, naudojama funkcijos, sudarytos iš dviejų ar daugiau funkcijų, išvestinei apskaičiuoti. Šiame straipsnyje aptarsime pagrindinę grandinės taisyklės sąvoką, kaip ją naudoti ir pateiksime jos naudojimo išvestinių uždaviniuose, kurie dažnai kyla tiek vidurinėje mokykloje, tiek kolegijoje, pavyzdžius.
1. Grandinės taisyklės įvadas
Prieš pradedant spręsti pavyzdinę problemą, pirmiausia supraskime, kas yra grandinės taisyklė. Grandinės taisyklė teigia, kad jei turime dvi diferencijuojamas funkcijas \(f \) ir \(g \) ir norime rasti funkcijų sudėties išvestinę \(h = f(g(x)) \), tai \(h \) išvestinė yra:
_[ h'(x) = f'(g(x)) _cdot g'(x)_]
Paprastai tariant, apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę pagal g(x), o tada rezultatą padauginame iš vidinės funkcijos išvestinės (g(x)).
2. Kompozicijos funkcijos supratimas
Prieš pradedant spręsti pavyzdinius uždavinius, svarbu suprasti sudėties funkcijas. Sudėties funkcija yra funkcija, gaunama įterpiant vieną funkciją į kitą. Pavyzdžiui, jei turime \( f(x) = \sin(x) \) ir \( g(x) = x^2 \), tai dviejų funkcijų sudėtis bus \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Sudėtinėse funkcijose dažnai laikome \(g(x) \) „vidine funkcija“, o \(f(x) \) – „išorine funkcija“. Šiame pavyzdyje vidinė funkcija yra \(x^2 \), o išorinė funkcija yra sinusinė.
3. Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
Panagrinėkime keletą uždavinių pavyzdžių, kuriems spręsti naudojama grandinės taisyklė.
1 pavyzdys:
Duota funkcija \(y = \cos(3x^2) \), raskite pirmąją y išvestinę x atžvilgiu.
Diskusija:
Pirmiausia identifikuojame vidinę ir išorinę funkcijas. Čia vidinė funkcija yra \(g(x) = 3x^2 \), o išorinė funkcija yra \(f(g) = \cos(g) \).
Mes žinome:
1. (g'(x) = 6x)
2. (f'(g) = -sin(g))
Pagal grandinės taisyklę gauname:
[y' = f'(g(x))^2 g'(x) = -sin(3x^2)^2]
Taigi, y = ∈ ∈ ∈ ∈ y išvestinė yra:
\[y' = -6x \sin(3x^2) \]
2 pavyzdys:
Raskite pirmąją funkcijos h(x) = e^{5x^3 + 2x} išvestinę.
Diskusija:
Čia vidinė funkcija yra \(g(x) = 5x^3 + 2x \), o išorinė funkcija yra \(f(g) = e^g \).
Mes žinome:
1. (g'(x) = 15x^2 + 2)
2. (f'(g) = e^g)
Pagal grandinės taisyklę gauname:
∫ h'(x) = f'(g(x)) ∫ g'(x) = e^{5x^3 + 2x} ∫ (15x^2 + 2)]
Taigi, funkcijos \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) išvestinė yra:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
3 pavyzdys:
Raskite pirmąją funkcijos y = ∫ln(4x^2 – 5) išvestinę.
Diskusija:
Vidinė funkcija yra \(g(x) = 4x^2 – 5 \), o išorinė funkcija yra \(f(g) = \ln(g) \).
Mes žinome:
1. (g'(x) = 8x)
2. (f'(g) = ∫frac{1}{g})
Pagal grandinės taisyklę gauname:
[y' = f'(g(x))^2 g'(x) = ∫{1}{4x^2 – 5}^2 8x]
Taigi, funkcijos \(y = \ln(4x^2 – 5) \) išvestinė yra:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
4 pavyzdys:
Duota funkcija \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), raskite jos išvestinę.
Diskusija:
Vidinė funkcija yra \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) o išorinė funkcija yra \(f(g) = g^4 \).
Mes žinome:
1. (g'(x) = 6x + 2)
2. (f'(g) = 4g^3)
Pagal grandinės taisyklę gauname:
[y' = f'(g(x)) √ g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 √ (6x + 2)]
Taigi, funkcijos \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) išvestinė yra:
\[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Specialūs atvejai ir grandinės taisyklių kūrimas
Kartais grandinės taisyklė neapsiriboja vien dviejų funkcijų sudėimu. Pasitaiko atvejų, kai funkcija yra daugiau nei dviejų funkcijų sudėtis, pavyzdžiui: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Trijų funkcijų atveju grandinės taisyklę galima taikyti sluoksniais:
_[ h'(x) = f'(g(k(x))) _cdot g'(k(x)) _cdot k'(x) _]
Matome, kad kiekviename sluoksnyje, prieš pereidami prie vidinių sluoksnių išvestinių, apskaičiuojame išorinių sluoksnių išvestines.
5 pavyzdys:
Duota y = ∈ ln(2x^2 + 1) ir raskite jos išvestinę.
Diskusija:
Vidinė funkcija yra \(k = 2x^2 + 1 \), vidurinė: \(g = \ln(k) \) ir išorinė: \(f = \sqrt{g} \).
Mes žinome:
1. (k'(x) = 4x)
2. ∫(g'(k) = ∫(1k))
3. (f'(g) = ∑(1}{2qrt{g}))
Pritaikykime grandinės taisyklę sluoksniais:
[y' = f'(g(k(x))] ∫ g'(k(x)) ∫ k'(x) = ∫{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} ∫ \frac{1}{2x^2 + 1} ∫4x]
Taigi funkcijos \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) išvestinė yra:
\[y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulanas
Grandinės taisyklė vaidina gyvybiškai svarbų vaidmenį diferencialiniame skaičiavime, ypač nagrinėjant funkcijų sudėtį. Grandinės taisyklės supratimas ir įvaldymas suteikia tvirtą pagrindą sprendžiant sudėtingesnes skaičiavimo problemas. Šiame straipsnyje aptarta keletas svarbių pavyzdžių, padedančių gerai suprasti grandinės taisyklės taikymą išvestinėms. Tikimės, kad ši diskusija bus naudinga studentams ir galės būti taikoma įvairiose sudėtingose matematinėse situacijose.
