Ji vadinama Poiseuille lygtimi, nes ją atrado velionis Jeanas Louis Marie Poiseuille'is (1799–1869). Kaip paaiškinta, kiekvienas skystis gali būti laikomas idealiu skysčiu. Idealūs skysčiai neturi klampumo. Jei įsivaizduotume idealų skystį, tekantį vamzdžiu, kiekviena skysčio dalis juda tuo pačiu greičiu (v). Skirtingai nuo idealių skysčių, realūs skysčiai arba skysčiai, su kuriais susiduriame kasdieniame gyvenime, turi klampumą. Kadangi jie turi klampumą, pavyzdžiui, tekant vamzdžiu, kiekvienos skysčio dalies greitis kinta. Skysčio sluoksnis viduryje juda greičiau (v yra didelis), o prie vamzdžio pritvirtintas skysčio sluoksnis nejuda, t. y. stovi vietoje (v = 0). Taigi, nuo vamzdžio centro iki krašto kiekviena skysčio dalis juda skirtingu greičiu. Kad būtų lengviau suprasti, atkreipkite dėmesį į paveikslėlį apačioje…
Informacija:
R = vamzdžio spindulys
v 1 = skysčio srauto greitis vamzdžio centre / ašyje
v2 = skysčio srauto greitis r2 atstumu nuo vamzdžio krašto
v 3 = skysčio srauto greitis r 3 atstumu nuo vamzdžio krašto
v 4 = skysčio srauto greitis r 4 atstumu nuo vamzdžio krašto
r = atstumas
Kad kiekvieno skysčio tekėjimo greitis būtų vienodas, abiejuose bet kurio vamzdžio ar vamzdelio, kuriuo teka skystis, galuose turi būti slėgio skirtumas. Čia skysčiu vadiname tikrus skysčius, tokius kaip vanduo ar aliejus, tekantis vamzdžiu, kraujas, tekantis kraujagyslėmis ir kt. Be to, kad slėgio skirtumai padeda sklandžiam tikro skysčio tekėjimui, jie taip pat gali leisti skysčiams tekėti vamzdžiais skirtinguose aukščiuose.
Buvęs prancūzų mokslininkas Jeanas Louis Marie Poiseuille'as, besidomintis fiziniais žmogaus kraujotakos aspektais, atliko tyrimus, siekdamas ištirti, kaip tokie veiksniai kaip slėgio skirtumai, vamzdelio skerspjūvio plotas ir dydis veikia realaus skysčio greitį. Jeano Louis Marie Poiseuille'o gauti rezultatai yra žinomi kaip Poiseuille'o lygtis.
Poiseuille lygtį galima išvesti naudojant anksčiau išvestą klampos koeficiento lygtį. Mes naudojame klampos lygtį, nes atvejis yra panašus, nors ir ne identiškas. Išvesdami klampos koeficiento lygtį, atsižvelgiame į realaus skysčio sluoksnio tekėjimą tarp dviejų lygiagrečių plokščių, o skystis gali judėti dėl tempimo jėgos (F). Skirtumas tas, kad išvesta Poiseuille lygtis iš tikrųjų nurodo veiksnius, kurie įtakoja realaus skysčio tekėjimą vamzdyje, o skystis teka dėl slėgio skirtumų. Todėl klampos koeficiento lygtį reikia dar kartą pakoreguoti.
Skysčiai gali tekėti dėl slėgio skirtumų (skysčiai teka iš vietų, kuriose yra aukštas slėgis, į vietas, kuriose yra žemas slėgis), todėl F pakeičiame į p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Išvesdami klampos koeficiento lygtį, atsižvelgiame į realaus skysčio sluoksnio tekėjimą tarp dviejų lygiagrečių plokščių. Kiekviena skysčio dalis patiria reguliarų greičio pokytį atstumu l. Šiuo atveju skysčio tekėjimo greitis reguliariai kinta nuo vamzdžio ašies iki vamzdžio krašto. Skystis vamzdžio ašyje teka didesniu greičiu (v). Kuo toliau link krašto, tuo skysčio greitis mažėja. Vamzdžio spindulys = atstumas tarp vamzdžio ašies ir vamzdžio krašto = R. Atstumas tarp kiekvienos skysčio dalies ir vamzdžio krašto = r. Kadangi kiekvienos skysčio dalies skaičius yra labai didelis, o jų atstumas nuo vamzdžio krašto taip pat kinta, mes tiesiog jį užrašome taip:
v1 = skysčio greitis atstumu r1 nuo vamzdžio krašto (r1 = R)
v² = skysčio greitis atstumu r² nuo vamzdžio krašto (r² < r¹)
v3 = skysčio greitis atstumu r3 nuo vamzdžio krašto (r3 < r2 < r1)
v4 = skysčio greitis atstumu r4 nuo vamzdžio krašto (r4 < r3 < r2 < r1 )
............................................. ..
vn = skysčio greitis atstumu rn nuo vamzdžio krašto (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Kiekvienos skysčio dalies skaičius yra labai didelis ir mes tiksliai nežinome, koks jis yra iš tikrųjų, todėl pakanka jį užrašyti simboliu n. Kiekviena skysčio dalis reguliariai patiria greičio (v) pokytį nuo vamzdžio ašies (r1 = R) iki vamzdžio krašto (rn). Nuo vamzdžio ašies (r1 = R) iki vamzdžio krašto (rn) kiekvienos skysčio dalies greitis mažėja (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Iš aukščiau pateikto paaiškinimo galime susidaryti vaizdą, kad nuo R iki rn skysčio greitis mažėja. Vamzdžio ilgis = L. Gauta lygtis yra:
Kadangi nagrinėjame skysčio tekėjimo greitį (v), 2 lygtis tampa tokia:
Tai lygtis, leidžianti apskaičiuoti skysčio tekėjimo greitį atstumu r nuo vamzdžio, kurio spindulys yra R. Jei žiūrėdami į paveikslėlį susipainiojote... Atkreipkite dėmesį, kad skystis teka vamzdžiu, todėl turime peržiūrėti skysčio tūrinį tekėjimo greitį.
Vamzdžio viduje yra skystis. Pavyzdžiui, skystį padalijame į labai mažus gabalėlius, kurių kiekvieno plotas yra dA, jis yra nutolęs nuo vamzdžio ašies ir jo srauto greitis yra v. Matematiškai tai galima užrašyti taip:
dA1 = skysčio sekcija 1, kuri yra 1 atstumu nuo vamzdžio ašies
dA2 = skysčio sekcija 2, kuri yra 2 atstumu nuo vamzdžio ašies
dA3 = skysčio sekcija 3, kuri yra 3 atstumu nuo vamzdžio ašies
..................................
dA n = skysčio pjūvis n, kuris yra atstumas dA n nuo vamzdžio ašies
Skysčio vienetų yra tiek daug, kad patogu juos tiesiog užrašyti simboliu n. Kiekvieno skysčio vieneto tūrio srautą matematiškai galima užrašyti taip:
Kiekvienas skysčio gabalas yra atstumu nuo r = 0 iki r = R (R = vamzdžio spindulys). Kitaip tariant, kiekvieno skysčio gabalo atstumas kinta matuojant nuo vamzdžio ašies. Jei pabandysime integruoti, gausime skysčio tūrinio srauto vamzdyje lygtį:
Informacija:
Q = Debetas
R = Vamzdžio arba vamzdelio vidinis spindulys
η = Klampumo koeficientas
P1 – p2 = Slėgio skirtumas tarp dviejų vamzdžio galų
L = vamzdžio ilgis
p1 -p2 / L = slėgio gradientas (skysčio tekėjimas visada vyksta mažėjančio slėgio kryptimi )
Remiantis aukščiau pateikta Poiseuille lygtimi, atrodo, kad skysčio tūrinis srautas, dar vadinamas išleidimu (Q), yra proporcingas ketvirtajam vamzdžio spindulio laipsniui (R 4 ), slėgio gradientui (p 2 – p 1 /L) ir yra atvirkščiai proporcingas klampumui. Jei vamzdžio spindulys padidinamas (klampumo koeficientas ir slėgio gradientas išlieka pastovūs), skysčio srautas padidėja 16 kartų.
Pagrindinė vamzdžių, švirkštų ir kitų daiktų projektavimo koncepcija naudoja šią lygtį. Skysčio srautas yra proporcingas R 4 (R = vamzdžio spindulys). Švirkšto arba vamzdžio spindulį reikia atidžiai apskaičiuoti. Pavyzdžiui, jei padvigubinsime adatos spindulį (r x 2), tai purškiamo skysčio srautas = padidina nykščio spaudimo jėgą 16 kartų.
Poiseuille'io lygtis taip pat rodo, kad ketvirtasis spindulio laipsnis (r 4 ) yra atvirkščiai proporcingas slėgio skirtumui tarp dviejų vamzdžio galų. Pavyzdžiui, iš pradžių kraujas teka kraujagysle, kurios vidinis spindulys yra r. Jei kraujagyslė susiaurėja (pavyzdžiui, r / 2 = kraujagyslės vidinis spindulys sumažėja 2 kartus), tai norint, kad kraujas tekėtų kaip anksčiau (kad ištekėjimo arba kraujo tūrio srautas išliktų pastovus), reikia 16 kartų didesnio slėgio skirtumo.
