Integral
ອິນທິກຣອລ ແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນແຄລຄູລັສ, ເຊິ່ງກ່ຽວຂ້ອງຢ່າງໃກ້ຊິດກັບອະນຸພັນ. ໃນຂະນະທີ່ອະນຸພັນອະທິບາຍເຖິງການປ່ຽນແປງຂອງຄວາມຊັນ ຫຼື ຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນໂຄ້ງຢູ່ຈຸດສະເພາະ, ໃນທາງກົງກັນຂ້າມ, ອິນທິກຣອລ ກວມເອົາພື້ນທີ່ທັງໝົດພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງໃນຊ່ວງເວລາສະເພາະ. ອິນທິກຣອລ ແມ່ນເຄື່ອງມືທີ່ສຳຄັນໃນຄະນິດສາດ, ຟີຊິກສາດ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ສາຂາອື່ນໆອີກຫຼາຍຢ່າງ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດຂອງອິນທິກຣອລຢ່າງລະອຽດ, ລວມທັງປະຫວັດ, ຄຳນິຍາມ, ປະເພດຂອງອິນທິກຣອລ, ການນຳໃຊ້, ແລະ ຕົວຢ່າງບັນຫາອິນທິກຣອລບາງຢ່າງ.
ປະຫວັດສາດປະສົມປະສານ
ອິນທິກຣອລໄດ້ຖືກນຳສະເໜີຄັ້ງທຳອິດໂດຍນັກວິທະຍາສາດກຣີກບູຮານຜ່ານວິທີການໝົດແຮງທີ່ພັດທະນາໂດຍ Eudoxus ແລະຕໍ່ມາໄດ້ຮັບຄວາມນິຍົມໂດຍ Archimedes. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ການພັດທະນາອິນທິກຣອລທີ່ທັນສະໄໝສາມາດຕິດຕາມກັບໄປເຖິງສະຕະວັດທີ 17 ດ້ວຍຜົນງານຂອງ Isaac Newton ແລະ Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton ແລະ Leibniz, ເຖິງແມ່ນວ່າເຮັດວຽກເປັນອິດສະຫຼະ, ແຕ່ໄດ້ພັດທະນາແຄລຄູລັສທີ່ກວມເອົາອິນທິກຣອລ ແລະ ອະນຸພັນ, ສອງແນວຄວາມຄິດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງໂດຍທິດສະດີພື້ນຖານຂອງແຄລຄູລັສ. ທິດສະດີນີ້ລະບຸວ່າອິນທິກຣອລ ແລະ ການດີເຟຣຊັນແມ່ນການດຳເນີນງານແບບປີ້ນກັບກັນ.
ນິວຕັນໄດ້ໃຊ້ອິນທິກຣອນໃນສະພາບການຂອງຟີຊິກເພື່ອຄິດໄລ່ພື້ນທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງການປ່ຽນແປງຂອງຄວາມໄວຕາມເວລາ, ເຊິ່ງເປັນແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນຕໍ່ກົນຈັກຄລາສສິກ. ໃນທາງກົງກັນຂ້າມ, ໄລບນິຊ ໄດ້ພັດທະນາສັນຍາລັກອິນທິກຣອນ ∫ ທີ່ພວກເຮົາໃຊ້ໃນປະຈຸບັນ, ເຊິ່ງມາຈາກຕົວອັກສອນຍາວ “s,” ຫຍໍ້ມາຈາກ summa (ພາສາລາແຕັງ ໝາຍຄວາມວ່າ “sum”).
ຄໍານິຍາມຂອງການປະສົມປະສານ
ອິນທິກຣອນຂອງຟັງຊັນສາມາດຖືກເບິ່ງວ່າເປັນ "ອະນຸພັນຕ້ານ". ຢ່າງເປັນທາງການ, ມີອິນທິກຣອນສອງປະເພດທີ່ມັກໃຊ້ຄື: ອິນທິກຣອນບໍ່ກຳນົດ ແລະ ອິນທິກຣອນທີ່ແນ່ນອນ.
ອິນທິກຣອລທີ່ບໍ່ມີກຳນົດ
ອິນທິກຣອນບໍ່ກຳນົດຂອງຟັງຊັນ f(x) ແມ່ນຟັງຊັນ F(x) ເຊິ່ງອະນຸພັນຂອງ F(x) ແມ່ນ f(x). ສັນຍະລັກຂອງມັນຖືກຂຽນເປັນ:
∫ f(x) dx = F(x) + C
ບ່ອນທີ່ C ເປັນຄ່າຄົງທີ່ຂອງອິນທິກຣອນ ເຊິ່ງຈຳເປັນເພາະວ່າອະນຸພັນຂອງຄ່າຄົງທີ່ແມ່ນສູນ. ຕົວຢ່າງງ່າຍໆຂອງອິນທິກຣອນທີ່ບໍ່ມີກຳນົດແມ່ນ:
∫ 2x dx = x² + C
ອິງທິກຣອລທີ່ແນ່ນອນ
ອິນທິກຣານທີ່ແນ່ນອນຂອງຟັງຊັນ f(x) ຈາກ a ຫາ b ອະທິບາຍເຖິງເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງຈາກ x = a ຫາ x = b. ມັນຖືກຂຽນເປັນ:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)
ບ່ອນທີ່ F(x) ເປັນຕົວຕ້ານອະນຸພັນຂອງ f(x). ຕົວຢ່າງ:
∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8
ປະເພດຂອງອິນທິກຣອລ
ນອກເໜືອໄປຈາກອິນທິກຣານພື້ນຖານທີ່ໄດ້ກ່າວມາຂ້າງເທິງ, ຍັງມີອິນທິກຣານປະເພດອື່ນໆທີ່ໃຊ້ໃນຄະນິດສາດ ແລະ ການນຳໃຊ້ຕົວຈິງ. ບາງອັນແມ່ນ:
ປະສົມປະສານສອງເທົ່າ
ການປະສົມປະສານຄູ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການລວມຕົວແປຫຼາຍກວ່າສອງຕົວແປ ຫຼື ຫຼາຍກວ່ານັ້ນ. ມັນມັກຖືກໃຊ້ໃນແຄລຄູລັສຫຼາຍມິຕິເພື່ອຄິດໄລ່ປະລິມານພື້ນຜິວໃຕ້ດິນ ຫຼື ຄ່າຕົວເລກສຳລັບຟັງຊັນຂອງຕົວແປສອງຕົວ ຫຼື ຫຼາຍກວ່ານັ້ນ. ຕົວຢ່າງລວມມີ:
∫∫_R f(x,y) dA
Lebesgue Integral
ອິນທິກຣານ Lebesgue ແມ່ນການລວມຕົວຂອງອິນທິກຣານ Riemann ທີ່ໃຊ້ເພື່ອຈັດການກັບຟັງຊັນທີ່ບໍ່ສະໝໍ່າສະເໝີສູງ. ອິນທິກຣານນີ້ມີຄວາມສຳຄັນເປັນພິເສດໃນການວິເຄາະຕົວຈິງ ແລະ ທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້.
ສາຍປະສົມປະສານ
ອິນທິກຣອນເສັ້ນໜຶ່ງຈະລວມຟັງຊັນຕາມເສັ້ນໂຄ້ງ ຫຼື ເສັ້ນທາງທີ່ກຳນົດໃຫ້ໃນລະນາບ ຫຼື ອະວະກາດ. ມັນມີປະໂຫຍດຫຼາຍໃນຟີຊິກ ແລະ ວິສະວະກຳ ສຳລັບການຄິດໄລ່ວຽກທີ່ແຮງເຮັດຕາມເສັ້ນທາງທີ່ກຳນົດໃຫ້.
∫_C F · ດຣ
ການປະສົມປະສານພື້ນຜິວ
ອິນທິກຣານຕິກພື້ນຜິວດັດແປງອິນທິກຣານຕິກຄູ່ເພື່ອນຳໃຊ້ກັບພື້ນຜິວໃນພື້ນທີ່ສາມມິຕິ. ມັນມັກຖືກນຳໃຊ້ໃນເອເລັກໂຕຣໄດນາມິກ ແລະ ກົນຈັກຂອງແຫຼວ.
∫∫_S f(x,y,z) dS
ແອັບພລິເຄຊັນປະສົມປະສານ
ອິນທິກຣອລມີການນຳໃຊ້ທີ່ຫຼາກຫຼາຍໃນສາຂາວິທະຍາສາດຕ່າງໆ. ບາງການນຳໃຊ້ທີ່ສຳຄັນທີ່ສຸດລວມມີ:
ຟີຊິກາ
ໃນຟີຊິກສາດ, ອິນທິກຣານມັກຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ວຽກ, ພະລັງງານ ແລະ ປະລິມານທາງຟີຊິກອື່ນໆ. ຕົວຢ່າງ, ອິນທິກຣານຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ວຽກທີ່ເຮັດໂດຍແຮງໃນການເຄື່ອນທີ່ຂອງອະນຸພາກ:
W = ∫ F(x) dx
ອິນທິກຣອລຍັງມີຄວາມສຳຄັນໃນການຊອກຫາມວນສານ, ຈຸດໃຈກາງມວນສານ, ໂມເມັນຄວາມเฉื่อย, ແລະ ການແຈກຢາຍມວນສານໃນວັດຖຸທາງກາຍະພາບ.
ສະຖິຕິ
ໃນສະຖິຕິ ແລະ ທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້, ອິນທິກຣອນຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ ແລະ ຄວາມຄາດຫວັງຂອງການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ຕ່າງໆ. ຕົວຢ່າງແມ່ນການຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ສະສົມຂອງຕົວແປສຸ່ມຕໍ່ເນື່ອງ:
P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt
ເສດຖະກິດ
ໃນເສດຖະສາດ, ອິນທິກຣານຖືກໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ກຳໄລທັງໝົດ, ຕົ້ນທຶນ, ແລະ ສ່ວນເກີນຂອງຜູ້ບໍລິໂພກ/ຜູ້ຜະລິດ. ຕົວຢ່າງ, ເພື່ອຄິດໄລ່ຕົ້ນທຶນທັງໝົດໃນສະພາບການຂອງຕົ້ນທຶນຂອບ:
ຕົ້ນທຶນທັງໝົດ = ∫ MC(q) dq
ດ້ານວິຊາການ
ໃນວິສະວະກຳ, ອິນທິກຣອນມັກຖືກນຳໃຊ້ໃນການວິເຄາະຄວາມຄຽດ, ການຜິດຮູບ, ແລະ ການຖ່າຍໂອນຄວາມຮ້ອນ. ວິສະວະກຳຄວບຄຸມຍັງໃຊ້ອິນທິກຣອນສຳລັບລະບົບຄວບຄຸມອິນທິກຣອນໃນຕົວຄວບຄຸມ PID (Proportional-Integral-Derivative).
ຕົວຢ່າງບັນຫາປະສົມປະສານ
ນີ້ແມ່ນບາງຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາລວມ ແລະ ວິທີແກ້ໄຂຂອງມັນ:
ຕົວຢ່າງທີ 1: ອິນທິກຣອລບໍ່ກຳນົດ
ຊອກຫາອິນທິກຣອນທີ່ບໍ່ມີກຳນົດຂອງ f(x) = 3x²:
∫ 3x² dx
ການແກ້ໄຂ:
ອິນທິກຣານນີ້ສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ໂດຍໃຊ້ກົດອິນທິກຣານພື້ນຖານ. ພວກເຮົາບວກ 1 ໃສ່ເລກຊີ້ກຳລັງ ແລະ ຫຼັງຈາກນັ້ນຫານດ້ວຍເລກຊີ້ກຳລັງໃໝ່:
∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + C
ຕົວຢ່າງທີ 2: ອິນທິກຣອລທີ່ແນ່ນອນ
ຊອກຫາພື້ນທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ f(x) = 2x ຈາກ 1 ຫາ 4:
∫[1,4] 2x dx
ການແກ້ໄຂ:
ກ່ອນອື່ນໝົດ, ພວກເຮົາຊອກຫາອະນຸພັນຂອງ 2x, ເຊິ່ງແມ່ນ x². ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ພວກເຮົາໃຊ້ຂອບເຂດລຸ່ມ ແລະ ຂອບເຂດເທິງ:
∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15
ສະຫຼຸບ
ອິນທິກຣອລແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນໃນແຄລຄູລັສ, ເຊິ່ງສະແດງເຖິງແນວຄວາມຄິດຂອງເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ ແລະ ການນຳໃຊ້ຫຼາຍຢ່າງຂອງມັນ. ຕັ້ງແຕ່ປະຫວັດສາດຂອງພວກມັນໃນປະເທດເກຣັກບູຮານ ຈົນເຖິງການພັດທະນາທີ່ສຳຄັນໂດຍນິວຕັນ ແລະ ໄລບນິຊ, ຈົນເຖິງປະເພດ ແລະ ການນຳໃຊ້ທີ່ຫຼາກຫຼາຍຂອງພວກມັນໃນວິທະຍາສາດ ແລະ ວິສະວະກຳ, ອິນທິກຣອລມີບົດບາດສຳຄັນໃນຂອບວຽກຄະນິດສາດທີ່ທັນສະໄໝ. ການເຂົ້າໃຈອິນທິກຣອລບໍ່ພຽງແຕ່ຊ່ວຍພວກເຮົາແກ້ໄຂບັນຫາທາງຄະນິດສາດເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງເປີດຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບການນຳໃຊ້ຫຼາຍຢ່າງຂອງມັນໃນຊີວິດປະຈຳວັນ ແລະ ໂລກວິຊາຊີບ.
