ເລຂາຄະນິດປະສານງານໃນກຣາຟ
ເລຂາຄະນິດພິກັດແມ່ນສາຂາໜຶ່ງຂອງຄະນິດສາດທີ່ລວມເອົາແນວຄວາມຄິດທາງເລຂາຄະນິດ (ຮູບຮ່າງ, ເສັ້ນ, ມຸມ, ແລະ ໄລຍະທາງ) ກັບພຶດຊະຄະນິດ (ສົມຜົນ ແລະ ການດຳເນີນງານສັນຍາລັກ). ໃນທາງປະຕິບັດ, ເລຂາຄະນິດພິກັດຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈ ແລະ ວິເຄາະກຣາຟເທິງໜ້າພິກັດ - ສຳລັບຈຸດປະສົງທາງວິຊາການ, ວິທະຍາສາດ, ວິສະວະກຳ, ເສດຖະກິດ, ແລະ ການສະແດງຂໍ້ມູນ. ຜ່ານລະບົບພິກັດ, ວັດຖຸທາງເລຂາຄະນິດສາມາດເປັນຕົວແທນຕົວເລກໄດ້, ຊ່ວຍໃຫ້ຄຸນສົມບັດຂອງພວກມັນຖືກຄິດໄລ່ຢ່າງເປັນລະບົບ.
1. ລະບົບພິກັດຄາທີຊຽນ: ພື້ນຖານສຳລັບການອ່ານກຣາຟ
ພື້ນຖານຂອງເລຂາຄະນິດພິກັດແມ່ນລະບົບພິກັດຄາຕີຊຽນທີ່ນຳສະເໜີໂດຍ René Descartes. ລະນາບຄາຕີຊຽນປະກອບດ້ວຍແກນຕັ້ງສາກສອງແກນຄື: ແກນ x (ແນວນອນ) ແລະ ແກນ y (ແນວຕັ້ງ). ຈຸດທີ່ພວກມັນຕັດກັນເອີ້ນວ່າຈຸດກຳເນີດ (0,0). ທຸກໆຈຸດເທິງລະນາບສາມາດຂຽນເປັນຄູ່ຂອງຕົວເລກ (x, y), ເຊິ່ງຊີ້ບອກໄລຍະຫ່າງຂອງມັນຈາກແກນ y ແລະ ແກນ x.
ລະນາບ Cartesian ຖືກແບ່ງອອກເປັນສີ່ quadrants:
- Quadrant I: x ບວກ, y ບວກ
- Quadrant II: x ເປັນລົບ, y ເປັນບວກ
- Quadrant III: x ເປັນລົບ, y ເປັນລົບ
- Quadrant IV: x ບວກ, y ລົບ
ໃນສະພາບການຂອງກຣາຟ, ການເຂົ້າໃຈຮູບສີ່ຫຼ່ຽມມຸມເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາງ່າຍຕໍ່ການກຳນົດຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດ, ທິດທາງຂອງການປ່ຽນ, ແລະ ການຕີຄວາມໝາຍຂອງຄ່າລົບ ຫຼື ບວກໃນຂໍ້ມູນ.
2. ຈຸດ ແລະ ໄລຍະທາງ: ການວັດແທກດ້ວຍພິກັດ
ໜຶ່ງໃນຜົນປະໂຫຍດຕົ້ນຕໍຂອງເລຂາຄະນິດພິກັດແມ່ນຄວາມສາມາດໃນການຄິດໄລ່ໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງຈຸດຕ່າງໆໄດ້ຢ່າງຖືກຕ້ອງ. ໂດຍໃຫ້ສອງຈຸດ A(x₁, y₁) ແລະ B(x₂, y₂), ໄລຍະຫ່າງຂອງພວກມັນຖືກຄິດໄລ່ໂດຍໃຊ້ສູດ:
\[
AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
\]
ສູດນີ້ມາຈາກທິດສະດີບົດປີທາກໍຣ. ໃນກຣາຟ, ໄລຍະທາງມັກຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອ:
- ການວັດແທກຄວາມຍາວຂອງດ້ານຂ້າງຂອງຮູບຮ່າງຮາບພຽງທີ່ແຕ້ມຢູ່ເທິງພື້ນພິກັດ
- ກຳນົດວ່າສອງຈຸດຢູ່ໃກ້ ຫຼື ໄກພຽງພໍໃນການວິເຄາະຂໍ້ມູນ.
- ວິເຄາະເສັ້ນທາງ ແລະ ການຍ້າຍຖິ່ນຖານໃນຟີຊິກ ຫຼື ການສ້າງແບບຈຳລອງການເຄື່ອນໄຫວ
ນອກເໜືອໄປຈາກໄລຍະທາງ, ຍັງມີແນວຄວາມຄິດຂອງຈຸດກາງເຊິ່ງເປັນປະໂຫຍດສຳລັບການແບ່ງເສັ້ນອອກເປັນສອງສ່ວນທີ່ມີຄວາມຍາວເທົ່າກັນ:
\[
M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)
\]
ຈຸດກາງມັກຖືກໃຊ້ໃນການກໍ່ສ້າງທາງເລຂາຄະນິດ, ກຳນົດຈຸດໃຈກາງຂອງສ່ວນ, ແລະ ຊ່ວຍໃນການແຕ້ມຮູບສົມມາດໃນກຣາຟ.
3. ການໄລ່ສີ ແລະ ສົມຜົນເສັ້ນ: ກະດູກສັນຫຼັງຂອງກຣາຟເສັ້ນຊື່
ເສັ້ນຊື່ແມ່ນວັດຖຸພື້ນຖານທີ່ສຸດທີ່ມັກຈະປາກົດຢູ່ໃນກຣາຟ. ຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນເອີ້ນວ່າຄວາມຊັນ (ຫຼື ຄວາມຊັນ). ຖ້າເສັ້ນຜ່ານສອງຈຸດ A(x₁, y₁) ແລະ B(x₂, y₂), ຄວາມຊັນຂອງມັນແມ່ນ:
\[
m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
\]
ການໄລ່ສີໃຫ້ຂໍ້ມູນທີ່ສຳຄັນ:
- ຖ້າ m > 0, ເສັ້ນຈະຂຶ້ນຈາກຊ້າຍຫາຂວາ
– ຖ້າ m < 0, ເສັ້ນຈະລົງຈາກຊ້າຍຫາຂວາ - ຖ້າ m = 0, ເສັ້ນຈະນອນ - ຖ້າເສັ້ນຕັ້ງ, ຄວາມຊັນຈະບໍ່ຖືກກຳນົດເພາະວ່າຕົວຫານເປັນສູນ. ສົມຜົນຂອງເສັ້ນໂດຍທົ່ວໄປແມ່ນຂຽນໃນຮູບແບບ: \[ y = mx + c \] ໂດຍມີ c ເປັນຈຸດຕັດ y. ໃນຫຼາຍໆຂົງເຂດ, ສົມຜົນຂອງເສັ້ນຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອສ້າງແບບຈຳລອງຄວາມສຳພັນເສັ້ນຊື່, ຕົວຢ່າງເຊັ່ນ ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງປະລິມານການຜະລິດ ແລະ ຕົ້ນທຶນ, ຫຼື ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາໃນການເຄື່ອນທີ່ດ້ວຍຄວາມໄວຄົງທີ່. 4. ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງເສັ້ນ: ເລຂາຄະນິດພິກັດຂະໜານ ແລະ ຕັ້ງສາກຍັງເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການກຳນົດຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງສອງເສັ້ນ. ເສັ້ນສອງເສັ້ນຂະໜານກັນຖ້າຄວາມຊັນຂອງພວກມັນຄືກັນ:
\[ m_1 = m_2 \] ໃນຂະນະດຽວກັນ, ເສັ້ນສອງເສັ້ນຈະຕັ້ງສາກກັນຖ້າຜົນຄູນຂອງຄວາມຊັນຂອງມັນແມ່ນ -1: \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \] ແນວຄວາມຄິດນີ້ມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນການອອກແບບ (ສະຖາປັດຕະຍະກຳ, ວິສະວະກຳ), ການວິເຄາະຮູບຮ່າງ, ແລະ ການຂຽນໂປຣແກຣມກຣາບຟິກຄອມພິວເຕີ. ດ້ວຍພິກັດ, ພວກເຮົາບໍ່ພຽງແຕ່ "ເຫັນ" ເສັ້ນໃນກຣາຟເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງສາມາດພິສູດຄຸນສົມບັດຂອງມັນທາງຄະນິດສາດໄດ້. 5. ວົງມົນໃນລະນາບພິກັດ ນອກຈາກເສັ້ນແລ້ວ, ຮູບຮ່າງທີ່ມັກຈະຖືກສຶກສາໃນເລຂາຄະນິດພິກັດແມ່ນວົງມົນ. ວົງມົນຖືກນິຍາມວ່າເປັນການລວບລວມຈຸດທີ່ຢູ່ຫ່າງຈາກຈຸດໃຈກາງເທົ່າກັນ. ຖ້າຈຸດໃຈກາງແມ່ນ (a, b) ແລະລັດສະໝີແມ່ນ r, ສົມຜົນຂອງວົງມົນແມ່ນ: \[ (xa)^2 + (yb)^2 = r^2 \] ຈາກກຣາຟ, ພວກເຮົາສາມາດກຳນົດຈຸດໃຈກາງ ແລະ ລັດສະໝີຂອງວົງມົນໄດ້ຖ້າຮູ້ສົມຜົນ, ຫຼືໃນທາງກັບກັນ - ສ້າງສົມຜົນຖ້າຈຸດໃຈກາງ ແລະ ລັດສະໝີຖືກກຳນົດ. ໃນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງ, ຮູບແບບວົງມົນຈະປາກົດຢູ່ໃນການອອກແບບລໍ້, ເຊັນເຊີທີ່ມີຂອບເຂດທີ່ແນ່ນອນ, ພື້ນທີ່ຄຸ້ມຄອງສັນຍານ, ແລະ ປະກົດການທຳມະຊາດຫຼາຍຢ່າງ. 6. ພາຣາໂບລາ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງ: ການອ່ານກຣາຟຟັງຊັນກຳລັງສອງ ເລຂາຄະນິດພິກັດບໍ່ໄດ້ຢຸດຢູ່ທີ່ເສັ້ນ ແລະ ວົງມົນ. ກຣາຟຂອງຟັງຊັນກຳລັງສອງປະກອບເປັນພາຣາໂບລາ, ເຊິ່ງສົມຜົນທົ່ວໄປແມ່ນ: \[ y = ax^2 + bx + c \] ພາຣາໂບລາມີຈຸດສຸດຍອດ ແລະ ແກນຂອງຄວາມສົມມາດ. ຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດສຸດຍອດສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] ແລະ ຄ່າ y ຂອງມັນແມ່ນໄດ້ມາຈາກການແທນທີ່ x_v ເຂົ້າໃນສົມຜົນ. ໃນກຣາຟ, ພາຣາໂບລາມັກຖືກໃຊ້ເພື່ອສ້າງແບບຈຳລອງເສັ້ນທາງການໂຄຈອນຂອງໂປເຈັກເຕີ, ການອອກແບບຕົວສະທ້ອນໂຄມໄຟ, ແລະ ການເພີ່ມປະສິດທິພາບ (ການຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ ຫຼື ຕ່ຳສຸດ). 7. ການຫັນປ່ຽນທາງເລຂາຄະນິດໃນກຣາຟ ການຫັນປ່ຽນແມ່ນການປ່ຽນແປງໃນຕຳແໜ່ງ ຫຼື ຮູບຮ່າງຂອງວັດຖຸຢູ່ເທິງລະນາບພິກັດ, ເຊັ່ນ: ການແປ (ການປ່ຽນ), ການສະທ້ອນ (ກະຈົກ), ການໝຸນ (ການໝຸນ), ແລະ ການຂະຫຍາຍ (ການຂະຫຍາຍ/ການຫຼຸດຜ່ອນ). ຕົວຢ່າງ: - ການແປພາສາ (x, y) → (x + p, y + q) ຍ້າຍຈຸດດ້ວຍໄລຍະຫ່າງ p ເທິງແກນ x ແລະ q ເທິງແກນ y. - ການສະທ້ອນອ້ອມແກນ x: (x, y) → (x, -y) - ການສະທ້ອນອ້ອມແກນ y: (x, y) → (-x, y)
ການຫັນປ່ຽນແມ່ນມີປະໂຫຍດຫຼາຍໃນກຣາຟເພາະວ່າມັນຊ່ວຍໃຫ້ເຂົ້າໃຈການປ່ຽນແປງໃນຟັງຊັນຕ່າງໆ: ຕົວຢ່າງ, ກຣາຟຂອງ y = f(x) ຈະເລື່ອນຂຶ້ນຖ້າມັນກາຍເປັນ y = f(x) + k, ຫຼືເລື່ອນໄປທາງຂວາຖ້າມັນກາຍເປັນ y = f(x - h). 8. ບົດບາດຂອງເລຂາຄະນິດພິກັດໃນການສະແດງຂໍ້ມູນ ໃນຍຸກສະໄໝໃໝ່, ກຣາຟບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນເຄື່ອງມືສຳລັບການຮຽນຮູ້ຄະນິດສາດເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງເປັນວິທີຫຼັກໃນການນຳສະເໜີຂໍ້ມູນ. ເມື່ອພວກເຮົາອ່ານຕາຕະລາງເສັ້ນ, ແຜນຜັງກະແຈກກະຈາຍ, ຫຼືເສັ້ນໂຄ້ງແນວໂນ້ມ, ພວກເຮົາກຳລັງນຳໃຊ້ຫຼັກການຂອງເລຂາຄະນິດພິກັດ: ຈຸດເປັນຕົວແທນຂໍ້ມູນ, ເສັ້ນສະແດງຄວາມສຳພັນ, ແລະ ຄວາມຊັນອະທິບາຍອັດຕາການປ່ຽນແປງ. ຕົວຢ່າງ, ໃນຂໍ້ມູນການຂາຍປະຈຳເດືອນ, ແກນ x ສາມາດເປັນຕົວແທນເວລາ, ແລະ ແກນ y ເປັນຕົວແທນຈຳນວນການຂາຍ. ຄວາມຊັນລະຫວ່າງສອງຈຸດໃຫ້ຄວາມຄິດກ່ຽວກັບການເພີ່ມຂຶ້ນ ຫຼື ຫຼຸດລົງທີ່ເກີດຂຶ້ນ. ເຖິງແມ່ນວ່າໃນການວິເຄາະທາງສະຖິຕິ ແລະ ການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ, ໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງຈຸດຕ່າງໆ (ເຊັ່ນ: ໄລຍະທາງແບບຢູຄລິດ) ແມ່ນພື້ນຖານສຳລັບການຈັດກຸ່ມ ແລະ ການຈັດປະເພດ. ສະຫຼຸບ ເລຂາຄະນິດພິກັດໃນກຣາຟແມ່ນຂົວຕໍ່ລະຫວ່າງຮູບພາບ ແລະ ການຄິດໄລ່. ຜ່ານລະນາບຄາຕີຊຽນ, ພວກເຮົາສາມາດປ່ຽນຈຸດ, ເສັ້ນ, ແລະເສັ້ນໂຄ້ງໃຫ້ເປັນສົມຜົນ; ໃນທາງກັບກັນ, ພວກເຮົາຍັງສາມາດປ່ຽນສົມຜົນໃຫ້ເປັນກຣາຟທີ່ເຂົ້າໃຈງ່າຍ. ແນວຄວາມຄິດຂອງໄລຍະທາງ, ຄວາມຊັນ, ສົມຜົນຂອງເສັ້ນ, ວົງມົນ, ພາຣາໂບລາ, ແລະ ການຫັນປ່ຽນ ປະກອບເປັນ "ເຄື່ອງມື" ທີ່ສຳຄັນສຳລັບການວິເຄາະບັນຫາຕ່າງໆ. ໂດຍການເປັນແມ່ບົດໃນເລຂາຄະນິດພິກັດ, ພວກເຮົາບໍ່ພຽງແຕ່ສາມາດແຕ້ມກຣາຟເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງສາມາດຕີຄວາມໝາຍຄວາມໝາຍຂອງມັນ ແລະ ນຳໃຊ້ພວກມັນເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາໃນໂລກຕົວຈິງໃນລັກສະນະທີ່ວັດແທກ ແລະ ມີເຫດຜົນຫຼາຍຂຶ້ນ.
