ຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ
ເວັກເຕີ ແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນຄະນິດສາດ ແລະ ຟີຊິກສາດ, ເຊິ່ງເປັນຕົວແທນຂອງປະລິມານທີ່ມີທັງທິດທາງ ແລະ ຄວາມແຮງ. ໃນການນຳໃຊ້ຕ່າງໆ, ເວັກເຕີມັກຖືກໃຊ້ເພື່ອອະທິບາຍຕຳແໜ່ງ, ຄວາມໄວ, ແຮງ, ແລະ ພາລາມິເຕີອື່ນໆອີກຫຼາຍຢ່າງ. ໃນບັນດາເວັກເຕີປະເພດຕ່າງໆ, ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງມີບົດບາດສຳຄັນໃນການສ້າງແຜນທີ່ທີ່ຕັ້ງຂອງຈຸດໃນອະວະກາດ.
ຄໍານິຍາມຂອງເວັກເຕີຕໍາແຫນ່ງ
ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ ແມ່ນເວັກເຕີທີ່ອະທິບາຍຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດທຽບກັບຈຸດກຳເນີດໃນລະບົບພິກັດ. ໂດຍທົ່ວໄປ, ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງຖືກຂຽນໃນຮູບແບບພິກັດ Cartesian ດັ່ງນີ້:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
ໃນທີ່ນີ້, \(\mathbf{r}\) ແມ່ນເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ, \(x\), \(y\), ແລະ \(z\) ແມ່ນສ່ວນປະກອບຂອງມັນຕາມແກນ \(x\), \(y\), ແລະ \(z\) ຕາມລຳດັບ, ໃນຂະນະທີ່ \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), ແລະ \(\mathbf{k}\) ແມ່ນເວັກເຕີຫົວໜ່ວຍຂະໜານກັບແກນພິກັດຕາມລຳດັບ. ໃນພື້ນທີ່ສອງມິຕິ, ສ່ວນປະກອບ \(z\) ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວບໍ່ມີຢູ່, ດັ່ງນັ້ນເວັກເຕີຕຳແໜ່ງຈະກາຍເປັນ:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
ແອັບພລິເຄຊັນເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ
ຕົວຢ່າງ, ໃນຟີຊິກສາດ, ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງມີບົດບາດສຳຄັນໃນການອະທິບາຍການເຄື່ອນທີ່ຂອງວັດຖຸ. ຕຳແໜ່ງຂອງວັດຖຸທຽບກັບຈຸດກຳເນີດ (ຈຸດອ້າງອີງ) ສາມາດເປັນຕົວແທນໂດຍເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ. ຍິ່ງໄປກວ່ານັ້ນ, ໃນວິສະວະກຳກົນຈັກ, ການຄິດໄລ່ແຮງ ແລະ ໂມເມັນມັກຈະກ່ຽວຂ້ອງກັບການໃຊ້ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ
ຄຳຖາມທີ 1
ສົມມຸດວ່າມີສອງຈຸດໃນພື້ນທີ່ 3 ມິຕິ, ຈຸດ A ທີ່ມີພິກັດ \( (1, 2, 3) \) ແລະຈຸດ B ທີ່ມີພິກັດ \( (4, 0, -2) \). ກຳນົດເວັກເຕີຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດ A ແລະ B. ນອກຈາກນັ້ນ, ໃຫ້ຄິດໄລ່ເວັກເຕີທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ຈຸດ A ຫາຈຸດ B.
ເປບບາຮາຊານ:
ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງສຳລັບຈຸດ A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງສຳລັບຈຸດ B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
ຕໍ່ໄປ, ເພື່ອຊອກຫາເວັກເຕີທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ຈຸດ A ຫາຈຸດ B (ເອີ້ນວ່າ \(\mathbf{AB}\)), ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຫັກເວັກເຕີຕຳແໜ່ງຂອງ A ອອກຈາກເວັກເຕີຕຳແໜ່ງຂອງ B:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
ດັ່ງນັ້ນ, ການແທນທີ່ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງສອງອັນຂ້າງເທິງ:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (−2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
ສະນັ້ນ, ຈຸດເຊື່ອມຕໍ່ເວັກເຕີ A ຫາ B ແມ່ນ \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
ຄຳຖາມທີ 2
ຖ້າຈຸດ P ຢູ່ເທິງ \((2, 3)\) ໃນລະນາບ 2D, ຈົ່ງຊອກຫາຄວາມຍາວ (ມາດຕະຖານ) ຂອງເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ \(\mathbf{r_P}\).
ເປບບາຮາຊານ:
ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດ P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
ຄວາມຍາວຂອງເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ \(\mathbf{r_P}\) ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດເວັກເຕີມາດຕະຖານ (ຫຼື ຄວາມຍາວ):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
ແທນຄ່າຂອງ \(x\) ແລະ \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
ສະນັ້ນ, ຄວາມຍາວຂອງເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ \(\mathbf{r_P}\) ແມ່ນ \(\sqrt{13}\).
ຄຳຖາມທີ 3
ສົມມຸດວ່າຈຸດ Q ຢູ່ທີ່ \((5, -4, 2) \). ຈົ່ງຊອກຫາມຸມລະຫວ່າງເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ \(\mathbf{r_Q}\) ແລະແກນ \(x\).
ເປບບາຮາຊານ:
ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດ Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
ເພື່ອຊອກຫາມຸມລະຫວ່າງເວັກເຕີ \(\mathbf{r_Q}\) ແລະແກນ \(x\), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ແນວຄວາມຄິດຂອງຜົນຄູນຈຸດ. ກ່ອນອື່ນໝົດ, ພວກເຮົາກຳນົດຜົນຄູນຈຸດລະຫວ່າງ \(\mathbf{r_Q}\) ແລະ \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
ເນື່ອງຈາກ \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), ແລະ \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), ຫຼັງຈາກນັ້ນ:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
ຄ່າມາດຕະຖານຂອງ \(\mathbf{r_Q}):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
ຄ່າມາດຕະຖານຂອງ \(\mathbf{i}\) ແມ່ນ 1, ເພາະວ່າ \(\mathbf{i}\) ເປັນເວັກເຕີຫົວໜ່ວຍ.
ການໃຊ້ສູດຜົນຄູນຈຸດເພື່ອຊອກຫາມຸມ \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}}{3} \]
ສະນັ້ນມຸມ \(\theta\) ລະຫວ່າງເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ \(\mathbf{r_Q}\) ແລະແກນ \(x\) ແມ່ນ:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{5}}{3}\right) \]
ສະຫຼຸບ
ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງມີບົດບາດສຳຄັນໃນວິທະຍາສາດ ແລະ ວິສະວະກຳ, ໂດຍສະເພາະໃນການສ້າງແຜນທີ່ຕຳແໜ່ງຂອງວັດຖຸໃນພື້ນທີ່ພິກັດ. ຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງສະແດງໃຫ້ເຫັນວິທີການຄິດໄລ່ເວັກເຕີຕຳແໜ່ງ, ຄວາມຍາວຂອງມັນ, ແລະ ມຸມລະຫວ່າງພວກມັນ ແລະ ແກນພິກັດ. ການເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນມີຄຸນຄ່າຫຼາຍໃນການແກ້ໄຂບັນຫາຕ່າງໆທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບພື້ນທີ່ ແລະ ພິກັດໃນຄະນິດສາດ ແລະ ຟີຊິກ.
