ວິທີການຂອງ Lagrange ໃນ Calculus
ວິທີການ Lagrange ເປັນເຕັກນິກທີ່ສຳຄັນໃນແຄລຄູລັສທີ່ຖືກນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາການເພີ່ມປະສິດທິພາບ, ໂດຍສະເພາະເມື່ອຟັງຊັນຕ້ອງໄດ້ຮັບການເພີ່ມປະສິດທິພາບສູງສຸດ ຫຼື ຫຼຸດຜ່ອນພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂສະເພາະ (ຂໍ້ຈຳກັດ). ໃນຊີວິດຈິງ, ບັນຫາຕ່າງໆເຊັ່ນ: ການເພີ່ມກຳໄລສູງສຸດດ້ວຍທຶນທີ່ຈຳກັດ, ການຫຼຸດຜ່ອນຕົ້ນທຶນການຜະລິດດ້ວຍຊັບພະຍາກອນທີ່ຈຳກັດ, ຫຼື ການກຳນົດການອອກແບບທີ່ມີປະສິດທິພາບສູງສຸດດ້ວຍເງື່ອນໄຂສະເພາະມັກຈະສາມາດສ້າງແບບຈຳລອງໄດ້ໂດຍໃຊ້ການເພີ່ມປະສິດທິພາບທີ່ຈຳກັດ. ນີ້ແມ່ນບ່ອນທີ່ວິທີການ Lagrange—ເຊິ່ງເອີ້ນກັນວ່າວິທີການຕົວຄູນ Lagrange—ມີບົດບາດສຳຄັນ.
ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງການເພີ່ມປະສິດທິພາບ
ໃນແຄລຄູລັສຂັ້ນພື້ນຖານ, ການເພີ່ມປະສິດທິພາບທີ່ບໍ່ມີຂໍ້ຈຳກັດແມ່ນປະຕິບັດໂດຍການຊອກຫາຈຸດວິກິດຂອງຟັງຊັນ \(f(x)\) ຜ່ານອະນຸພັນທຳອິດຂອງມັນ: ພວກເຮົາຊອກຫາ \(f'(x)=0\) ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນກວດສອບວ່າຈຸດນັ້ນໃຫ້ຜົນສູງສຸດ ຫຼື ຕ່ຳສຸດ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ບັນຫາຫຼາຍຢ່າງບໍ່ແມ່ນເລື່ອງງ່າຍ. ຕົວຢ່າງ, ພວກເຮົາຕ້ອງການເພີ່ມປະສິດທິພາບຟັງຊັນ \(f(x,y)\), ແຕ່ຄ່າຂອງ \(x\) ແລະ \(y\) ຕ້ອງຕອບສະໜອງເງື່ອນໄຂ, ເຊັ່ນ \(g(x,y)=0\). ເງື່ອນໄຂນີ້ຈຳກັດພື້ນທີ່ແກ້ໄຂ, ດັ່ງນັ້ນພວກເຮົາບໍ່ສາມາດເລືອກ \(x\) ແລະ \(y\) ໄດ້ຕາມໃຈມັກ.
ວິທີການຂອງ Lagrange ສະເໜີວິທີການທີ່ເປັນລະບົບເພື່ອຊອກຫາຈຸດທີ່ດີທີ່ສຸດໃນພື້ນທີ່ທີ່ຖືກຈຳກັດໂດຍຂໍ້ຈຳກັດເຫຼົ່ານີ້. ສະຕິປັນຍາທີ່ຢູ່ເບື້ອງຫຼັງວິທີການນີ້ແມ່ນກ່ຽວຂ້ອງກັບເລຂາຄະນິດ: ຢູ່ຈຸດທີ່ດີທີ່ສຸດພາຍໃຕ້ຂໍ້ຈຳກັດ \(g(x,y)=0\), ທິດທາງຂອງການປ່ຽນແປງທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດຂອງຟັງຊັນ \(f\) ຕ້ອງ "ຂະໜານ" ກັບທິດທາງຂອງການປ່ຽນແປງທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດຂອງຂໍ້ຈຳກັດ \(g\). ທິດທາງຂອງການປ່ຽນແປງທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດຂອງຟັງຊັນຫຼາຍຕົວແປແມ່ນໃຫ້ໂດຍ gradient, ຄື \(\nabla f\) ແລະ \(\nabla g\). ດັ່ງນັ້ນ, ຢູ່ຈຸດທີ່ດີທີ່ສຸດ, ຄວາມສຳພັນຍັງຄົງຢູ່:
\[
\nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y)
\]
ບ່ອນທີ່ \( \lambda \) ເປັນຄ່າຄົງທີ່ທີ່ເອີ້ນວ່າຕົວຄູນ Lagrange.
ເຂົ້າໃຈຕົວຄູນ Lagrange
ຕົວຄູນ Lagrange, \( \lambda \), ສາມາດເຂົ້າໃຈໄດ້ວ່າເປັນຕົວຄູນຂະໜາດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຄວາມຊັນຂອງຟັງຊັນວັດຖຸປະສົງ ແລະ ຄວາມຊັນຂອງຂໍ້ຈຳກັດ. ໃນທາງປະຕິບັດ, \( \lambda \) ຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາ "ລວມ" ຟັງຊັນວັດຖຸປະສົງ ແລະ ຂໍ້ຈຳກັດເຂົ້າໃນຮູບແບບທີ່ງ່າຍຕໍ່ການວິເຄາະ.
ເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາການເພີ່ມປະສິດທິພາບທີ່ມີຂໍ້ຈຳກັດດ້ວຍຂໍ້ຈຳກັດໜຶ່ງ, ພວກເຮົາສ້າງຟັງຊັນໃໝ່ທີ່ເອີ້ນວ່າຟັງຊັນ Lagrangian:
\[
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) – \lambda (g(x,y))
\]
ເຄື່ອງໝາຍລົບເປັນພຽງການປະຕິບັດຕາມກົດລະບຽບ; ບາງຄັ້ງເຄື່ອງໝາຍບວກກໍ່ຖືກໃຊ້, ຂຶ້ນກັບຄວາມມັກ. ແນວຄວາມຄິດຫຼັກແມ່ນວ່າຫຼັງຈາກນັ້ນພວກເຮົາຊອກຫາຈຸດທີ່ຢູ່ນິ້ງຂອງ \( \mathcal{L} \) ໂດຍການແຍກຄວາມແຕກຕ່າງທຽບກັບຕົວແປທັງໝົດ (ລວມທັງ \( \lambda \)) ແລະເທົ່າກັບສູນ:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0
\]
ສົມຜົນສຸດທ້າຍ, \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \), ຟື້ນຟູຂໍ້ຈຳກັດ \( g(x,y)=0 \), ດັ່ງນັ້ນລະບົບສົມຜົນທີ່ໄດ້ຮັບຍັງຄົງເຄົາລົບຂໍ້ຈຳກັດຂອງບັນຫາ.
ຂັ້ນຕອນຂອງວິທີການ Lagrange
ສະຫຼຸບແລ້ວ, ຂັ້ນຕອນວິທີການ Lagrange ສາມາດສະຫຼຸບໄດ້ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:
1. ກຳນົດຟັງຊັນທີ່ຕ້ອງການເພີ່ມປະສິດທິພາບ, ຕົວຢ່າງ \( f(x,y) \).
2. ກຳນົດຂໍ້ຈຳກັດໃນຮູບແບບ \( g(x,y)=0 \).
3. ສ້າງຮູບແບບຟັງຊັນ Lagrangian \( \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y) \).
4. ຄິດໄລ່ອະນຸພັນບາງສ່ວນຂອງ \( \mathcal{L} \) ທຽບກັບ \( x \), \( y \), ແລະ \( \lambda \).
5. ແກ້ລະບົບສົມຜົນທີ່ມີອະນຸພັນບາງສ່ວນຖືກຕັ້ງໃຫ້ເປັນສູນ.
6. ທົດສອບວິທີແກ້ໄຂເພື່ອກຳນົດວ່າພວກມັນໃຫ້ຜົນສູງສຸດ ຫຼື ຕໍ່າສຸດ, ຖ້າຈຳເປັນ.
ວິທີການນີ້ສາມາດຂະຫຍາຍໄປເຖິງຫຼາຍກວ່າໜຶ່ງຂໍ້ຈຳກັດ. ຖ້າມີຂໍ້ຈຳກັດສອງຢ່າງ, ຕົວຢ່າງ \( g(x,y,z)=0 \) ແລະ \( h(x,y,z)=0 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ Lagrangian ຈະກາຍເປັນ:
\[
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z) – \lambda g(x,y,z) – \mu h(x,y,z)
\]
ໃນທີ່ນີ້ຕົວຄູນເພີ່ມເຕີມຈະປາກົດຂຶ້ນ, ຄື \( \mu \).
ຕົວຢ່າງງ່າຍໆ
ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາຕ້ອງການເພີ່ມປະສິດທິພາບຂອງໜ້າທີ່:
\[
f(x,y)=xy
\]
ດ້ວຍຂໍ້ ຈຳ ກັດ:
\[
x+y=10
\]
ຫຼື ໃນຮູບແບບ \( g(x,y)=x+y-10=0 \).
ຮູບແບບ Lagrangian:
\[
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x+y-10)
\]
ອະນຸພັນບາງສ່ວນ:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=y-\lambda=0
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x-\lambda=0
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x+y-10)=0
\]
ຈາກສອງສົມຜົນທຳອິດ, ເຮົາໄດ້ \( y=\lambda\) ແລະ \( x=\lambda\), ດັ່ງນັ້ນ \( x=y\). ການແທນຄ່າໃສ່ຂໍ້ຈຳກັດ \( x+y=10\) ຈະໄດ້ \( 2x=10 \rightarrow x=5\). ດັ່ງນັ້ນ \( y=5\).
ສະນັ້ນຄ່າສູງສຸດຂອງ \( xy \) ພາຍໃຕ້ຂໍ້ຈຳກັດ \( x+y=10 \) ເກີດຂຶ້ນທີ່ \( x=5 \) ແລະ \( y=5 \), ໂດຍມີຄ່າສູງສຸດ \( f(5,5)=25 \). ຜົນໄດ້ຮັບນີ້ຍັງສອດຄ່ອງກັບສັນຊາຕະຍານ: ສຳລັບຜົນບວກຄົງທີ່, ຜົນຄູນຂອງສອງຕົວເລກບວກແມ່ນສູງສຸດເມື່ອພວກມັນເທົ່າທຽມກັນ.
ຄວາມໝາຍທາງເລຂາຄະນິດຂອງວິທີການ Lagrange
ໃນດ້ານເລຂາຄະນິດ, ຂໍ້ຈຳກັດ \(g(x,y)=0\) ປະກອບເປັນເສັ້ນໂຄ້ງໃນລະນາບ. ພວກເຮົາບໍ່ໄດ້ຊອກຫາຄ່າທີ່ດີທີ່ສຸດໃນທົ່ວລະນາບ, ແຕ່ພຽງແຕ່ຕາມເສັ້ນໂຄ້ງເທົ່ານັ້ນ. ໃນຈຸດທີ່ດີທີ່ສຸດ, ເສັ້ນໂຄ້ງລະດັບ \(f(x,y)=k\) ທີ່ສຳຜັດກັບເສັ້ນໂຄ້ງຂໍ້ຈຳກັດຊີ້ບອກວ່າ gradients ຂອງມັນແມ່ນຂະໜານກັນ. ສຳຜັດນີ້ຖືກປ່ຽນເປັນສົມຜົນ \(\nabla f=\lambda\nabla g\).
ຄວາມໝາຍນີ້ຊ່ວຍອະທິບາຍວ່າເປັນຫຍັງວິທີການຂອງ Lagrange ຈຶ່ງເຮັດວຽກ: ຖ້າຄວາມຊັນຂອງ \( f \) ບໍ່ຂະໜານກັບການຊັນຂອງຂໍ້ຈຳກັດ, ແລ້ວຍັງມີທິດທາງຢູ່ເທິງເສັ້ນໂຄ້ງຂໍ້ຈຳກັດທີ່ຄ່າຂອງ \( f \) ສາມາດເພີ່ມຂຶ້ນ ຫຼື ຫຼຸດລົງໄດ້. ຈຸດທີ່ດີທີ່ສຸດເກີດຂຶ້ນຢ່າງແນ່ນອນເມື່ອທິດທາງ "ຂຶ້ນໄວທີ່ສຸດ" ບໍ່ສາມາດເປັນໄປໄດ້ໂດຍບໍ່ລະເມີດຂໍ້ຈຳກັດ.
ຄໍາຮ້ອງສະຫມັກໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ
ເຖິງແມ່ນວ່າຈະມີຮາກຖານມາຈາກແຄລຄູລັສ, ແຕ່ວິທີການ Lagrangian ແມ່ນຖືກນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຫຼາຍສາຂາວິຊາ. ໃນເສດຖະສາດ, ພວກມັນຖືກນໍາໃຊ້ໃນທິດສະດີສາທາລະນຸປະໂພກ ແລະ ການເພີ່ມປະສິດທິພາບການຜະລິດ. ໃນຟີຊິກສາດ, ແນວຄວາມຄິດ Lagrangian ມີການເຊື່ອມໂຍງທາງປະຫວັດສາດ ແລະ ຄະນິດສາດກັບກົນຈັກວິເຄາະ. ໃນວິສະວະກຳ ແລະ ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ, ພວກມັນປະກອບເປັນພື້ນຖານສໍາລັບອັລກໍຣິທຶມການເພີ່ມປະສິດທິພາບຫຼາຍຢ່າງ, ລວມທັງການເພີ່ມປະສິດທິພາບແບບນູນ ແລະ ວິທີການຕົວເລກໃນການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ.
ນອກຈາກນັ້ນ, ຕົວຄູນ Lagrange ມັກຈະມີການຕີຄວາມໝາຍທີ່ເປັນປະໂຫຍດ. ໃນບາງສະພາບການທາງເສດຖະກິດ, ຕົວຢ່າງ, \( \lambda \) ສາມາດຊີ້ບອກເຖິງ "ລາຄາເງົາ" ຂອງຂໍ້ຈຳກັດ: ຄ່າທີ່ດີທີ່ສຸດຈະປ່ຽນແປງເທົ່າໃດຖ້າຂໍ້ຈຳກັດຖືກຜ່ອນຄາຍລົງເລັກນ້ອຍ.
ຂໍ້ຈຳກັດ ແລະ ໝາຍເຫດສຳຄັນ
ວິທີການ Lagrange ໃຫ້ວິທີແກ້ໄຂທີ່ເປັນໄປໄດ້, ແຕ່ມັນບໍ່ໄດ້ຮັບປະກັນວ່າພວກມັນເປັນຄ່າສູງສຸດທົ່ວໂລກ ຫຼື ຄ່າຕໍ່າສຸດ. ບາງຄັ້ງ, ມີຫຼາຍຈຸດທີ່ຢູ່ນິ້ງເພື່ອປຽບທຽບ. ຍິ່ງໄປກວ່ານັ້ນ, ວິທີການນີ້ຮຽກຮ້ອງໃຫ້ມີສົມມຸດຕິຖານວ່າການຜັນປ່ຽນຂໍ້ຈຳກັດບໍ່ແມ່ນສູນຢູ່ຈຸດວິທີແກ້ໄຂ; ຖ້າ \( \nabla g = 0 \), ສະຖານະການຈະສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນ ແລະ ຕ້ອງການການປະຕິບັດພິເສດ.
ໃນທາງປະຕິບັດ, ຫຼັງຈາກພົບຜູ້ສະໝັກແລ້ວ, ພວກເຮົາມັກຈະຕ້ອງກວດສອບເງື່ອນໄຂເພີ່ມເຕີມ, ເຊັ່ນ: ການໃຊ້ການທົດສອບອະນຸພັນທີສອງ ຫຼື ການປຽບທຽບຄ່າຟັງຊັນໃນຜູ້ສະໝັກ ແລະ ຂອບເຂດໂດເມນທີ່ເປັນໄປໄດ້.
Penutup
ວິທີການຂອງ Lagrange ໃນແຄລຄູລັສເປັນເຄື່ອງມືທີ່ມີປະສິດທິພາບໃນການແກ້ໄຂບັນຫາການເພີ່ມປະສິດທິພາບທີ່ມີຂໍ້ຈຳກັດ. ໂດຍການແນະນຳຕົວຄູນ \(\lambda\), ວິທີການນີ້ຈະປ່ຽນບັນຫາທີ່ຍາກໃນເບື້ອງຕົ້ນ - ເນື່ອງຈາກຂໍ້ຈຳກັດ - ໃຫ້ກາຍເປັນລະບົບທີ່ມີໂຄງສ້າງຂອງສົມຜົນອະນຸພັນບາງສ່ວນ. ການເຂົ້າໃຈວິທີການນີ້ບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນປະໂຫຍດໃນຄະນິດສາດບໍລິສຸດເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງມີຄວາມກ່ຽວຂ້ອງສູງໃນເສດຖະສາດ, ຟີຊິກ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ຂົງເຂດອື່ນໆອີກຫຼາຍຢ່າງທີ່ອີງໃສ່ການເພີ່ມປະສິດທິພາບ.
ໂດຍການເປັນແມ່ບົດໃນວິທີການຂອງ Lagrange, ພວກເຮົາມີຄວາມສາມາດໃນການສ້າງແບບຈຳລອງ ແລະ ແກ້ໄຂບັນຫາໃນໂລກຕົວຈິງດ້ວຍຄະນິດສາດ ແລະ ມີປະສິດທິພາບຫຼາຍຂຶ້ນ - ທັກສະທີ່ເປັນພື້ນຖານທີ່ສຳຄັນໃນແຄລຄູລັສຫຼາຍຕົວແປ ແລະ ການເພີ່ມປະສິດທິພາບທີ່ທັນສະໄໝ.
