ຕຳແໜ່ງຂອງວົງມົນສອງວົງ: ການວິເຄາະທາງເລຂາຄະນິດ
ໃນຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະໃນເລຂາຄະນິດ, ການເຂົ້າໃຈຕຳແໜ່ງຂອງວົງມົນສອງວົງມີບົດບາດສຳຄັນຫຼາຍ. ວົງມົນແມ່ນໜຶ່ງໃນຮູບຊົງເລຂາຄະນິດພື້ນຖານທີ່ພົບເລື້ອຍທັງໃນທິດສະດີ ແລະ ການປະຕິບັດຕົວຈິງ. ຕຳແໜ່ງຂອງວົງມົນສອງວົງໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບການພົວພັນຂອງຮູບຊົງສອງຮູບນີ້ເມື່ອວາງໄວ້ໃນລະນາບ. ການສຶກສານີ້ກວມເອົາການວິເຄາະການພົວພັນທີ່ເປັນໄປໄດ້ຕ່າງໆທີ່ສາມາດເກີດຂຶ້ນໄດ້, ຕັ້ງແຕ່ການບໍ່ຕັດກັນຈົນເຖິງການຕັດກັນ. ບົດຄວາມນີ້ຈະທົບທວນຄືນຕຳແໜ່ງຂອງວົງມົນສອງວົງ ແລະ ລັກສະນະຕ່າງໆທີ່ກ່ຽວຂ້ອງຢ່າງລະອຽດ.
ຄຳນິຍາມ ແລະ ໝາຍເຫດ
ກ່ອນອື່ນໝົດ, ໃຫ້ພວກເຮົານິຍາມວົງມົນສອງວົງໃນລະນາບ Cartesian ຢ່າງເປັນທາງການ. ວົງມົນ \(C_1\) ທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ \(P_1(x_1, y_1)\) ແລະ ລັດສະໝີ \(r_1\) ສາມາດສະແດງໄດ້ໂດຍສົມຜົນ:
\[
C_1: (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r_1^2
\]
ໃນທຳນອງດຽວກັນ, ວົງມົນ \(C_2\) ທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ \(P_2(x_2, y_2)\) ແລະ ລັດສະໝີ \(r_2\) ແມ່ນເປັນຕົວແທນໂດຍ:
\[
C_2: (x – x_2)^2 + (y – y_2)^2 = r_2^2
\]
ຕຳແໜ່ງຂອງວົງມົນສອງວົງນີ້ແມ່ນຂຶ້ນກັບໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງຈຸດໃຈກາງຂອງພວກມັນ (\(d\)) ແລະ ຄວາມຍາວຂອງລັດສະໝີຂອງພວກມັນ. ໄລຍະຫ່າງ \(d\) ລະຫວ່າງຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນສອງວົງ \(P_1\) ແລະ \(P_2\) ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດ:
\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
ໝວດໝູ່ຕຳແໜ່ງວົງມົນສອງວົງ
ໂດຍທົ່ວໄປ, ມີຫ້າຕຳແໜ່ງທີ່ວົງມົນທັງສອງອາດຈະປະສົບ:
1. ຄວາມບັງເອີນ (ວົງມົນສອງວົງກົງກັນ)
2. ບໍ່ຕັດກັນ (ແຍກອອກຈາກກັນ)
3. ສຳຜັດພາຍນອກ
4. ການສຳຜັດພາຍໃນ (ສຳຜັດພາຍໃນ)
5. ຕັດກັນ
ແຕ່ລະໝວດໝູ່ເຫຼົ່ານີ້ມີເງື່ອນໄຂທາງເລຂາຄະນິດຂອງຕົນເອງ, ເຊິ່ງພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືລາຍລະອຽດຂ້າງລຸ່ມນີ້.
1. ຄວາມບັງເອີນ (ວົງມົນສອງວົງກົງກັນ)
ວົງມົນສອງວົງຖືກຖືວ່າເປັນວົງກົມທີ່ກົງກັນ ຫຼື ກົງກັນຖ້າພວກມັນມີຈຸດໃຈກາງ ແລະ ລັດສະໝີດຽວກັນ. ໃນທາງຄະນິດສາດ, ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າ:
\[
P_1 ເທົ່າກັບ P_2 \quad \text{ແລະ} \quad r_1 = r_2
\]
ໃນກໍລະນີນີ້, \(d = 0\). ວົງມົນສອງວົງແມ່ນຄືກັນ, ແລະທຸກໆຈຸດໃນວົງມົນໜຶ່ງແມ່ນຈຸດໜຶ່ງໃນອີກວົງມົນໜຶ່ງ.
2. ບໍ່ຕັດກັນ (ແຍກອອກຈາກກັນ)
ວົງມົນສອງວົງບໍ່ຕັດກັນພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂສອງຢ່າງຄື:
- ເງື່ອນໄຂທຳອິດ: ເມື່ອໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນສອງວົງ (d) ໃຫຍ່ກວ່າຜົນບວກຂອງຄວາມຍາວຂອງລັດສະໝີຂອງພວກມັນ:
\[
d > r_1 + r_2
\]
– ເງື່ອນໄຂທີສອງ: ເມື່ອວົງມົນໜຶ່ງຢູ່ພາຍໃນອີກວົງມົນໜຶ່ງໂດຍບໍ່ໄດ້ແຕະຕ້ອງກັນເລີຍ. ສິ່ງນີ້ເກີດຂຶ້ນຖ້າ:
\[
d < |r_1 - r_2| \] ໃນທັງສອງກໍລະນີ, ບໍ່ມີຈຸດຮ່ວມລະຫວ່າງວົງມົນ \(C_1\) ແລະ \(C_2\). 3. ເສັ້ນສຳຜັດພາຍນອກ ວົງມົນສອງວົງຈະສຳຜັດພາຍນອກຖ້າພວກມັນແຕະກັນທີ່ຈຸດໜຶ່ງ ແລະ ຢູ່ທາງນອກຂອງກັນແລະກັນ. ສິ່ງນີ້ເກີດຂຶ້ນຖ້າໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນສອງວົງເທົ່າກັບຜົນບວກຂອງລັດສະໝີຂອງພວກມັນ:
