ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມ

ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມ

ໃນສະຖິຕິ ແລະ ທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້, ຕົວແປແບບສຸ່ມແມ່ນໜຶ່ງໃນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ສຸດ, ເຊິ່ງເປັນການເຊື່ອມຕໍ່ຊ່ອງຫວ່າງລະຫວ່າງເຫດການແບບສຸ່ມ ແລະ ການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດທີ່ວັດແທກໄດ້. ຜ່ານຕົວແປແບບສຸ່ມ, ພວກເຮົາສາມາດ "ແປ" ຜົນຂອງການທົດລອງແບບສຸ່ມ - ເຊິ່ງໃນເບື້ອງຕົ້ນປະກອບດ້ວຍເຫດການ ຫຼື ໝວດໝູ່ - ເປັນຕົວເລກທີ່ສາມາດປະມວນຜົນໄດ້: ການຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງພວກມັນ, ສະຫຼຸບພວກມັນດ້ວຍຄ່າສະເລ່ຍ, ການວັດແທກການກະຈາຍຂອງພວກມັນ, ແລະ ແມ່ນແຕ່ການສ້າງແບບຈຳລອງໂດຍໃຊ້ການແຈກຢາຍສະເພາະ. ບົດຄວາມນີ້ສົນທະນາກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມ, ປະເພດຂອງພວກມັນ, ແລະ ແນວຄວາມຄິດຫຼັກເຊັ່ນ: ຟັງຊັນຄວາມເປັນໄປໄດ້, ຟັງຊັນການແຈກຢາຍສະສົມ, ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້, ແລະ ຄວາມແปรປ່ວນ.

1. ຕົວແປແບບສຸ່ມແມ່ນຫຍັງ?

ເວົ້າງ່າຍໆ, ຕົວແປແບບສຸ່ມແມ່ນຟັງຊັນທີ່ສ້າງແຜນທີ່ຜົນໄດ້ຮັບແຕ່ລະຢ່າງຈາກພື້ນທີ່ຕົວຢ່າງໄປຫາຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ. ພື້ນທີ່ຕົວຢ່າງແມ່ນການລວບລວມຜົນໄດ້ຮັບທີ່ເປັນໄປໄດ້ທັງໝົດຂອງການທົດລອງແບບສຸ່ມ.

ຕົວຢ່າງ, ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາກິ້ງລູກເຕົ໋າຫົກດ້ານ. ພື້ນທີ່ຕົວຢ່າງແມ່ນ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ພວກເຮົາສາມາດກຳນົດຕົວແປແບບສຸ່ມ \(X\) ເປັນ "ຕົວເລກທີ່ປາກົດຢູ່ໃນລູກເຕົ໋າ." ຫຼັງຈາກນັ້ນ \(X\) ສາມາດມີຄ່າຕັ້ງແຕ່ 1 ຫາ 6, ໂດຍມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ເທົ່າທຽມກັນຖ້າລູກເຕົ໋າມີຄວາມຍຸດຕິທຳ.

ຕົວຢ່າງອີກອັນໜຶ່ງ: ພວກເຮົາພິກຫຼຽນສອງຫຼຽນ. ພື້ນທີ່ຕົວຢ່າງແມ່ນ {HH, HT, TH, TT}. ຖ້າພວກເຮົາກຳນົດຕົວແປແບບສຸ່ມ \(Y\) ເປັນ "ຈຳນວນຫົວ (H) ທີ່ປາກົດ", ແລ້ວ:
– HH → \(Y = 2\)
– HT → \(Y = 1\)
– TH → \(Y = 1\)
– TT → \(Y = 0\)

ໃນທີ່ນີ້ພວກເຮົາເຫັນວ່າຕົວແປແບບສຸ່ມບໍ່ຈຳເປັນຕ້ອງ "ສະທ້ອນ" ຜົນໄດ້ຮັບເດີມໂດຍກົງ; ພວກມັນເປັນວິທີການກຳນົດຄ່າຕົວເລກໃຫ້ກັບຜົນໄດ້ຮັບແບບສຸ່ມຕາມຄວາມຕ້ອງການຂອງການວິເຄາະ.

2. ປະເພດຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມ: ບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ແລະ ຕໍ່ເນື່ອງ

ໂດຍທົ່ວໄປ, ຕົວແປແບບສຸ່ມແບ່ງອອກເປັນສອງປະເພດຫຼັກຄື:

ກ) ຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ
ຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງແມ່ນຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ຄ່າຂອງມັນສາມາດນັບໄດ້ເທື່ອລະອັນ (ນັບໄດ້), ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວຈະຢູ່ໃນຮູບແບບຂອງຈຳນວນເຕັມ ຫຼື ຊຸດຄ່າສະເພາະແຍກຕ່າງຫາກ.

ຫົວຂໍ້:
– ຈຳນວນເດັກນ້ອຍໃນຄອບຄົວ (0, 1, 2, 3, …)
- ຈຳນວນຍານພາຫະນະທີ່ຜ່ານຈຸດເກັບເງິນໃນ 1 ນາທີ
– ຈຳນວນສິນຄ້າທີ່ມີຂໍ້ບົກພ່ອງຈາກຜະລິດຕະພັນ 10 ຊະນິດທີ່ໄດ້ກວດກາ

ສຳລັບຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງແຕ່ລະຄ່າສາມາດສະແດງອອກໂດຍກົງໃນຮູບແບບຂອງຟັງຊັນມວນສານຄວາມເປັນໄປໄດ້.

ຂ) ຕົວແປແບບສຸ່ມຕໍ່ເນື່ອງ
ຕົວແປແບບສຸ່ມຕໍ່ເນື່ອງແມ່ນຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ສາມາດຮັບຄ່າຕ່າງໆໃນຊ່ວງເວລາຕໍ່ເນື່ອງໃນເສັ້ນຈຳນວນຈິງ (ນັບບໍ່ໄດ້), ຕົວຢ່າງເຊັ່ນຄ່າທັງໝົດລະຫວ່າງ 0 ແລະ 1, ຫຼືຄ່າຈິງທີ່ເປັນບວກທັງໝົດ.

ຫົວຂໍ້:
- ຄວາມສູງຂອງຄົນ
- ເວລາລໍຖ້າລູກຄ້າຢູ່ເຄົາເຕີ້
- ອຸນຫະພູມອາກາດໃນຊົ່ວໂມງທີ່ແນ່ນອນ

ສຳລັບຕົວແປແບບສຸ່ມຕໍ່ເນື່ອງ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຢູ່ຈຸດໃດໜຶ່ງທີ່ກຳນົດໃຫ້ແມ່ນສູນ. ດັ່ງນັ້ນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຈຶ່ງຖືກຄິດໄລ່ໃນຊ່ວງຂອງຄ່າຕ່າງໆ (ເຊັ່ນ: ລະຫວ່າງ 10 ແລະ 12 ນາທີ), ໂດຍໃຊ້ຟັງຊັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້.

3. ຟັງຊັນຄວາມເປັນໄປໄດ້: PMF ແລະ PDF

ແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນຕໍ່ໄປແມ່ນວິທີການທີ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຖືກ "ຕິດ" ກັບຄ່າຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມ.

ກ) ຟັງຊັນມວນສານຄວາມເປັນໄປໄດ້ (PMF)
ສຳລັບຕົວແປສຸ່ມທີ່ບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ \(X\), PMF ຖືກນິຍາມວ່າເປັນ:
\[
p(x) = P(X = x)
\]
ດ້ວຍຂໍ້ກຳນົດຂອງ:
1. \(p(x) \ge 0\) ສຳລັບທຸກໆ \(x\)
2. \(\sum_x p(x) = 1\)

ຕົວຢ່າງງ່າຍໆ: ລູກເຕົ໋າທີ່ຍຸດຕິທຳ
\[
P(X=k)=\frac{1}{6}, k=1,2,3,4,5,6
\]

ຂ) ຟັງຊັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້ (PDF)
ສຳລັບຕົວແປສຸ່ມຕໍ່ເນື່ອງ \(X\), ພວກເຮົາໃຊ້ PDF \(f(x)\) ເພື່ອໃຫ້ຄວາມເປັນໄປໄດ້ໃນຊ່ວງ \([a,b]\) ແມ່ນ:
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^bf(x)\,dx
\]
ດ້ວຍຂໍ້ກຳນົດຂອງ:
1. f(x) \ge 0\)
2. \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\)

ມັນຄຸ້ມຄ່າທີ່ຈະເນັ້ນໜັກວ່າ: ສຳລັບຕົວແປແບບສຸ່ມຕໍ່ເນື່ອງ, \(P(X=x)=0\) ສຳລັບທຸກໆຄ່າດຽວຂອງ \(x\). ຄວາມເປັນໄປໄດ້ແມ່ນມີຄວາມໝາຍສະເໝີເມື່ອສົນທະນາກ່ຽວກັບຂອບເຂດ.

4. ຟັງຊັນການແຈກຢາຍສະສົມ (CDF)

ບໍ່ວ່າຈະເປັນຕົວແປແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ຫຼື ແບບຕໍ່ເນື່ອງ, ຕົວແປແບບສຸ່ມສາມາດອະທິບາຍໄດ້ໂດຍຟັງຊັນການແຈກຢາຍສະສົມ (CDF), ເຊິ່ງຖືກນິຍາມວ່າເປັນ:
\[
F(x) = P(X \le x)
\]

CDF ມີຄຸນສົມບັດສຳຄັນຫຼາຍຢ່າງຄື:
- ຄ່າຂອງ \(F(x)\) ແມ່ນຢູ່ລະຫວ່າງ 0 ແລະ 1 ສະເໝີ
- \(F(x)\) ບໍ່ຫຼຸດລົງ (ບໍ່ຫຼຸດລົງ)
– \(\lim_{x\to \infty}F(x)=0\) ແລະ \(\lim_{x\to \infty}F(x)=1\)

ສຳລັບຕົວແປທີ່ບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ, CDF ມີຮູບຮ່າງ "ຂັ້ນໄດ" (ເພີ່ມຂຶ້ນໃນຈຸດໃດໜຶ່ງ). ສຳລັບຕົວແປຕໍ່ເນື່ອງ, CDF ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວຈະລຽບ ແລະ ເປັນສ່ວນປະກອບຫຼັກຂອງ PDF:
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
\]

5. ການວັດແທກແນວໂນ້ມສູນກາງ: ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ (ຄວາມຄາດຫວັງ)

ເມື່ອພວກເຮົາຮູ້ການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ແລ້ວ, ພວກເຮົາມັກຈະຕ້ອງການສະຫຼຸບຕົວແປແບບສຸ່ມດ້ວຍຕົວເລກດຽວທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງ "ຄ່າສະເລ່ຍໃນໄລຍະຍາວ". ນີ້ແມ່ນຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ ຫຼື ຄວາມຄາດຫວັງ.

ກ) ຄວາມຄາດຫວັງທີ່ແຕກຕ່າງກັນ
ຖ້າ \(X\) ເປັນແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ:
\[
E[X] = \sum_x x\,p(x)
\]

ຂ) ຄວາມຄາດຫວັງຂອງຕົວແປຕໍ່ເນື່ອງ
ຖ້າ \(X\) ເປັນຕໍ່ເນື່ອງ:
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx
\]

ຄວາມຄາດຫວັງບໍ່ຄືກັນກັບ "ຄ່າທີ່ເກີດຂຶ້ນເລື້ອຍໆ" (ຮູບແບບ) ສະເໝີໄປ, ແລະບໍ່ແມ່ນຄ່າທີ່ມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະເກີດຂຶ້ນແທ້ໆສະເໝີໄປ, ແຕ່ມັນມີປະໂຫຍດຫຼາຍສຳລັບການຕັດສິນໃຈ, ການຄາດຄະເນ ແລະ ການວິເຄາະຄວາມສ່ຽງ.

ຕົວຢ່າງການນຳໃຊ້: ໃນທຸລະກິດ, ຄວາມຄາດຫວັງສາມາດຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ກໍາໄລສະເລ່ຍທີ່ຄາດຫວັງຂອງຍຸດທະສາດ, ໂດຍຄໍານຶງເຖິງສະຖານະການຕ່າງໆ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງພວກມັນ.

6. ມາດຕະການການກະຈາຍ: ຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ

ຕົວແປແບບສຸ່ມສອງຕົວສາມາດມີຄວາມຄາດຫວັງດຽວກັນແຕ່ມີລະດັບຄວາມບໍ່ແນ່ນອນທີ່ແຕກຕ່າງກັນ. ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາຕ້ອງການມາດຕະການການກະຈາຍຕົວ, ຄືຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ.

ຄ່າແปรປ່ວນຂອງ \(X\) ຖືກນິຍາມເປັນ:
\[
Var(X)=E[(XE[X])^2]
\]
ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນຮາກຂັ້ນສອງຂອງຄວາມແปรປ່ວນ:
\[
\sigma = \sqrt{Var(X)}
\]

ສູດປະຕິບັດທີ່ມັກໃຊ້:
\[
Var(X) = E[X^2] – (E[X])^2
\]

ຄວາມແปรປ່ວນຫຼາຍເທົ່າໃດ, ການແຜ່ກະຈາຍຂອງຄ່າ \(X\) ຈາກຄ່າສະເລ່ຍກໍ່ຈະຫຼາຍຂຶ້ນເທົ່ານັ້ນ, ຊຶ່ງໝາຍເຖິງຄວາມບໍ່ແນ່ນອນທີ່ສູງຂຶ້ນ.

7. ການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ໃຊ້ເລື້ອຍໆ

ໃນທາງປະຕິບັດ, ຕົວແປແບບສຸ່ມຫຼາຍຕົວປະຕິບັດຕາມຮູບແບບການແຈກຢາຍທີ່ແນ່ນອນ. ການແຈກຢາຍທີ່ນິຍົມບາງຢ່າງແມ່ນ:

- ເບີນູລີ: ສອງຜົນໄດ້ຮັບ (ສຳເລັດ/ລົ້ມເຫຼວ), ຕົວຢ່າງເຊັ່ນ ຖືກ-ຜິດ, ມີຊີວິດຢູ່-ຕາຍ.
- ທະວິນາມ: ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດຈາກການທົດລອງ \(n\) Bernoulli, ຕົວຢ່າງເຊັ່ນ ຈຳນວນນັກສຶກສາທີ່ຮຽນຈົບຈາກ 20 ຄົນ.
– Poisson: ຈຳນວນເຫດການໃນຊ່ວງເວລາ/ພື້ນທີ່, ຕົວຢ່າງເຊັ່ນ ຈຳນວນການໂທເຂົ້າຕໍ່ນາທີ.
- ຄວາມຕໍ່ເນື່ອງເປັນເອກະພາບ: ຄ່າທັງໝົດໃນຊ່ວງເວລາມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ເທົ່າທຽມກັນ.
- ປົກກະຕິ (Gaussian): ປະກົດການທາງທຳມະຊາດ ແລະ ສັງຄົມຫຼາຍຢ່າງເຂົ້າຫາການແຈກຢາຍນີ້, ເຊັ່ນ: ຄວາມສູງ ຫຼື ຄວາມຜິດພາດໃນການວັດແທກ.

ການເລືອກການແຈກຢາຍທີ່ເໝາະສົມຊ່ວຍໃຫ້ການສ້າງແບບຈຳລອງ ແລະ ການວິເຄາະມີຄວາມຖືກຕ້ອງຫຼາຍຂຶ້ນ.

8. ເປັນຫຍັງຕົວແປແບບສຸ່ມຈຶ່ງມີຄວາມສຳຄັນ?

ຕົວແປແບບສຸ່ມແມ່ນພື້ນຖານສໍາລັບ:
- ສະຖິຕິອະນຸມານ: ການປະເມີນຕົວກໍານົດປະຊາກອນໂດຍອີງໃສ່ຕົວຢ່າງ
– ການທົດສອບສົມມຸດຕິຖານ: ການຕັດສິນໃຈວ່າການຮຽກຮ້ອງນັ້ນໄດ້ຮັບການສະໜັບສະໜູນຈາກຂໍ້ມູນຫຼືບໍ່
- ການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ: ການສ້າງແບບຈຳລອງຄວາມບໍ່ແນ່ນອນ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ໃນການຄາດຄະເນ
– ການຄຸ້ມຄອງຄວາມສ່ຽງ: ການວັດແທກຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການສູນເສຍ ແລະ ສະຖານະການທີ່ຮ້າຍແຮງ
- ວິສະວະກຳ ແລະ ວິທະຍາສາດ: ການປະມວນຜົນສັນຍານ, ຄວາມໜ້າເຊື່ອຖືຂອງລະບົບ, ທິດສະດີການຕໍ່ຄິວ

ດ້ວຍຕົວແປແບບສຸ່ມ, ພວກເຮົາມີພາສາຄະນິດສາດເພື່ອເວົ້າກ່ຽວກັບຄວາມບໍ່ແນ່ນອນຢ່າງເປັນລະບົບ.

ສະຫຼຸບ

ຕົວແປແບບສຸ່ມແມ່ນແນວຄວາມຄິດຫຼັກໃນທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ສະແດງຜົນໄດ້ຮັບຂອງການທົດລອງແບບສຸ່ມກັບຄ່າຕົວເລກ. ຕົວແປແບບສຸ່ມສາມາດເປັນແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ຫຼື ຕໍ່ເນື່ອງ, ແລະແຕ່ລະຕົວມີວິທີການທີ່ແຕກຕ່າງກັນໃນການເປັນຕົວແທນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຜ່ານ PMF ຫຼື PDF. ຍິ່ງໄປກວ່ານັ້ນ, CDF ໃຫ້ວິທີການທົ່ວໄປໃນການເບິ່ງການສະສົມຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້. ເພື່ອສະຫຼຸບການແຈກຢາຍ, ຄວາມຄາດຫວັງຖືກນໍາໃຊ້ເປັນມາດຕະການຂອງແນວໂນ້ມສູນກາງ ແລະ ຄວາມແปรປ່ວນ/ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານເປັນມາດຕະການຂອງການກະຈາຍ. ການເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານເຫຼົ່ານີ້ຈະຊ່ວຍໃຫ້ການຮຽນຮູ້ຫົວຂໍ້ທີ່ກ້າວໜ້າກວ່າເຊັ່ນ: ການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້, ການຄາດຄະເນທາງສະຖິຕິ, ການຖົດຖອຍ, ແລະ ການສ້າງແບບຈຳລອງຄວາມສ່ຽງ ແລະ ການວິເຄາະຂໍ້ມູນທີ່ທັນສະໄໝ.

ຖ້າທ່ານຕ້ອງການ, ຂ້ອຍຍັງສາມາດເພີ່ມຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາຂອງພວກມັນ (ແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ແລະ ແບບຕໍ່ເນື່ອງ) ເພື່ອເຮັດໃຫ້ແນວຄວາມຄິດຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມເຂົ້າໃຈງ່າຍຂຶ້ນ.