ການປະສົມປະສານ

ການປະສົມປະສານ

Pendahuluan

ໃນຄະນິດສາດ, ການປະສົມແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ໃຊ້ເພື່ອກຳນົດຈຳນວນວິທີໃນການເລືອກຊຸດວັດຖຸໂດຍບໍ່ຄຳນຶງເຖິງລຳດັບຂອງມັນ. ການປະສົມມັກຖືກນຳໃຊ້ໃນຫຼາຍຂົງເຂດວິທະຍາສາດ, ລວມທັງສະຖິຕິ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້, ແລະ ການຄິດໄລ່, ເຊັ່ນດຽວກັນກັບໃນຊີວິດປະຈຳວັນ, ເຊັ່ນ: ການກຳນົດເວລາ, ເກມໄພ້, ແລະອື່ນໆ. ບົດຄວາມນີ້ຈະສຳຫຼວດແນວຄວາມຄິດຂອງການປະສົມຢ່າງເລິກເຊິ່ງ, ສູດທີ່ໃຊ້, ແລະ ການນຳໃຊ້ຕົວຈິງບາງຢ່າງຂອງມັນ.

ຄໍານິຍາມຂອງການລວມກັນ

ການລວມກັນແມ່ນວິທີການເລືອກວັດຖຸຈຳນວນໜຶ່ງຈາກຊຸດໂດຍບໍ່ຄຳນຶງເຖິງລຳດັບທີ່ພວກມັນຖືກເລືອກ. ຖ້າມີວັດຖຸ \(n \) ທີ່ແຕກຕ່າງກັນ ແລະ ພວກເຮົາຕ້ອງການເລືອກວັດຖຸ \(r \) ຈາກຊຸດ, ການລວມກັນສາມາດສະແດງໄດ້ໂດຍສັນຍາລັກ \(C(n, r) \) ຫຼື \(\binom{n}{r} \).

ສູດປະສົມ

ສູດສຳລັບຄິດໄລ່ຈຳນວນການລວມຕົວ \( \binom{n}{r} \) ແມ່ນ:

\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (nr)!} \]

ບ່ອນທີ່ \( n! \) (ອ່ານ “n factorial”) ແມ່ນຜົນຄູນຂອງຈຳນວນເຕັມບວກທັງໝົດຈົນເຖິງ \( n \). ຕົວຢ່າງ, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).

ຕົວຢ່າງການຄິດໄລ່ແບບປະສົມປະສານ

ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີວັດຖຸທີ່ແຕກຕ່າງກັນ 5 ອັນ, ແລະພວກເຮົາຕ້ອງການເລືອກວັດຖຸ 3 ອັນຈາກຊຸດ. ພວກເຮົາສາມາດເຮັດສິ່ງນີ້ໄດ້ຈັກວິທີ?

ການນໍາໃຊ້ສູດປະສົມປະສານ:

\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 \]

ສະນັ້ນ, ມີ 10 ວິທີທີ່ຈະເລືອກວັດຖຸ 3 ຢ່າງຈາກ 5 ຢ່າງໂດຍບໍ່ຕ້ອງສົນໃຈກັບລຳດັບ.

ການລວມກັນໃນຄວາມເປັນໄປໄດ້

ການລວມກັນມັກຖືກໃຊ້ໃນຄວາມເປັນໄປໄດ້ເພື່ອກຳນົດຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງເຫດການ. ຕົວຢ່າງ, ໃນເກມໄພ້, ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ການລວມກັນເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການໄດ້ຮັບມືທີ່ແນ່ນອນ.

ຕົວຢ່າງທີ 1: ເກມໄພ້

ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາຕ້ອງການຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການໄດ້ຮັບຄູ່ຂອງເອສໃນຫ້າໄພ້ທີ່ແຈກຈາກສຳຮັບໄພ້ມາດຕະຖານ 52 ໃບ. ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ການປະສົມປະສານເພື່ອຄິດໄລ່ຈຳນວນວິທີທັງໝົດໃນການເລືອກໄພ້ຫ້າໃບຈາກ 52 ໃບ ແລະ ຈຳນວນວິທີໃນການເລືອກເອສສອງໃບຈາກສີ່ເອສ.

ວິທີທັງໝົດໃນການເລືອກ 5 ບັດຈາກ 52 ວິທີ:

\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]

ວິທີການເລືອກ 2 ເອສຈາກ 4 ເອສ:

\[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \]

ວິທີການເລືອກບັດ 3 ໃບຈາກ 48 ໃບທີ່ເຫຼືອ (ເນື່ອງຈາກມີ 2 ໃບຖືກເລືອກຈາກ 4 ເອສແລ້ວ):

\[ \binom{48}{3} = \frac{48!}{3! \cdot 45!} \]

ດັ່ງນັ້ນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະໄດ້ສອງເອສໃນມືຫ້າໄພ້ແມ່ນ:

\[ P = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} \]

ການປະສົມປະສານໃນສະຖິຕິ

ໃນສະຖິຕິ, ການລວມກັນແມ່ນຖືກນໍາໃຊ້ໃນການວິເຄາະຕ່າງໆ, ລວມທັງການເກັບຕົວຢ່າງ ແລະ ການທົດສອບສົມມຸດຕິຖານ. ການລວມກັນຊ່ວຍກໍານົດຈໍານວນວິທີໃນການເລືອກຕົວຢ່າງສະເພາະຈາກປະຊາກອນ.

ຕົວຢ່າງທີ 2: ການເກັບຕົວຢ່າງ

ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີປະຊາກອນ 20 ຄົນ ແລະ ພວກເຮົາຕ້ອງການເລືອກຕົວຢ່າງຈຳນວນ 4 ຄົນ. ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ການປະສົມປະສານເພື່ອກຳນົດຈຳນວນວິທີໃນການເລືອກຕົວຢ່າງນັ້ນ.

\[ \binom{20}{4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} \]

ຕົວເລກນີ້ໃຫ້ຂໍ້ມູນທີ່ສຳຄັນໃນການວິເຄາະທາງສະຖິຕິຕ່າງໆ, ເຊັ່ນ: ໃນການຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ ຫຼື ການປະເມີນພາລາມິເຕີ.

ທິດສະດີການລວມຕົວ ແລະ ຕົວເລກ

ການປະສົມຍັງມີບົດບາດສຳຄັນໃນທິດສະດີຈຳນວນ, ໂດຍສະເພາະໃນສະພາບການຂອງສຳປະສິດສອງນາມ ແລະ ລັກສະນະທາງຄະນິດສາດອື່ນໆ. ຕົວຢ່າງ, ທິດສະດີສອງນາມໃຊ້ການປະສົມເພື່ອພັດທະນານິພົດພຶດຊະຄະນິດ.

ທິດສະດີບົດທວິນາມ

ທິດສະດີບົດ Binomial ກ່າວວ່າ:

\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{nk} y^k \]

ໃນທີ່ນີ້, ສຳປະສິດທະວິໂນມຽວ \( \binom{n}{k} \) ສະແດງເຖິງຈຳນວນວິທີໃນການເລືອກວັດຖຸ \( k \) ຈາກວັດຖຸ \( n \).

ການນຳໃຊ້ປະສົມປະສານໃນຊີວິດປະຈຳວັນ

ແນວຄວາມຄິດຂອງການປະສົມປະສານບໍ່ພຽງແຕ່ຈຳກັດຢູ່ໃນຄະນິດສາດທິດສະດີເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງມີການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຫຼາຍຢ່າງໃນຊີວິດປະຈຳວັນອີກດ້ວຍ.

ຕົວຢ່າງທີ 3: ການຕັ້ງຄ່າຕາຕະລາງເວລາ

ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີວຽກມອບໝາຍ 5 ຢ່າງທີ່ຕ້ອງເຮັດສຳເລັດພາຍໃນໜຶ່ງອາທິດ, ແລະ ພວກເຮົາຕ້ອງການເລືອກ 3 ຢ່າງເພື່ອເຮັດວຽກໃນວັນຈັນ. ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ການປະສົມປະສານເພື່ອກຳນົດຈຳນວນວິທີທີ່ຈະເລືອກວຽກມອບໝາຍ 3 ຢ່າງຈາກ 5 ຢ່າງນັ້ນ.

\[ \binom{5}{3} = 10 \]

ສະນັ້ນ, ມີ 10 ວິທີໃນການຈັດຕາຕະລາງເວລາ.

ຕົວຢ່າງທີ 4: ການເລືອກອາຫານ

ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີເມນູອາຫານທີ່ມີ 10 ທາງເລືອກ, ແລະພວກເຮົາຕ້ອງການເລືອກອາຫານ 4 ຢ່າງສຳລັບງານລ້ຽງ. ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ການປະສົມປະສານເພື່ອກຳນົດຈຳນວນວິທີໃນການເລືອກອາຫານ 4 ຢ່າງຈາກ 10 ວິທີ.

\[ \binom{10}{4} = 210 \]

ສະນັ້ນ, ມີ 210 ວິທີໃນການເລືອກອາຫານ 4 ຢ່າງຈາກ 10 ທາງເລືອກ.

ສະຫຼຸບ

ການປະສົມແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນໃນຄະນິດສາດ ແລະ ມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຫຼາຍໆຂົງເຂດວິທະຍາສາດ ແລະ ຊີວິດປະຈຳວັນ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດຂອງການປະສົມ ແລະ ວິທີການຄິດໄລ່ພວກມັນ, ພວກເຮົາສາມາດແກ້ໄຂບັນຫາຕ່າງໆທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການເລືອກວັດຖຸໄດ້ງ່າຍຂຶ້ນໂດຍບໍ່ຄຳນຶງເຖິງລຳດັບ. ການປະສົມແມ່ນເປັນປະໂຫຍດໃນການຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້, ການວິເຄາະທາງສະຖິຕິ, ທິດສະດີຈຳນວນ, ແລະ ແມ່ນແຕ່ໃນການຈັດກິດຈະກຳປະຈຳວັນ. ຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຈະໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ດີຂຶ້ນກ່ຽວກັບການປະສົມ ແລະ ປະໂຫຍດຂອງມັນໃນຫຼາຍໆສະພາບການ.