ວິທີການພິສູດທາງຄະນິດສາດ
ການພິສູດໃນວິຊາຄະນິດສາດແມ່ນຫົວໃຈຂອງສາຂາວິຊານີ້. ວິທີການພິສູດແມ່ນພື້ນຖານເພື່ອຮັບປະກັນຄວາມຈິງຂອງຖະແຫຼງການທາງຄະນິດສາດ. ຕັ້ງແຕ່ສົມມຸດຕິຖານພື້ນຖານຈົນເຖິງບົດສະຫຼຸບ, ແຕ່ລະຂັ້ນຕອນຕ້ອງຮັບປະກັນວ່າຖືກຕ້ອງ. ການເຂົ້າໃຈວິທີການພິສູດຕ່າງໆບໍ່ພຽງແຕ່ເສີມສ້າງທັກສະການວິເຄາະເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງເສີມສ້າງປະສົບການການຮຽນຮູ້ ແລະ ການນຳໃຊ້ຄະນິດສາດໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ.
ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບວິທີການພິສູດຫຼັກໆໃນຄະນິດສາດ, ລວມທັງການພິສູດໂດຍກົງ, ການພິສູດທາງອ້ອມ (ການພິສູດກົງກັນຂ້າມ ແລະ ການຂັດແຍ້ງ), ການອຸປະນິດໄສທາງຄະນິດສາດ, ແລະ ການພິສູດໂດຍຕົວຢ່າງສະເພາະ. ແຕ່ລະວິທີມີການນຳໃຊ້, ຈຸດແຂງ ແລະ ຈຸດອ່ອນທີ່ແຕກຕ່າງກັນ. ໃຫ້ພວກເຮົາຄົ້ນຫາພວກມັນໃຫ້ເລິກເຊິ່ງກວ່ານີ້.
1. ຫຼັກຖານໂດຍກົງ
ຄໍານິຍາມ ແລະ ຕົວຢ່າງ
ການພິສູດໂດຍກົງແມ່ນວິທີການທີ່ພວກເຮົາພິສູດຖະແຫຼງການໂດຍການສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າຖ້າຫຼັກຖານ (ສົມມຸດຕິຖານ) ເປັນຄວາມຈິງ, ການສະຫຼຸບກໍ່ເປັນຄວາມຈິງເຊັ່ນກັນ. ໃນການພິສູດໂດຍກົງ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວພວກເຮົາເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍສິ່ງທີ່ຮູ້ ແລະ ໃຊ້ຂັ້ນຕອນທີ່ມີເຫດຜົນເພື່ອບັນລຸການສະຫຼຸບ.
ຫົວຂໍ້:
ພິສູດວ່າ ຖ້າ \(n\) ເປັນຈຳນວນຄູ່, ແລ້ວ \(n^2\) ກໍ່ເປັນຈຳນວນຄູ່ຄືກັນ.
ຫຼັກຖານ:
ສົມມຸດວ່າ \(n\) ເປັນຈຳນວນຄູ່. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ອີງຕາມຄຳນິຍາມຂອງຈຳນວນຄູ່, ມັນສາມາດຂຽນໄດ້ວ່າ \(n = 2k\) ສຳລັບຈຳນວນເຕັມ \(k\). ດັ່ງນັ້ນ,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
ເຫັນໄດ້ຢ່າງຊັດເຈນວ່າ \(n^2\) ສາມາດສະແດງເປັນ 2 ຄູນຂອງຈຳນວນເຕັມ (ເຊັ່ນ \(2k^2\)). ເນື່ອງຈາກຂໍ້ກຳນົດຫຼັກສຳລັບຈຳນວນຄູ່ແມ່ນວ່າມັນສາມາດສະແດງເປັນ 2 ຄູນຂອງຈຳນວນເຕັມ, ສະນັ້ນ \(n^2\) ກໍ່ເປັນຈຳນວນຄູ່ເຊັ່ນກັນ.
2. ຫຼັກຖານທາງອ້ອມ
ການພິສູດທາງອ້ອມກ່ຽວຂ້ອງກັບສອງວິທີການຫຼັກຄື: ການພິສູດໂດຍການຂັດແຍ້ງ ແລະ ການພິສູດໂດຍການຂັດແຍ້ງ.
ກ. ຫຼັກຖານຂອງຄວາມຂັດແຍ້ງ
ຄໍານິຍາມ ແລະ ຕົວຢ່າງ
ວິທີການນີ້ກ່ຽວຂ້ອງກັບການພິສູດປະໂຫຍກທີ່ບົ່ງບອກເຖິງ “ຖ້າ \(P\), ແລ້ວ \(Q\)” ໂດຍການພິສູດປະໂຫຍກທີ່ກົງກັນຂ້າມກັບປະໂຫຍກທີ່ວ່າ: “ຖ້າບໍ່ແມ່ນ \(Q\), ແລ້ວບໍ່ແມ່ນ \(P\)”.
ຫົວຂໍ້:
ພິສູດວ່າຖ້າ \(n^2\) ເປັນຈຳນວນຄີກ, ແລ້ວ \(n\) ກໍ່ເປັນຈຳນວນຄີກຄືກັນ.
ຫຼັກຖານ:
ສິ່ງທີ່ກົງກັນຂ້າມກັບປະໂຫຍກນີ້ແມ່ນ: ຖ້າ \(n\) ບໍ່ແມ່ນເລກຄີກ (ຫຼື ຄູ່), ແລ້ວ \(n^2\) ບໍ່ແມ່ນເລກຄີກ (ຫຼື ຄູ່).
ສົມມຸດວ່າ \(n\) ເປັນເລກຄູ່, ແລ້ວ \(n = 2k\) ສຳລັບຈຳນວນເຕັມ \(k\). ດັ່ງນັ້ນ,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າ \(n^2\) ເປັນຕົວເລກຄູ່. ດັ່ງນັ້ນ, ຕົວເລກກົງກັນຂ້າມຈຶ່ງໄດ້ຮັບການພິສູດແລ້ວ, ແລະ ຖະແຫຼງການເດີມກໍ່ໄດ້ຮັບການຮັບປະກັນວ່າເປັນຄວາມຈິງເຊັ່ນກັນ.
ຂ. ຫຼັກຖານໂດຍການຂັດແຍ້ງ
ຄໍານິຍາມ ແລະ ຕົວຢ່າງ
ການພິສູດໂດຍການຂັດແຍ້ງກ່ຽວຂ້ອງກັບການສົມມຸດວ່າຂໍ້ຄວາມທີ່ຕ້ອງພິສູດແມ່ນບໍ່ຖືກຕ້ອງ ແລະ ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າການສົມມຸດຕິຖານນີ້ນຳໄປສູ່ຄວາມຂັດແຍ້ງທາງດ້ານເຫດຜົນ.
ຫົວຂໍ້:
ພິສູດວ່າ \(\sqrt{2}\) ເປັນຈຳນວນອະສົມຜົນ.
ຫຼັກຖານ:
ແທນທີ່ຈະ, ສົມມຸດວ່າ \(\sqrt{2}\) ເປັນຈຳນວນສົມຜົນ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), ບ່ອນທີ່ \(a\) ແລະ \(b\) ເປັນຈຳນວນເຕັມສະເພາະທີ່ຂ້ອນຂ້າງ (ການລົບແມ່ນ 1), ແລະ \(b \ne 0\). ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາສາມາດຂຽນໄດ້ວ່າ:
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
ຈາກສົມຜົນນີ້, ພວກເຮົາເຫັນວ່າ \(a^2\) ເປັນຈຳນວນຄູ່, ຊຶ່ງໝາຍຄວາມວ່າ \(a\) ຕ້ອງເປັນຈຳນວນຄູ່ຄືກັນ. ສົມມຸດວ່າ \(a = 2k\), ພວກເຮົາມີ:
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
ເນື່ອງຈາກ \(b^2\) ເປັນຈຳນວນຄູ່, ສະນັ້ນ \(b\) ຕ້ອງເປັນຈຳນວນຄູ່ຄືກັນ. ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າ \(a\) ແລະ \(b\) ລ້ວນແຕ່ເປັນຈຳນວນຄູ່, ເຊິ່ງຂັດກັບສົມມຸດຕິຖານເດີມທີ່ວ່າ \(\frac{a}{b}\) ແມ່ນຢູ່ໃນຮູບແບບທີ່ງ່າຍທີ່ສຸດ. ດັ່ງນັ້ນ, \(\sqrt{2}\) ບໍ່ສາມາດເປັນຈຳນວນສົມຜົນໄດ້, ແລະດັ່ງນັ້ນມັນຈຶ່ງເປັນຈຳນວນອະສົມຜົນ.
3. ການອຸນນະພູມທາງຄະນິດສາດ
ຄໍານິຍາມ ແລະ ຕົວຢ່າງ
ການອຸນນະວັດທາງຄະນິດສາດແມ່ນວິທີການພິສູດທີ່ໃຊ້ເພື່ອພິສູດຂໍ້ຄວາມທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຈຳນວນເຕັມ. ຂະບວນການດັ່ງກ່າວປະກອບດ້ວຍສອງຂັ້ນຕອນຄື: ພື້ນຖານການອຸນນະວັດ ແລະ ຂັ້ນຕອນການອຸນນະວັດ.
ຫົວຂໍ້:
ພິສູດວ່າຜົນບວກຂອງຊຸດທຳອິດຂອງຈຳນວນເຕັມ \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
ຫຼັກຖານ:
- ພື້ນຖານການນຳສະເໜີ:
ສຳລັບ \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
ຖືກຕ້ອງ.
- ຂັ້ນຕອນການນຳສະເໜີ:
ສົມມຸດວ່າຄຳຖະແຫຼງດັ່ງກ່າວເປັນຈິງສຳລັບຕົວເລກ \(k\). ນັ້ນຄື,
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງພິສູດວ່າມັນຍັງເປັນຄວາມຈິງສຳລັບ \(k + 1\). ພວກເຮົາບວກ \((k + 1)\) ໃສ່ທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນ:
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
ດັ່ງນັ້ນ, ຄຳສັ່ງດັ່ງກ່າວຈຶ່ງເປັນຈິງສຳລັບ \(k + 1\). ດັ່ງນັ້ນ, ໂດຍຫຼັກການຂອງການກະຕຸ້ນທາງຄະນິດສາດ, ຄຳສັ່ງດັ່ງກ່າວຈຶ່ງເປັນຈິງສຳລັບຈຳນວນເຕັມບວກທັງໝົດ \(n\).
4. ຫຼັກຖານພ້ອມດ້ວຍຕົວຢ່າງສະເພາະ
ຄໍານິຍາມ ແລະ ຕົວຢ່າງ
ວິທີການນີ້ກ່ຽວຂ້ອງກັບການພິສູດໂດຍການເລືອກຕົວຢ່າງສະເພາະທີ່ຕອບສະໜອງເງື່ອນໄຂທັງໝົດທີ່ກຳນົດໄວ້ໃນຖະແຫຼງການ ແລະ ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າຖະແຫຼງການດັ່ງກ່າວເປັນຄວາມຈິງ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ວິທີການນີ້ມັກຖືກໃຊ້ເພື່ອພິສູດວ່າຖະແຫຼງການນັ້ນເປັນຈິງ.
ຫົວຂໍ້:
ພິສູດວ່າມີຕົວເລກທີ່ບໍ່ສາມາດສະແດງເປັນຜົນບວກຂອງສອງກຳລັງສອງທີ່ສົມບູນແບບໄດ້.
ຫຼັກຖານ:
ລອງໃຊ້ຕົວຢ່າງ \(3\):
ສົມມຸດວ່າ \(3\) ສາມາດສະແດງເປັນຜົນບວກຂອງສອງກຳລັງສອງສົມບູນ, ຄື \(a^2 + b^2 = 3\). ຫຼັງຈາກລອງໃຊ້ການປະສົມທັງໝົດຂອງຈຳນວນເຕັມ \(a\) ແລະ \(b\),
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (ເປັນໄປບໍ່ໄດ້).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (ເປັນໄປບໍ່ໄດ້).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (ເປັນໄປບໍ່ໄດ້).
4. ຕົວເລກລົບ ຫຼື ຕົວເລກທີ່ຫຼາຍກວ່າ 2 ກໍ່ເປັນໄປບໍ່ໄດ້ເຊັ່ນກັນ.
ນີ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ \(3\) ບໍ່ສາມາດສະແດງເປັນຜົນບວກຂອງສອງຕົວເລກກຳລັງສອງໄດ້. ສະນັ້ນ, ມີຕົວເລກທີ່ບໍ່ສາມາດສະແດງເປັນຜົນບວກຂອງສອງຕົວເລກກຳລັງສອງສົມບູນໄດ້.
ສະຫຼຸບ
ການພິສູດໃນວິຊາຄະນິດສາດຮຽກຮ້ອງໃຫ້ມີວິທີການ ແລະ ຂັ້ນຕອນທີ່ເປັນລະບົບທີ່ແຕກຕ່າງກັນໂດຍອີງຕາມປະເພດຂອງຖະແຫຼງການທີ່ຖືກພິສູດ. ການພິສູດໂດຍກົງ, ການພິສູດທາງອ້ອມ (ການພິສູດກົງກັນຂ້າມ ແລະ ການຂັດແຍ້ງ), ການກະຕຸ້ນທາງຄະນິດສາດ, ແລະ ຕົວຢ່າງພິເສດແມ່ນບາງວິທີການພິສູດຫຼັກທີ່ໃຊ້ໃນສະຖານະການຕ່າງໆ. ການເຂົ້າໃຈວິທີການເຫຼົ່ານີ້ຈະເສີມສ້າງພື້ນຖານຂອງຄະນິດສາດ ແລະ ຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານສຳຫຼວດສາຂາຕ່າງໆຂອງຄະນິດສາດໄດ້ຢ່າງເລິກເຊິ່ງກວ່າ.
ດ້ວຍການປະຕິບັດ ແລະ ຄວາມເຂົ້າໃຈຢ່າງເລິກເຊິ່ງ, ວິທີການພິສູດທາງຄະນິດສາດຈະກາຍເປັນເຄື່ອງມືທີ່ຈະພ້ອມທີ່ຈະນໍາໃຊ້ໃນການແກ້ໄຂບັນຫາທາງຄະນິດສາດທີ່ສັບສົນສະເໝີ.
