ສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນ

ສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນ

ວົງມົນແມ່ນໜຶ່ງໃນວັດຖຸທາງເລຂາຄະນິດພື້ນຖານທີ່ສຸດ ແລະ ມັກພົບເລື້ອຍໃນຫຼາຍຂົງເຂດວິທະຍາສາດ, ຕັ້ງແຕ່ຄະນິດສາດພື້ນຖານຈົນເຖິງວິສະວະກຳໂຍທາ ແລະ ສະຖາປັດຕະຍະກຳ. ໜຶ່ງໃນແນວຄວາມຄິດຫຼັກທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບວົງມົນໃນເລຂາຄະນິດວິເຄາະແມ່ນສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນ. ການເຂົ້າໃຈສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນເປີດຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າກ່ຽວກັບຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງວັດຖຸທາງເລຂາຄະນິດ ແລະ ການນຳໃຊ້ຂອງມັນໃນຊີວິດປະຈຳວັນ. ບົດຄວາມນີ້ຈະອະທິບາຍສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນຢ່າງລະອຽດ, ເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ ແລະ ການໄດ້ຮັບສົມຜົນ, ພ້ອມທັງການນຳໃຊ້ຕົວຢ່າງຕ່າງໆ.

ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງສຳຜັດກັບວົງມົນ

ເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນແມ່ນເສັ້ນທີ່ແຕະວົງມົນຢູ່ຈຸດດຽວໂດຍບໍ່ຕັດກັນ. ຈຸດນີ້ທີ່ເສັ້ນ ແລະ ວົງມົນພົບກັນເອີ້ນວ່າຈຸດສຳຜັດ. ບໍ່ເໝືອນກັບເສັ້ນທີ່ຕັດກັນວົງມົນຢູ່ສອງຈຸດ, ເສັ້ນສຳຜັດມີຄຸນສົມບັດພິເສດຄືທຸກໆເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນແມ່ນຕັ້ງສາກກັບລັດສະໝີຂອງວົງມົນຢູ່ຈຸດນັ້ນ.

ສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງວົງມົນ ແລະ ເສັ້ນ

ກ່ອນທີ່ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດ, ມັນຈຳເປັນຕ້ອງຮູ້ສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງວົງມົນ ແລະ ເສັ້ນໃນພິກັດ Cartesian ກ່ອນ.

ສົມຜົນວົງມົນ

ວົງມົນທີ່ມີຈຸດໃຈກາງຢູ່ທີ່ຈຸດ (h, k)) ແລະ ລັດສະໝີ (r) ມີສົມຜົນຄື:

\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

ສົມຜົນເສັ້ນ

ເສັ້ນໃນລະນາບ Cartesian ສາມາດສະແດງອອກໄດ້ຫຼາຍຮູບແບບ, ໜຶ່ງໃນນັ້ນທີ່ພົບເລື້ອຍທີ່ສຸດແມ່ນຮູບແບບຄວາມຊັນ-ຈຸດຕັດເສັ້ນ:

\[ y = mx + c \]

ບ່ອນທີ່ \(m\) ແມ່ນຄວາມຊັນ (ຫຼື ຄວາມຊັນ) ຂອງເສັ້ນ ແລະ \(c\) ແມ່ນຈຸດຕັດ (ຈຸດຕັດ) ປະມານແກນ y.

ການກຳນົດສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນ

ມີຫຼາຍວິທີທີ່ສາມາດໃຊ້ເພື່ອກຳນົດສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນ. ນີ້ແມ່ນບາງວິທີທົ່ວໄປທີ່ສຸດ.

ວິທີທີ 1: ການໃຊ້ຈຸດ Gradient ແລະ ຈຸດ Tangent

ຖ້າພວກເຮົາຮູ້ຈຸດສຳຜັດ \((x_1, y_1)\) ຢູ່ເທິງວົງມົນທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ \((h, k)\), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ຄຸນສົມບັດທາງເລຂາຄະນິດທີ່ເສັ້ນສຳຜັດຕັ້ງສາກກັບລັດສະໝີຂອງວົງມົນຢູ່ຈຸດສຳຜັດ. ຖ້າຄວາມຊັນຂອງລັດສະໝີທີ່ຜ່ານຈຸດ \((h, k)\) ແລະ \((x_1, y_1)\) ແມ່ນ:

\[ ມ_ລັດສະໝີ} = \frac{y_1 – k}{x_1 – h} \]

ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນສຳຜັດ, ເຊິ່ງຕັ້ງສາກກັບເສັ້ນລັດສະໝີ, ແມ່ນ:

\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k} \]

ດ້ວຍຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນສຳຜັດທີ່ຮູ້ຈັກແລ້ວ, ພວກເຮົາສາມາດຂຽນສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດໃນຮູບແບບຄວາມຊັນ-ຈຸດຕັດມຸມໂດຍໃຊ້ຈຸດ \((x_1, y_1)\):

\[ y – y_1 = m_{tangent}(x – x_1) \]

ຫຼືໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ:

\[ y – y_1 = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k}(x – x_1) \]

ວິທີການທີ 2: ການໃຊ້ການທົດແທນ ແລະ ການຈຳແນກ

ເພື່ອຊອກຫາສຳຜັດກັບວົງມົນທີ່ຮູ້ຈັກໂດຍໃຊ້ວິທີການທົດແທນ ແລະ ການຈຳແນກ, ພວກເຮົາເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍການຂຽນສົມຜົນຂອງວົງມົນ ແລະ ສຽບສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງເສັ້ນເຂົ້າ. ສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງເສັ້ນແມ່ນ \( y = mx + c \ ). ການລວມສິ່ງນີ້ເຂົ້າກັບສົມຜົນຂອງວົງມົນ:

\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

ແທນທີ່ \( y \) ໃນສົມຜົນວົງມົນດ້ວຍ \( mx + c \):

\[ (x – h)^2 + (mx + c – k)^2 = r^2 \]

ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ສົມຜົນນີ້ຈະຖືກຂະຫຍາຍອອກເປັນຮູບແບບກຳລັງສອງມາດຕະຖານ \(Ax^2 + Bx + C = 0\). ສຳລັບເສັ້ນທີ່ຈະສຳຜັດກັບວົງມົນ, ຕ້ອງມີຄຳຕອບດຽວສຳລັບ \(x\), ສະນັ້ນຄ່າຈຳແນກຂອງສົມຜົນກຳລັງສອງຕ້ອງເທົ່າກັບສູນ. ຄ່າຈຳແນກຂອງສົມຜົນກຳລັງສອງ \(Ax^2 + Bx + C = 0\) ແມ່ນ:

\[ D = B^2 – 4AC \]

ດ້ວຍ \(D = 0\), ພວກເຮົາສາມາດກຳນົດຄ່າຂອງ \(m\) ແລະ \(c\) ທີ່ເຮັດໃຫ້ເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນ.

ຕົວຢ່າງການນຳໃຊ້

ຕົວຢ່າງທີ 1: ການກຳນົດສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດ

ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີວົງມົນທີ່ມີສົມຜົນ \( (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \) ແລະພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດທີ່ຜ່ານຈຸດ \((-1, 5)\).

ກ່ອນອື່ນໝົດ, ພວກເຮົາກວດສອບວ່າຈຸດນັ້ນຢູ່ໃນວົງມົນຫຼືບໍ່. ແທນຄ່າ \((x, y) = (-1, 5)\) ໃສ່ໃນສົມຜົນຂອງວົງມົນ:

\[ (-1 – 3)^2 + (5 + 4)^2 = (-4)^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \]

ເນື່ອງຈາກ \(97 \neq 25\), ຈຸດນີ້ບໍ່ໄດ້ຢູ່ໃນວົງມົນ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ພວກເຮົາຍັງສາມາດຊອກຫາເສັ້ນທີ່ຜ່ານຈຸດນີ້ ແລະ ຕັ້ງສາກກັບລັດສະໝີຢູ່ຈຸດສຳຜັດກັນ.

ຫນ້າທໍາອິດ, ພວກເຮົາຊອກຫາຄວາມຊັນຂອງລັດສະໝີທີ່ຜ່ານຈຸດ:

\[ ມ_ລັດສະໝີ} = \frac{5 + 4}{-1 – 3} = \frac{9}{-4} = -\frac{9}{4} \]

ດັ່ງນັ້ນ, gradient ຂອງເສັ້ນ tangent ແມ່ນ:

\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = \frac{4}{9} \]

ສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດໂດຍໃຊ້ຄວາມຊັນນີ້ ແລະ ຜ່ານຈຸດ \((-1,5)\) ແມ່ນ:

\[ y – 5 = \frac{4}{9}(x + 1) \]

ສະຫຼຸບ

ສົມຜົນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບວົງມົນເປັນແນວຄວາມຄິດທາງເລຂາຄະນິດພື້ນຖານຫຼາຍ, ແຕ່ມັນມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຫຼາຍໆຂົງເຂດ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈຄຸນສົມບັດຂອງເສັ້ນສຳຜັດ ແລະ ວິທີການກຳນົດສົມຜົນຂອງມັນ, ພວກເຮົາສາມາດນຳໃຊ້ແນວຄວາມຄິດນີ້ເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ຫຼາກຫຼາຍໃນຄະນິດສາດ ແລະ ວິທະຍາສາດ.

ການເຂົ້າໃຈວົງມົນ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຍັງເປີດຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ກວ້າງຂວາງກ່ຽວກັບການພັດທະນາວິທະຍາສາດ, ໂດຍສະເພາະໃນຄະນິດສາດວິເຄາະ. ຜ່ານວິທີການທີ່ເປັນລະບົບ, ພວກເຮົາສາມາດເຊື່ອມຕໍ່ອົງປະກອບຕ່າງໆໃນພື້ນທີ່ສອງມິຕິ, ເສີມສ້າງຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງພວກເຮົາກ່ຽວກັບພື້ນຖານທາງເລຂາຄະນິດທີ່ສາມາດເປັນພື້ນຖານສໍາລັບການສຳຫຼວດຕື່ມອີກໃນເລຂາຄະນິດ ແລະ ການວິເຄາະທາງພື້ນທີ່.