ຮູ້ຈັກກັບການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ເຂົ້າໃຈການແຈກຢາຍແບບ Binomial

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນໜຶ່ງໃນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງທີ່ຮູ້ຈັກກັນດີທີ່ສຸດ ແລະ ຖືກນຳໃຊ້ເລື້ອຍໆໃນຂົງເຂດຄວາມເປັນໄປໄດ້ ແລະ ສະຖິຕິ. ມັນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຫຼາຍຢ່າງ, ຕັ້ງແຕ່ການຄົ້ນຄວ້າທາງວິທະຍາສາດຈົນເຖິງການວິເຄາະຂໍ້ມູນທາງທຸລະກິດ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບລັກສະນະຕ່າງໆຂອງການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວ, ຕັ້ງແຕ່ຄຳນິຍາມພື້ນຖານ ແລະ ຄຸນສົມບັດຂອງມັນຈົນເຖິງການນຳໃຊ້ໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ.

ຄໍານິຍາມ ແລະ ສູດຂອງການແຈກຢາຍແບບ Binomial

ການແຈກຢາຍແບບທະວິໂນມຽວແມ່ນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນຊຸດການທົດລອງ ຫຼື ການສັງເກດການທີ່ມີຜົນໄດ້ຮັບສອງຢ່າງທີ່ແຕກຕ່າງກັນຄື "ຄວາມສຳເລັດ" ແລະ "ຄວາມລົ້ມເຫຼວ". ການທົດລອງເຫຼົ່ານີ້ເອີ້ນວ່າການທົດລອງ Bernoulli, ແລະຊຸດການທົດລອງເອກະລາດນີ້ເອີ້ນວ່າແຜນການ Bernoulli.

ສູດຫຼັກທີ່ໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການແຈກຢາຍແບບ binomial ແມ່ນ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

ຢູ່ໃສ:
- \( P(X = k) \) ແມ່ນຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ \( k \) ໃດໆຈາກການທົດລອງ \( n \) ຈະປະສົບຜົນສຳເລັດ.
- \( \binom{n}{k} \) ແມ່ນສຳປະສິດໄບໂນມຽວທີ່ຄິດໄລ່ເປັນ \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
-\( p\) ແມ່ນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນການທົດລອງດຽວ.
– \( 1 – p \) ແມ່ນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມລົ້ມເຫຼວໃນການທົດລອງດຽວ.
– \( n \) ແມ່ນຈຳນວນການທົດລອງທັງໝົດ.
– \( k \) ແມ່ນຈຳນວນຄວາມສຳເລັດທີ່ຕ້ອງການ.

ຄຸນສົມບັດຂອງການແຈກຢາຍແບບ Binomial

ການແຈກຢາຍແບບ binomial ມີຄຸນສົມບັດສຳຄັນຫຼາຍຢ່າງທີ່ເຮັດໃຫ້ມັນເປັນປະໂຫຍດໃນການວິເຄາະທາງສະຖິຕິ:

1. ການແຈກຢາຍແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ: ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນການແຈກຢາຍແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ເພາະມັນນັບພຽງແຕ່ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນຈຳນວນການທົດລອງທີ່ຈຳກັດ.

2. ສອງຜົນໄດ້ຮັບ: ການທົດລອງແຕ່ລະຄັ້ງໃນແຜນການ Bernoulli ມີພຽງສອງຜົນໄດ້ຮັບເທົ່ານັ້ນ: ຄວາມສຳເລັດ (ດ້ວຍຄວາມໜ້າຈະເປັນ \( p \)) ຫຼື ຄວາມລົ້ມເຫຼວ (ດ້ວຍຄວາມໜ້າຈະເປັນ \( 1 – p \)).

3. ເປັນອິດສະຫຼະ: ການທົດລອງໜຶ່ງແມ່ນບໍ່ຂຶ້ນກັບການທົດລອງອື່ນ; ຜົນຂອງການທົດລອງໜຶ່ງບໍ່ມີຜົນກະທົບຕໍ່ການທົດລອງອື່ນ.

4. ພາລາມິເຕີຄົງທີ່: ຄວາມເປັນໄປໄດ້ \(p\), ຈຳນວນການທົດລອງທັງໝົດ \(n\), ແລະ ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດ \(k\) ແມ່ນພາລາມິເຕີຄົງທີ່ໃນການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ.

ຄ່າສະເລ່ຍ ແລະ ຄວາມແປປ່ວນຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ຄ່າສະເລ່ຍ (ສະເລ່ຍ) ແລະ ຄວາມແปรປ່ວນຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມຍັງມີສູດທີ່ງ່າຍດາຍ ແລະ ເຂົ້າໃຈງ່າຍ:

- ຄ່າສະເລ່ຍ (\(\mu\)): ຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນຈຳນວນການທົດລອງຄູນດ້ວຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ:
\[ \mu = np \]

- ຄວາມແປປ່ວນ (\(\sigma^2\)): ຄວາມແປປ່ວນຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນຜົນຄູນຂອງຈຳນວນການທົດລອງ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ, ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມລົ້ມເຫຼວ:
\[ \sigma^2 = np(1 – p) \]

ການສຶກສາກໍລະນີຂອງການນຳໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບ Binomial

ເພື່ອເຂົ້າໃຈການນຳໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ, ໃຫ້ພວກເຮົາເບິ່ງຕົວຢ່າງຕົວຈິງບາງຢ່າງ:

ຕົວຢ່າງທີ 1: ການວິເຄາະຜົນງານຂອງພະນັກງານ

ຜູ້ຈັດການຕ້ອງການວິເຄາະຜົນງານຂອງພະນັກງານໃນພະແນກ. ສົມມຸດວ່າພະນັກງານແຕ່ລະຄົນມີໂອກາດ 0,7 (70%) ທີ່ຈະເຮັດວຽກໃຫ້ສຳເລັດ. ຖ້າພະນັກງານ 10 ຄົນກຳລັງປະຕິບັດໜ້າວຽກດຽວກັນ, ຜູ້ຈັດການອາດຈະຕ້ອງການຮູ້ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ພະນັກງານ 7 ຄົນຈະປະສົບຜົນສຳເລັດ.

ໃຊ້ສູດການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

ການຄິດໄລ່ສຳປະສິດສອງນາມ ແລະ ຜົນໄດ້ຮັບສຸດທ້າຍໃຫ້ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງສະຖານະການນີ້.

ຕົວຢ່າງທີ 2: ການທົດສອບຜະລິດຕະພັນໃນໂຮງງານ

ໂຮງງານຜະລິດອຸປະກອນເອເລັກໂຕຣນິກທີ່ມີອັດຕາການຜິດປົກກະຕິ 2%. ຖ້າພວກເຂົາທົດສອບອຸປະກອນ 100 ອັນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ 2 ອັນຈະມີຂໍ້ບົກພ່ອງແມ່ນເທົ່າໃດ?

ໃຊ້ສູດການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ:
\[ P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.02)^2 (0.98)^{98} \]

ມັນໃຫ້ຄໍາແນະນໍາສໍາລັບການຄວບຄຸມຄຸນນະພາບ.

ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ ທຽບກັບ ການແຈກຢາຍແບບປອຍຊອນ

ໃນບາງສະຖານະການ, ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມສາມາດປະມານການແຈກຢາຍ Poisson, ໂດຍສະເພາະເມື່ອຈຳນວນການທົດລອງ \(n\) ມີຂະໜາດໃຫຍ່ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ \(p\) ມີຂະໜາດນ້ອຍ. ກົດລະບຽບທົ່ວໄປອັນໜຶ່ງສຳລັບການປະມານການແຈກຢາຍ Poisson ດ້ວຍການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນຖ້າ \(n\geq 20\) ແລະ \(p\leq 0.05\).

ການໃຊ້ຊອບແວ ແລະ ການແຈກຢາຍແບບສອງນາມ

ດ້ວຍຄວາມກ້າວໜ້າທາງດ້ານເຕັກໂນໂລຊີ ແລະ ການຄຳນວນ, ການຄິດໄລ່ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມສາມາດປະຕິບັດໄດ້ງ່າຍໂດຍໃຊ້ຊອບແວສະຖິຕິເຊັ່ນ R, Python, ແລະ ຊອບແວອື່ນໆເຊັ່ນ Microsoft Excel. ຕົວຢ່າງ, ໃນ Python, ທ່ານສາມາດໃຊ້ຫ້ອງສະໝຸດ `scipy.stats` ເພື່ອປະຕິບັດການຄິດໄລ່ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມໄດ້ຢ່າງງ່າຍດາຍ:

“` python
ຈາກ scipy.stats ນຳເຂົ້າ binom

ຕົວກໍານົດການ
n = ຈຳນວນການທົດລອງ 10 ຄັ້ງ
p = 0.5 ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ

k = ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດ 5

ຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ແບບທະວິໂນເມຍ
binom_prob = binom.pmf(k,n,p)
print(“ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການໄດ້ຮັບຄວາມສຳເລັດ 5 ຢ່າງແນ່ນອນ:”, binom_prob)
“ `

ສະຫຼຸບ

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນການແຈກຢາຍພື້ນຖານແຕ່ມີປະສິດທິພາບໃນການວິເຄາະຄວາມເປັນໄປໄດ້ ແລະ ສະຖິຕິ. ເນື່ອງຈາກລັກສະນະທີ່ແຕກຕ່າງກັນ ແລະ ການສຸມໃສ່ສອງຜົນໄດ້ຮັບຄື ຄວາມສຳເລັດ ແລະ ຄວາມລົ້ມເຫຼວ ມັນເປັນຕົວແບບທີ່ເໝາະສົມສຳລັບສະຖານະການຕົວຈິງຫຼາຍຢ່າງ. ຄວາມຮູ້ກ່ຽວກັບການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວບໍ່ພຽງແຕ່ຊ່ວຍໃນການກຳນົດ ແລະ ເຂົ້າໃຈຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງເຫດການເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງເປັນພື້ນຖານທີ່ແຂງແກ່ນສຳລັບການວິເຄາະສະຖິຕິທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນ. ການນໍາໃຊ້ເຄື່ອງມືຄອມພິວເຕີທີ່ທັນສະໄໝໄດ້ເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການນໍາໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວ, ເຮັດໃຫ້ມັນເປັນເຄື່ອງມືທີ່ກ່ຽວຂ້ອງສູງໃນໂລກທີ່ຂັບເຄື່ອນດ້ວຍຂໍ້ມູນໃນປະຈຸບັນ.