ຮູບແບບຂອງ Pascal ໃນ Combinatorics
ຄະນິດສາດປະສົມປະສານ (Combinatorics) ແມ່ນສາຂາໜຶ່ງຂອງຄະນິດສາດທີ່ສຶກສາວິທີການຈັດລຽງວັດຖຸຕ່າງໆ. ໜຶ່ງໃນເຄື່ອງມືທີ່ໜ້າສົນໃຈ ແລະ ເປັນປະໂຫຍດທີ່ສຸດໃນຂົງເຂດນີ້ແມ່ນຮູບແບບຂອງ Pascal, ເຊິ່ງເອີ້ນກັນວ່າສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal. ສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal ແມ່ນສາມຫຼ່ຽມຂອງຕົວເລກທີ່ສ້າງຂຶ້ນຕາມກົດລະບຽບທີ່ແນ່ນອນ ແລະ ມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຂົງເຂດຄະນິດສາດຕ່າງໆ, ລວມທັງທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້, ທິດສະດີຈຳນວນ, ແລະ ແນ່ນອນ, ຄະນິດສາດປະສົມປະສານ.
ຕົ້ນກຳເນີດຂອງສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal
ສາມຫຼ່ຽມປາສກາລຖືກຕັ້ງຊື່ຕາມ Blaise Pascal, ນັກຄະນິດສາດຝຣັ່ງໃນສະຕະວັດທີ 17. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ມັນເປັນທີ່ຮູ້ຈັກຂອງນັກຄະນິດສາດອິນເດຍ ແລະ ຈີນດົນນານກ່ອນສະໄໝຂອງ Pascal. ໃນອິນເດຍ, ມັນຖືກເອີ້ນວ່າ "Meru-Prastaara," ແລະ ໃນປະເທດຈີນມັນເປັນທີ່ຮູ້ຈັກໃນນາມ "ສາມຫຼ່ຽມຢາງຮຸຍ," ຕັ້ງຊື່ຕາມນັກຄະນິດສາດຈີນ Yang Hui.
ໂຄງສ້າງສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal
ສາມຫຼ່ຽມຂອງປາສະກາລເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍ 1 ຢູ່ຈຸດສູງສຸດ. ແຕ່ລະແຖວຕໍ່ໄປແມ່ນສ້າງຂຶ້ນໂດຍການບວກສອງຕົວເລກໃນແຖວທີ່ຢູ່ຂ້າງເທິງມັນ. ແຖວທຳອິດມີພຽງຕົວເລກດຽວຄື 1. ແຖວທີສອງມີສອງຕົວເລກທີ່ເປັນ 1 ຄືກັນ. ແຖວທີສາມມີ 1 ຢູ່ແຕ່ລະສົ້ນໂດຍມີ 2 ຢູ່ລະຫວ່າງພວກມັນ, ເຊິ່ງເປັນຜົນມາຈາກການບວກສອງ 1 ຈາກແຖວກ່ອນໜ້ານີ້.
ໂດຍທົ່ວໄປ, ແຖວທີ n ໃນສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal ສາມາດຂຽນໄດ້ດັ່ງນີ້:
1, (n-1)C1, (n-1)C2, …, (n-1)C(n-1), 1
ໃນທີ່ນີ້, "kC(n)" ແມ່ນສັນຍາລັກປະສົມປະສານທີ່ອ່ານວ່າ "n ເລືອກ k" ຫຼື "n ເລືອກ k", ເຊິ່ງເປັນສູດປະສົມປະສານໃນຄະນິດສາດ ແລະ ມັກຖືກນໍາໃຊ້ໃນທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້ ແລະ ພຶດຊະຄະນິດເສັ້ນຊື່.
ຄໍາຮ້ອງສະຫມັກໃນ Combinatorics
1. ການປະສົມປະສານ
ໜຶ່ງໃນການນຳໃຊ້ຫຼັກຂອງສາມຫຼ່ຽມ Pascal ໃນວິທະຍາສາດການປະສົມປະສານແມ່ນການຄິດໄລ່ການປະສົມປະສານ. ການປະສົມປະສານແມ່ນວິທີການເລືອກລາຍການຈາກຊຸດທີ່ບໍ່ໄດ້ຄຳນຶງເຖິງລຳດັບ. ໃນສະພາບການຂອງສາມຫຼ່ຽມ Pascal, ຄ່າໃນແຖວທີ n ແລະຖັນທີ k ສະແດງເຖິງການປະສົມປະສານ n-1Ck-1.
ຕົວຢ່າງ, ເພື່ອຄິດໄລ່ການປະສົມປະສານ 5C2 (ເລືອກ 2 ຈາກ 5), ພວກເຮົາສາມາດເບິ່ງແຖວທີ 6 ແລະຖັນທີ 3 ໃນ Pascal's Triangle, ເຊິ່ງໃຫ້ຄ່າ 10. ເວົ້າອີກຢ່າງໜຶ່ງ, ມີ 10 ວິທີໃນການເລືອກ 2 ລາຍການຈາກຊຸດ 5 ລາຍການ.
2. ການປ່ຽນພັນ ແລະ ສຳປະສິດສອງນາມ
ສາມຫຼ່ຽມ Pascal ຍັງກ່ຽວຂ້ອງຢ່າງໃກ້ຊິດກັບສຳປະສິດສອງມິຕິທີ່ປາກົດຢູ່ໃນການຂະຫຍາຍຕົວສອງມິຕິຂອງ (x + y)^n. ສຳປະສິດເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຕົວເລກທີ່ພວກເຮົາພົບໃນສາມຫຼ່ຽມ Pascal. ຕົວຢ່າງ, ການຂະຫຍາຍຕົວຂອງ (x + y)^3 ແມ່ນ:
(x + y)^3 = 1 x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + 1 y^3
ໃນທີ່ນີ້, ສຳປະສິດ 1, 3, 3, ແລະ 1 ແມ່ນຄ່າຂອງສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal ໃນແຖວທີ 4.
3. ເກມຄວາມເປັນໄປໄດ້
ໃນທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້, ສາມຫຼ່ຽມ Pascal ມັກຖືກໃຊ້ເພື່ອກຳນົດຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຜົນໄດ້ຮັບຕ່າງໆ. ຕົວຢ່າງ, ເມື່ອໂຍນຫຼຽນສີ່ເທື່ອ, ພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະໄດ້ສອງຫົວ. ໂດຍໃຊ້ສາມຫຼ່ຽມ Pascal, ພວກເຮົາສາມາດຊອກຫາຈຳນວນຂອງການປະສົມປະສານທີ່ສອດຄ້ອງກັນ, ເຊິ່ງຢູ່ໃນແຖວທີຫ້າ ແລະ ຖັນທີສາມ, ເຊິ່ງໃຫ້ຄ່າ 6. ດັ່ງນັ້ນ, ມີຫົກວິທີທີ່ຈະໄດ້ສອງຫົວໃນການໂຍນຫຼຽນສີ່ຄັ້ງ.
ຄຸນສົມບັດພິເສດຂອງສາມຫຼ່ຽມ Pascal
ສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal ຍັງມີຄຸນສົມບັດທີ່ໜ້າສົນໃຈ ແລະ ໜ້າປະຫລາດໃຈຫຼາຍຢ່າງຄື:
1. ຄວາມສົມມາດ
ສາມຫຼ່ຽມປາສະກາລສະແດງໃຫ້ເຫັນຄວາມສົມມາດຂອງຕົວເລກ. ແຖວທີ n ຂອງສາມຫຼ່ຽມປາສະກາລແມ່ນສົມມາດ, ສະນັ້ນ nCr = nC(nr).
2. ຄວາມສຳພັນຂອງຟີໂບນັກຊີ
ສາມຫຼ່ຽມ Pascal ຍັງສາມາດໃຊ້ເພື່ອເຊື່ອມໂຍງລໍາດັບ Fibonacci ໄດ້. ຕົວເລກ Fibonacci ສາມາດພົບໄດ້ໂດຍການບວກຕົວເລກໃສ່ເສັ້ນຂວາງທີ່ຕັດກັນຫຼາຍເສັ້ນໃນສາມຫຼ່ຽມ Pascal.
3. ຄວາມສະເໝີພາບ
ຮູບສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal ສະແດງຮູບແບບຄວາມສະເໝີພາບທີ່ໜ້າສົນໃຈ. ຖ້າພວກເຮົາໃສ່ສີຕົວເລກຄີກ ແລະ ຕົວເລກຄູ່ໃນຮູບສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal ແຕກຕ່າງກັນ, ຮູບແບບທີ່ເບິ່ງເຫັນໄດ້ໜ້າສົນໃຈຈະເກີດຂຶ້ນ, ເຊິ່ງມັກຈະປະກອບເປັນຮູບ fractals.
ການປະຕິບັດຮູບແບບ Pascal ໃນການຂຽນໂປຣແກຣມ
ສາມຫຼ່ຽມ Pascal ຍັງຖືກນໍາໃຊ້ເລື້ອຍໃນອັລກໍຣິທຶມ ແລະ ການຂຽນໂປຣແກຣມ. ຕົວຢ່າງ, ພວກເຮົາສາມາດສ້າງສາມຫຼ່ຽມ Pascal ໂດຍໃຊ້ພາສາການຂຽນໂປຣແກຣມເຊັ່ນ Python ດ້ວຍລະຫັດຕໍ່ໄປນີ້:
“` python
def generate_pascals_triangle(n):
ສາມຫຼ່ຽມ = [[1]]
ສຳລັບ i ໃນຊ່ວງ (1, n):
ແຖວ = [1]
ສຳລັບ j ໃນຊ່ວງ (1, i):
row.append(ສາມຫຼ່ຽມ[i-1][j-1] + ສາມຫຼ່ຽມ[i-1][j])
ແຖວ.ຜນວກ(1)
ຮູບສາມຫຼ່ຽມ.ຕໍ່ທ້າຍ(ແຖວ)
ສາມຫຼ່ຽມກັບຄືນ
n = 5
ສາມຫຼ່ຽມ = ສ້າງ_ຮູບສາມຫຼ່ຽມ_ປາສະການ(n)
ສຳລັບແຖວໃນຮູບສາມຫຼ່ຽມ:
ພິມ(ແຖວ)
“ `
ລະຫັດຂ້າງເທິງນີ້ຈະສົ່ງຜົນໃຫ້ແຖວທຳອິດຫາແຖວທີຫ້າຂອງ Pascal's Triangle, ເຊິ່ງສາມາດໃຊ້ສຳລັບການວິເຄາະການປະສົມປະສານ ແລະ ການວິເຄາະຄວາມເປັນໄປໄດ້ຕ່າງໆ.
ສະຫຼຸບ
ຮູບສາມຫຼ່ຽມຂອງ Pascal ຫຼື ຮູບແບບຂອງ Pascal ເປັນເຄື່ອງມືທີ່ມີປະສິດທິພາບ ແລະ ຫຼາກຫຼາຍໃນວິທະຍາສາດປະສົມປະສານ. ຕັ້ງແຕ່ການຄິດໄລ່ການປະສົມປະສານ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ໃນເກມຄວາມເປັນໄປໄດ້ ຈົນເຖິງການຖອດລະຫັດການຂະຫຍາຍ binomial ແລະ ການເຊື່ອມຕໍ່ແນວຄວາມຄິດທາງຄະນິດສາດຕ່າງໆ, ຮູບແບບຂອງ Pascal ສະເໜີວິທີທີ່ມີປະສິດທິພາບ ແລະ ເຂົ້າໃຈງ່າຍໃນການແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ສັບສົນ. ດ້ວຍໂຄງສ້າງທີ່ລຽບງ່າຍ ແຕ່ມີຄວາມເລິກທາງຄະນິດສາດທີ່ໂດດເດັ່ນ, ຮູບແບບຂອງ Pascal ຍັງສືບຕໍ່ໄດ້ຮັບການສຶກສາ ແລະ ນຳໃຊ້ໃນຫຼາຍໆຂົງເຂດຂອງຄະນິດສາດ ແລະ ວິທະຍາສາດອື່ນໆ.
