ການຄູນຈຸດໃນເວັກເຕີ

ການຄູນຈຸດໃນເວັກເຕີ

ຜົນຄູນຈຸດ (ເຊິ່ງເອີ້ນອີກຢ່າງວ່າຜົນຄູນຈຸດ ຫຼື ຜົນຄູນສະເກລາ) ແມ່ນໜຶ່ງໃນການດຳເນີນງານທີ່ສຳຄັນທີ່ສຸດໃນຄະນິດສາດເວັກເຕີ. ການດຳເນີນງານນີ້ມັກປາກົດຢູ່ໃນຟີຊິກ, ວິສະວະກຳ, ສະຖິຕິ, ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ (ເຊັ່ນ: ການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ), ແລະ ຮູບພາບຄອມພິວເຕີ. ບໍ່ເໝືອນກັບການຄູນທຳມະດາ, ເຊິ່ງສ້າງຕົວເລກຈາກສອງຕົວເລກ, ຜົນຄູນຈຸດໃຊ້ສອງເວັກເຕີເປັນຂໍ້ມູນປ້ອນເຂົ້າ ແລະ ສ້າງສະເກລາ (ຕົວເລກດຽວ). ຜ່ານຜົນຄູນຈຸດ, ພວກເຮົາສາມາດເຂົ້າໃຈຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງສອງເວັກເຕີ: ບໍ່ວ່າພວກມັນຈະຢູ່ໃນທິດທາງດຽວກັນ, ທິດທາງກົງກັນຂ້າມ, ຫຼື ຕັ້ງສາກກັບກັນ.

ເຂົ້າໃຈການຄູນຈຸດ

ໂດຍທົ່ວໄປ, ຖ້າພວກເຮົາມີເວັກເຕີສອງອັນ a ແລະ b, ຜົນຄູນຈຸດຈະຖືກຂຽນເປັນ:

ກ · ຂ

ຜົນໄດ້ຮັບແມ່ນຕົວເລກສະເກລາທີ່ສະທ້ອນໃຫ້ເຫັນວ່າເວັກເຕີ a "ເທົ່າໃດ" ຢູ່ໃນທິດທາງດຽວກັນກັບເວັກເຕີ b. ແນວຄວາມຄິດນີ້ສາມາດເຂົ້າໃຈໄດ້ໂດຍຮູບພາບຕໍ່ໄປນີ້: ເມື່ອພວກເຮົາສະແດງເວັກເຕີ a ໃສ່ເວັກເຕີ b, ພວກເຮົາວັດແທກວ່າອົງປະກອບຂອງ a "ຂີ່" ໄປໃນທິດທາງຂອງ b ເທົ່າໃດ. ເວັກເຕີສອງອັນໃນທິດທາງດຽວກັນຫຼາຍເທົ່າໃດ, ຜົນຄູນຈຸດຂອງມັນຈະໃຫຍ່ຂຶ້ນ; ຍິ່ງພວກມັນຢູ່ກົງກັນຂ້າມຫຼາຍເທົ່າໃດ, ຜົນຄູນຂອງມັນຈະນ້ອຍລົງ (ແມ່ນແຕ່ລົບ); ແລະ ຖ້າພວກມັນຕັ້ງສາກກັນ, ຜົນຄູນຈຸດຈະເປັນສູນ.

ສູດຄູນຈຸດຕາມອົງປະກອບຕ່າງໆ

ສົມມຸດວ່າເວັກເຕີສອງມິຕິ:

ອ = (ອ₁, ອ₂)
ບ = (ບ₁, ບ₂)

ສະນັ້ນການຄູນຈຸດແມ່ນ:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂

ສຳລັບເວັກເຕີສາມມິຕິ:

ອ = (ອ₁, ອ₂, ອ₃)
ບ = (ບ₁, ບ₂, ບ₃)

ດັ່ງນັ້ນ:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວ, ສຳລັບເວັກເຕີ n ມິຕິ:

a · b = Σ (aᵢ bᵢ) ສຳລັບ i = 1 ຫາ n.

ສູດນີ້ແມ່ນງ່າຍດາຍແຕ່ມີປະສິດທິພາບ. ພວກເຮົາພຽງແຕ່ຄູນພົດທີ່ສອດຄ້ອງກັນ ແລະ ຈາກນັ້ນບວກເຂົ້າກັນ. ນີ້ແມ່ນເຫດຜົນທີ່ການຄູນຈຸດຖືກນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນການຄຳນວນ: ມັນງ່າຍຕໍ່ການຈັດຕັ້ງປະຕິບັດ ແລະ ມີປະສິດທິພາບ.

ສູດຄູນຈຸດທີ່ມີມຸມລະຫວ່າງເວັກເຕີ

ນອກເໜືອໄປຈາກອົງປະກອບຕ່າງໆ, ຜົນຄູນຈຸດຍັງສາມາດສະແດງອອກໃນຮູບແບບມຸມ (ເລຂາຄະນິດ). ຖ້າ θ ແມ່ນມຸມລະຫວ່າງເວັກເຕີ a ແລະ b, ແລ້ວ:

a · b = |a| |b| cos(θ)

ຂໍ້ມູນ:
– |a| ແມ່ນຄວາມຍາວ (ຂະໜາດ) ຂອງເວັກເຕີ a
– |b| ແມ່ນຄວາມຍາວຂອງເວັກເຕີ b
- cos(θ) ແມ່ນ cosine ຂອງມຸມລະຫວ່າງສອງເວັກເຕີ

ສູດນີ້ເນັ້ນໜັກເຖິງຄວາມໝາຍທາງເລຂາຄະນິດ: ຜົນຄູນຈຸດວັດແທກ "ການຈັດລຽນ" ຂອງທິດທາງຂອງເວັກເຕີສອງອັນ. ເມື່ອ θ ນ້ອຍ (ໃກ້ກັບ 0°), cos(θ) ໃກ້ກັບ 1, ສະນັ້ນຜົນຄູນຈຸດຈຶ່ງໃຫຍ່ ແລະ ເປັນບວກ. ເມື່ອ θ = 90°, cos(90°)=0, ສະນັ້ນຜົນຄູນຈຸດຈຶ່ງເປັນສູນ. ເມື່ອ θ > 90°, cos(θ) ເປັນລົບ, ສະນັ້ນຜົນຄູນຈຸດຈຶ່ງເປັນລົບ.

ຕົວຢ່າງການຄິດໄລ່ຜົນຄູນຈຸດ

ຕົວຢ່າງທີ 1 (ເວັກເຕີ 2D)
ຕົວຢ່າງ:
- a = (2, 3)
-b = (4, -1)

ດັ່ງນັ້ນ:
a b = 2·4 + 3·(-1) = 8 – 3 = 5

ຜົນໄດ້ຮັບແມ່ນ 5 (ສະເກລາ). ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າໂດຍລວມແລ້ວ, ທິດທາງຂອງເວັກເຕີ a ຍັງມີສ່ວນປະກອບຢູ່ໃນທິດທາງດຽວກັນກັບ b, ເຖິງແມ່ນວ່າສ່ວນປະກອບໜຶ່ງຈະຢູ່ກົງກັນຂ້າມ.

ຕົວຢ່າງທີ 2 (ຕັ້ງສາກ)
ຕົວຢ່າງ:
- a = (1, 2)
-b = (2, -1)

ຈຸດ:
a b = 1·2 + 2·(-1) = 2 – 2 = 0

ເນື່ອງຈາກຜົນຄູນຈຸດແມ່ນ 0, ເວັກເຕີສອງອັນຈຶ່ງຕັ້ງສາກກັນ (orthogonal).

ຄຸນສົມບັດຂອງການຄູນຈຸດ

ການຄູນຈຸດມີຄຸນສົມບັດສຳຄັນຫຼາຍຢ່າງຄື:

1. ສະຫຼັບສັບປ່ຽນ
ກ · ຂ = ຂ · ກ

2. ການແຈກຢາຍຕໍ່ກັບການບວກ
a · (b + c) = a · b + a · c

3. ກ່ຽວຂ້ອງກັບການຄູນສະເກລາ
(ka) · b = k (a · b) ສຳລັບ k ແບບສະເກລາ

4. ຜົນຄູນຈຸດທີ່ມີເວັກເຕີສູນ
ກ · 0 = 0

5. ຄວາມສຳພັນກັບຄວາມຍາວຂອງເວັກເຕີ
ກ · ກ = |ກ|²
ອັນນີ້ມີປະໂຫຍດຫຼາຍເພາະວ່າຈາກບ່ອນນີ້ພວກເຮົາສາມາດໄດ້ຮັບຄວາມຍາວຂອງເວັກເຕີ:
|a| = √(a · a)

ຄຸນສົມບັດເຫຼົ່ານີ້ເຮັດໃຫ້ຜົນຄູນຈຸດເປັນການດຳເນີນງານພື້ນຖານໃນພຶດຊະຄະນິດເສັ້ນຊື່ທີ່ສ້າງຂຶ້ນບົນພື້ນຖານແນວຄວາມຄິດຂັ້ນສູງຫຼາຍຢ່າງ.

ຄວາມໝາຍ ແລະ ການຕີຄວາມໝາຍທາງເລຂາຄະນິດ

ຜົນຄູນຈຸດສາມາດຖືກຕີຄວາມວ່າເປັນມາດຕະການຂອງການສະແດງ. ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ການສະແດງຂອງເວັກເຕີ a ໄປສູ່ທິດທາງຂອງ b, ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ຜົນຄູນຈຸດ. ອົງປະກອບຂອງເວັກເຕີ a ໃນທິດທາງດຽວກັນກັບ b ສາມາດໄດ້ຮັບໃນແບບປະລິມານຜ່ານ:

ການສະແດງສະເກລາຂອງ a ຫາ b:
comp_b(a) = (a · b) / |b|

ການຄາດຄະເນຂອງເວັກເຕີ a ຫາ b:
proj_b(a) = ((a·b) / |b|²) ຂ

ການຕີຄວາມໝາຍນີ້ແມ່ນມີປະໂຫຍດຫຼາຍ, ຕົວຢ່າງເຊັ່ນ ເມື່ອຄິດໄລ່ເງົາຂອງແຮງໃນທິດທາງໃດໜຶ່ງ ຫຼື ເມື່ອແຍກການເຄື່ອນທີ່ອອກເປັນອົງປະກອບແນວນອນ ແລະ ແນວຕັ້ງ.

ການນຳໃຊ້ການຄູນຈຸດໃນຊີວິດ ແລະ ວິທະຍາສາດ

1. ຟີຊິກ (ວຽກ ແລະ ພະລັງງານ)
ໃນຟີຊິກສາດ, ວຽກງານໂດຍແຮງຖືກນິຍາມວ່າເປັນ:
W = F · s = |F||s|cos(θ)
ບ່ອນທີ່ F ແມ່ນແຮງ ແລະ s ແມ່ນການຍົກຍ້າຍ. ຖ້າແຮງຢູ່ໃນທິດທາງດຽວກັນກັບການຍົກຍ້າຍ, ວຽກຈະເປັນບວກ; ຖ້າມັນຢູ່ໃນທິດທາງກົງກັນຂ້າມ, ວຽກຈະເປັນລົບ; ຖ້າມັນຕັ້ງສາກ (ຕົວຢ່າງ, ແຮງປົກກະຕິຢູ່ເທິງໜ້າດິນ), ວຽກຈະເປັນສູນ.

2. ການກຳນົດມຸມລະຫວ່າງເວັກເຕີ
ຖ້າພວກເຮົາຮູ້ a · b , |a|, ແລະ |b|, ແລ້ວມຸມ θ ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້:
cos(θ) = (a · b) / (|a||b|)
ຫຼັງຈາກນັ້ນ, θ ສາມາດໄດ້ຮັບດ້ວຍຟັງຊັນໂຄຊິນປີ້ນ (arccos).

3. ການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ ແລະ ວິທະຍາສາດຂໍ້ມູນ
ຜົນຄູນຂອງຈຸດແມ່ນໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ຄະແນນ ຫຼື ຄວາມຄ້າຍຄືກັນລະຫວ່າງສອງເວັກເຕີຄຸນລັກສະນະ. ໃນຮູບແບບເສັ້ນຊື່, ການຄາດຄະເນມັກຈະຢູ່ໃນຮູບແບບ:
y = w · x + b
ບ່ອນທີ່ w ແມ່ນນ້ຳໜັກ ແລະ x ແມ່ນເວັກເຕີປ້ອນຂໍ້ມູນ. ຜົນຄູນຈຸດຢູ່ທີ່ນີ້ແມ່ນຈຸດໃຈກາງຂອງກົນໄກການຕັດສິນໃຈ.

4. ຮູບພາບຄອມພິວເຕີ (ໄຟສ່ອງສະຫວ່າງ)
ໃນການສະແດງຜົນແບບ 3 ມິຕິ, ຜົນຄູນຈຸດຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອກໍານົດຄວາມເຂັ້ມຂອງແສງຢູ່ເທິງພື້ນຜິວ. ຄວາມເຂັ້ມມັກຈະຂຶ້ນກັບໂຄໄຊນ໌ຂອງມຸມລະຫວ່າງທິດທາງແສງ ແລະ ພື້ນຜິວປົກກະຕິ. ດ້ວຍຜົນຄູນຈຸດ, ການຄິດໄລ່ຈະກາຍເປັນ:
ຂ້ອຍ ∝ n · l
ໂດຍ n ແມ່ນໜ້າຜິວປົກກະຕິ ແລະ l ແມ່ນທິດທາງແສງ (ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວແມ່ນປົກກະຕິ).

ຄວາມຜິດພາດທົ່ວໄປທີ່ຄວນຫຼີກລ່ຽງ

ຄວາມຜິດພາດທົ່ວໄປບາງຢ່າງເມື່ອຮຽນຮູ້ຜະລິດຕະພັນຈຸດ:

- ການຄິດວ່າຜົນໄດ້ຮັບຂອງຜົນຄູນຈຸດແມ່ນເວັກເຕີ (ໃນເວລາທີ່ມັນເປັນສະເກລາ).
- ການຈັບຄູ່ອົງປະກອບທີ່ບໍ່ຖືກຕ້ອງ (ຕ້ອງເປັນອົງປະກອບທີ່ເຂົ້າກັນໄດ້).
- ລືມວ່າຜົນຄູນຈຸດສາມາດເປັນລົບໄດ້.
- ການໃຊ້ສູດມຸມໂດຍບໍ່ຮັບປະກັນວ່າເວັກເຕີທີ່ໃຊ້ ແລະ ຂະໜາດທີ່ຄິດໄລ່ນັ້ນຖືກຕ້ອງ.
- ຄວາມເຂົ້າໃຈຜິດວ່າຜົນຄູນຈຸດສູນໝາຍເຖິງມຸມສາກ (ນີ້ເປັນຄວາມຈິງ), ແຕ່ວ່າພຽງແຕ່ຖ້າເວັກເຕີທັງສອງບໍ່ແມ່ນເວັກເຕີສູນ.

Penutup

ຜົນຄູນຈຸດຂອງເວັກເຕີແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ພຶດຊະຄະນິດ ແລະ ເລຂາຄະນິດ. ດ້ວຍຜົນຄູນຈຸດ, ພວກເຮົາບໍ່ພຽງແຕ່ສາມາດຄິດໄລ່ຈຳນວນຂອງເວັກເຕີສອງຕົວເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງເຂົ້າໃຈຄວາມສຳພັນທາງທິດທາງລະຫວ່າງພວກມັນ: ບໍ່ວ່າພວກມັນຈະຢູ່ໃນທິດທາງດຽວກັນ, ທິດທາງກົງກັນຂ້າມ, ຫຼື ມຸມສາກ. ສູດງ່າຍໆຂອງມັນເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການນຳໃຊ້ທັງໃນການຄິດໄລ່ດ້ວຍຕົນເອງ ແລະ ການຄຳນວນຂະໜາດໃຫຍ່. ເນື່ອງຈາກມີການນຳໃຊ້ຫຼາຍຢ່າງໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ - ຕັ້ງແຕ່ຟີຊິກ ແລະ ການວິເຄາະຂໍ້ມູນຈົນເຖິງກຣາບຟິກຄອມພິວເຕີ - ການເຂົ້າໃຈຜົນຄູນຈຸດແມ່ນຂັ້ນຕອນທີ່ສຳຄັນສຳລັບທຸກຄົນທີ່ສຶກສາຄະນິດສາດເວັກເຕີ ແລະ ພຶດຊະຄະນິດເສັ້ນຊື່.

ຖ້າທ່ານຕ້ອງການ, ຂ້ອຍຍັງສາມາດເພີ່ມຮູບປະກອບ, ຄຳຖາມຝຶກຊ້ອມພ້ອມຄຳອະທິບາຍ, ຫຼື ບົດຄວາມສະບັບໜຶ່ງທີ່ສຸມໃສ່ການນຳໃຊ້ສະເພາະໃດໜຶ່ງ (ຟີຊິກສາດ, ການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ, ຫຼື ເລຂາຄະນິດ).