ສູດການແຈກຢາຍປົກກະຕິໃນສະຖິຕິ

# ສູດການແຈກຢາຍປົກກະຕິໃນສະຖິຕິ

ການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິ, ເຊິ່ງເອີ້ນກັນວ່າ ການແຈກຢາຍແບບ Gaussian ຫຼື ເສັ້ນໂຄ້ງລະຄັງ, ແມ່ນໜຶ່ງໃນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ສຸດໃນສະຖິຕິ. ການມີຢູ່ຂອງມັນມັກຖືກພິຈາລະນາວ່າເປັນພື້ນຖານຂອງການວິເຄາະທາງສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຕ່າງໆ. ການແຈກຢາຍນີ້ບໍ່ພຽງແຕ່ຖືກນຳໃຊ້ເລື້ອຍໆໃນທິດສະດີເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງຖືກນຳໃຊ້ໃນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຕ່າງໆ, ເຊັ່ນ: ການຄຸ້ມຄອງຄວາມສ່ຽງທາງດ້ານການເງິນ, ວິທະຍາສາດສັງຄົມ, ການແພດ, ແລະອື່ນໆ.

## ຄໍານິຍາມຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິ

ການແຈກຢາຍປົກກະຕິແມ່ນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງທີ່ມີຄວາມສົມມາດກ່ຽວກັບຄ່າສະເລ່ຍຂອງມັນ. ເວົ້າອີກຢ່າງໜຶ່ງ, ຕາຕະລາງກຣາບຟິກຂອງການແຈກຢາຍນີ້ຈະສ້າງເປັນເສັ້ນໂຄ້ງລະຄັງທີ່ຂະຫຍາຍໃຫຍ່ຂຶ້ນຢູ່ທີ່ຄ່າສະເລ່ຍ ແລະ ແຄບລົງຢູ່ທີ່ຫາງ. ການແຈກຢາຍນີ້ມີສອງພາລາມິເຕີຫຼັກຄື: ຄ່າສະເລ່ຍ (μ) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (σ).

ຄ່າສະເລ່ຍກຳນົດຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດໃຈກາງຂອງການແຈກຢາຍ, ໃນຂະນະທີ່ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານວັດແທກວ່າຂໍ້ມູນກະຈາຍອອກໄປອ້ອມຮອບຄ່າສະເລ່ຍແນວໃດ. ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານທີ່ໃຫຍ່ກວ່າ, ເສັ້ນໂຄ້ງການແຈກຢາຍຈະກວ້າງ ແລະ ສັ້ນກວ່າ; ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານທີ່ນ້ອຍກວ່າ, ເສັ້ນໂຄ້ງຈະແຄບ ແລະ ຊັນກວ່າ.

## ຟັງຊັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້

ຟັງຊັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້ (pdf) ສຳລັບການແຈກຢາຍປົກກະຕິມີຮູບແບບຄະນິດສາດຕໍ່ໄປນີ້:

\[ f(x | \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]

ທີ່ນີ້:
-\( x\) ເປັນຕົວແປແບບສຸ່ມ.
– \( \mu \) ແມ່ນຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍ.
– \( \sigma \) ແມ່ນຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງການແຈກຢາຍ.
-\( e\) ແມ່ນພື້ນຖານຂອງໂລກາລິດທຳມະຊາດ, ປະມານ 2.71828.

ຟັງຊັນຂ້າງເທິງສ້າງເສັ້ນໂຄ້ງລະຄັງທີ່ສົມມາດ. ອິນທິກຣອນຂອງຟັງຊັນນີ້ລະຫວ່າງສອງຈຸດໃຫ້ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຕົວແປແບບສຸ່ມຢູ່ລະຫວ່າງສອງຄ່າເຫຼົ່ານັ້ນ.

## ການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານ

ການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານແມ່ນການແຈກຢາຍປົກກະຕິທີ່ມີຄ່າສະເລ່ຍ \( \mu = 0 \) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ \( \sigma = 1 \). ຟັງຊັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້ສຳລັບການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານແມ່ນ:

\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{ -\frac{z^2}{2} } \]

ທີ່ນີ້:
-\( z\) ແມ່ນຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ຕາມຫຼັງການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານ.

ການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານມັກຖືກນຳໃຊ້ເພາະມັນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດມາດຕະຖານການແຈກຢາຍປົກກະຕິອື່ນໆຜ່ານຂະບວນການທີ່ເອີ້ນວ່າ "ມາດຕະຖານ". ມາດຕະຖານກ່ຽວຂ້ອງກັບການປ່ຽນຄ່າ \( x \) ຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິ \( N(\mu, \sigma) \) ໄປເປັນຄ່າ \( z \) ຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານ \( N(0, 1) \), ໂດຍໃຊ້ສູດຕໍ່ໄປນີ້:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

ຂະບວນການນີ້ເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການປຽບທຽບຄ່າຈາກການແຈກຢາຍປົກກະຕິທີ່ແຕກຕ່າງກັນໂດຍການສ້າງແຜນທີ່ພວກມັນໃສ່ກັບຂະໜາດດຽວ.

## ຄໍາຮ້ອງສະຫມັກ ແລະ ຄວາມກ່ຽວຂ້ອງ

### 1. ທິດສະດີຂອບເຂດສູນກາງ

ການແຈກຢາຍປົກກະຕິແມ່ນກ່ຽວຂ້ອງໂດຍສະເພາະໃນສະພາບການຂອງທິດສະດີຂອບເຂດສູນກາງ (CLT). CLT ລະບຸວ່າຕົວແປສຸ່ມທີ່ເປັນເອກະລາດຈຳນວນຫຼວງຫຼາຍຈະຖືກແຈກຢາຍປົກກະຕິປະມານ, ໂດຍບໍ່ຄຳນຶງເຖິງຮູບຮ່າງຂອງການແຈກຢາຍເດີມ. ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າການແຈກຢາຍປົກກະຕິສາມາດຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອປະມານການແຈກຢາຍຂອງຄ່າສະເລ່ຍຂອງຕົວຢ່າງ, ຕາບໃດທີ່ຕົວຢ່າງມີຂະໜາດໃຫຍ່ພໍ.

### 2. ການອະນຸມານທາງສະຖິຕິ

ການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິອະນຸຍາດໃຫ້ນຳໃຊ້ການທົດສອບສົມມຸດຕິຖານໄດ້ ເຊັ່ນ: ການທົດສອບ z ແລະ ການທົດສອບ t. ທັງສອງວິທີໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິມາດຕະຖານເພື່ອກຳນົດຄວາມສຳຄັນທາງສະຖິຕິຂອງຜົນໄດ້ຮັບທີ່ສັງເກດເຫັນ. ການທົດສອບ z ໂດຍປົກກະຕິແມ່ນໃຊ້ເມື່ອຂະໜາດຕົວຢ່າງມີຂະໜາດໃຫຍ່ ຫຼື ຮູ້ວ່າຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງປະຊາກອນເປັນແນວໃດ, ໃນຂະນະທີ່ການທົດສອບ t ແມ່ນໃຊ້ເມື່ອຂະໜາດຕົວຢ່າງມີຂະໜາດນ້ອຍ ຫຼື ບໍ່ຮູ້ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງປະຊາກອນ.

### 3. ການວິເຄາະການຖົດຖອຍ

ໃນການວິເຄາະການຖົດຖອຍເສັ້ນຊື່, ສົມມຸດຕິຖານທີ່ວ່າຂໍ້ມູນຄວາມຜິດພາດຖືກແຈກຢາຍຕາມປົກກະຕິແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍ. ສົມມຸດຕິຖານນີ້ຊ່ວຍໃຫ້ສາມາດຄິດໄລ່ຊ່ວງຄວາມເຊື່ອໝັ້ນ ແລະ ການທົດສອບຄວາມສຳຄັນຂອງຕົວກຳນົດຮູບແບບການຖົດຖອຍ. ເຊັ່ນດຽວກັນ, ການກວດສອບຄວາມຜິດພາດຂອງຂໍ້ມູນ ຫຼື ຄ່າຜິດປົກກະຕິມັກຈະເຮັດໄດ້ໂດຍການກວດສອບການແຈກຢາຍທີ່ເຫຼືອສຳລັບຄວາມແຕກຕ່າງທີ່ສຳຄັນຈາກຄວາມປົກກະຕິ.

### 4. ການແພດ ແລະ ຊີວະວິທະຍາ

ໃນທາງການແພດ, ການແຈກຢາຍປົກກະຕິແມ່ນໃຊ້ເພື່ອອະທິບາຍການແຈກຢາຍຂອງປະກົດການທາງຊີວະວິທະຍາຕ່າງໆ. ຕົວຢ່າງ, ຄວາມສູງ, ຄວາມດັນເລືອດ, ແລະຜົນການທົດສອບຫ້ອງທົດລອງບາງຢ່າງມັກຈະຕາມມາດ້ວຍການແຈກຢາຍປົກກະຕິ. ສິ່ງນີ້ຊ່ວຍໃຫ້ການກຳນົດຄ່າຕັດອອກສຳລັບການວິນິດໄສທາງການແພດງ່າຍຂຶ້ນ.

### 5. ການເງິນ ແລະ ເສດຖະສາດ

ທາງດ້ານການເງິນ, ການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອສ້າງແບບຈໍາລອງປະກົດການຫຼາຍຢ່າງ, ເຊັ່ນ: ຜົນຕອບແທນຂອງຫຸ້ນ, ອັດຕາດອກເບ້ຍ, ແລະອື່ນໆ. ເຖິງແມ່ນວ່າໃນທາງປະຕິບັດ, ຫຸ້ນມັກຈະສະແດງໃຫ້ເຫັນເຖິງຄວາມອຽງ ແລະ ຄວາມໂກດແຄ້ນທີ່ສູງກວ່າ, ແຕ່ສົມມຸດຕິຖານຂອງການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິຍັງໃຫ້ພື້ນຖານການວິເຄາະທີ່ໜັກແໜ້ນ.

## ການຈັດຕັ້ງປະຕິບັດ ແລະ ການຄິດໄລ່

### ການນຳໃຊ້ Python

Python, ດ້ວຍຫ້ອງສະໝຸດເຊັ່ນ NumPy ແລະ SciPy, ມີຫຼາຍວິທີໃນການເຮັດວຽກກັບການແຈກຢາຍປົກກະຕິ. ນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງຂອງວິທີທີ່ພວກເຮົາສາມາດລວມ ແລະ ວາງແຜນການແຈກຢາຍປົກກະຕິໂດຍໃຊ້ຫ້ອງສະໝຸດເຫຼົ່ານີ້:

“` python
ນໍາເຂົ້າຕົວເລກເປັນ np
ນໍາເຂົ້າ matplotlib.pyplot ເປັນ plt
ຈາກມາດຕະຖານການນໍາເຂົ້າ scipy.stats

# ພາລາມິເຕີການແຈກຢາຍປົກກະຕິ
mu = 0 # ສະເລ່ຍ
ຊິມກາ = 1 # ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ

# ຂໍ້ມູນສຳລັບການແຈກຢາຍປົກກະຕິ
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)

# ແຜນວາດການແຈກຢາຍປົກກະຕິ
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('ຄວາມໜາແໜ້ນ')
plt.title('ການແຈກຢາຍປົກກະຕິ N(0, 1)')
plt.show ()
“ `

ໃນຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາໄດ້ສ້າງຂໍ້ມູນການແຈກຢາຍປົກກະຕິດ້ວຍຄ່າສະເລ່ຍ 0 ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ 1, ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນໄດ້ວາງແຜນຟັງຊັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງມັນ.

## ສະຫຼຸບ

ການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິມີບົດບາດສຳຄັນໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້. ການນຳໃຊ້ທົ່ວໄປຂອງມັນ, ຕັ້ງແຕ່ທິດສະດີຂອບເຂດສູນກາງ ຈົນເຖິງການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຕ່າງໆເຊັ່ນ: ການວິເຄາະການຖົດຖອຍ ແລະ ການທົດສອບສົມມຸດຕິຖານ, ເຮັດໃຫ້ມັນເປັນໜຶ່ງໃນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ໄດ້ຮັບຄວາມນິຍົມ ແລະ ສຳຄັນທີ່ສຸດ. ການເຂົ້າໃຈສູດການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິ ແລະ ວິທີການນຳໃຊ້ມັນຢ່າງມີປະສິດທິພາບແມ່ນທັກສະທີ່ຈຳເປັນສຳລັບທຸກຄົນທີ່ເຮັດວຽກໃນວິທະຍາສາດຂໍ້ມູນ, ການຄົ້ນຄວ້າ, ເສດຖະສາດ ແລະ ຂົງເຂດອື່ນໆຈຳນວນຫຼາຍ.

ດ້ວຍຄວາມຮູ້ນີ້, ພວກເຮົາສາມາດເຂົ້າເຖິງ ແລະ ແກ້ໄຂບັນຫາການວິເຄາະປະເພດຕ່າງໆໄດ້ຢ່າງມີປະສິດທິພາບຫຼາຍຂຶ້ນ, ຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດຕັດສິນໃຈໄດ້ດີຂຶ້ນໂດຍອີງໃສ່ຂໍ້ມູນ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ມີຢູ່.