ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄວາມຜັນຜວນມາດຕະຖານຂອງຂໍ້ມູນກຸ່ມ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄວາມຜັນຜວນມາດຕະຖານຂອງຂໍ້ມູນກຸ່ມ

Pendahuluan
ໃນສະຖິຕິ, ຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄວາມຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ ແມ່ນສອງມາດຕະການທາງສະຖິຕິທີ່ມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍສຳລັບການເຂົ້າໃຈການກະຈາຍ ຫຼື ການແຜ່ກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນຈາກຄ່າສະເລ່ຍ. ຄວາມແปรປ່ວນວັດແທກວ່າຂໍ້ມູນແຜ່ກະຈາຍໄປໄກເທົ່າໃດຈາກຄ່າສະເລ່ຍ, ໃນຂະນະທີ່ຄວາມຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນຮາກຂັ້ນສອງຂອງຄວາມແปรປ່ວນ, ເຊິ່ງສະໜອງມາດຕະການທີ່ຢູ່ໃນຫົວໜ່ວຍດຽວກັນກັບຂໍ້ມູນຕົ້ນສະບັບ.

ຄໍານິຍາມ
- ຄວາມແປປ່ວນ (σ² ຫຼື S²): ແມ່ນຄ່າສະເລ່ຍຂອງກຳລັງສອງຂອງຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງແຕ່ລະຄ່າຂໍ້ມູນ ແລະ ຄ່າສະເລ່ຍຂອງຂໍ້ມູນ.
- ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (σ ຫຼື S): ແມ່ນຮາກຂັ້ນສອງຂອງຄວາມແปรປ່ວນ.

ສູດສຳລັບຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄວາມຜັນຜວນມາດຕະຖານຂອງຂໍ້ມູນກຸ່ມ
ສຳລັບຂໍ້ມູນກຸ່ມ, ພວກເຮົາໃຊ້ຄວາມຖີ່ຂອງຂໍ້ມູນໃນແຕ່ລະຄລາສ. ນີ້ແມ່ນສູດ:

ແຕກຕ່າງກັນ
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{ x} \right)^2 }{ N-1 } \]

ຄ່າຜັນມາດຕະຖານ
\[ S = \sqrt{S^2} \]

ຢູ່ໃສ:
– \( f_i \) = ຄວາມຖີ່ຂອງແຕ່ລະຄລາສ.
– \( x_i \) = ຈຸດກາງຂອງແຕ່ລະຫ້ອງຮຽນ.
– \( \bar{x} \) = ຄ່າສະເລ່ຍຂອງຂໍ້ມູນກຸ່ມ.
- \( N \) = ຈຳນວນຂໍ້ມູນທັງໝົດ.

Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີຂໍ້ມູນນ້ຳໜັກສຳລັບກຸ່ມຄົນທີ່ຈັດເປັນກຸ່ມຊັ້ນຮຽນ.

| ໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງນ້ຳໜັກ (ກກ) | ຄວາມຖີ່ (f) |
|———————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |

ຂັ້ນຕອນທຳອິດແມ່ນການກຳນົດຈຸດກາງຂອງແຕ່ລະຄລາສ (\( x_i \) ) ແລະ ຫຼັງຈາກນັ້ນຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍ (\( \bar{x} \)).

1. ການຄິດໄລ່ຈຸດກາງ ( x_i \) )
\[ \text{ຈຸດກາງ} = \frac{\text{ຂີດຈຳກັດລຸ່ມ} + \text{ຂີດຈຳກັດເທິງ}}{2} \]

| ໄລຍະຫ່າງນ້ຳໜັກ (ກກ) | ຄວາມຖີ່ (f) | ຈຸດກາງ ( x_i \) ) |
|——————|————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |

2. ການຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍ ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N} \]

ຈຳນວນຂໍ້ມູນທັງໝົດ \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]

ຜົນລວມຂອງ f_i x_i = (2 x ຄູນ 52) + (5 x ຄູນ 57) + (8 x ຄູນ 62) + (7 x ຄູນ 67) + (3 x 72)
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]

ສະນັ້ນ, ຄ່າສະເລ່ຍ (x):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]

3. ການຄິດໄລ່ຄວາມແปรປ່ວນ (\( S^2 \) )
ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຄິດໄລ່ \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):

\[
\begin{ຈັດລຽນ}
(x_i – x)^2: ແລະ (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{ຈັດຮຽງ}
\]

ການຄູນດ້ວຍຄວາມຖີ່:
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
f_i (x_i – x)^2: ແລະ 2 ຄູນ 118.84 = 237.68 \\
ແລະ 5 ຄູນ 33.64 = 168.2
ແລະ 8 x 0.64 = 5.12
ແລະ 7 ຄູນ 17.64 = 123.48
ແລະ 3 ຄູນ 84.64 = 253.92
\end{ຈັດຮຽງ}
\]

\[
ຜົນລວມ f_i (x_i – x)^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]

ດຽວນີ້ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ຄວາມແปรປ່ວນ (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \ປະມານ 32.85 \]

4. ການຄິດໄລ່ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (\( S \))
ຄ່າຜັນມາດຕະຖານ ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = 32.85 } \ປະມານ 5.73 \]

ສະຫຼຸບ
ຈາກຕົວຢ່າງຂໍ້ມູນຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາມີ:
– ການຄິດໄລ່ນ້ຳໜັກຕົວໂດຍສະເລ່ຍ: 62.8 ກິໂລກຣາມ
- ການຄິດໄລ່ຄວາມແปรປ່ວນ: 32.85 kg²
- ການຄິດໄລ່ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ: 5.73 ກິໂລກຣາມ

ການຕີຄວາມໝາຍຂອງຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນວ່າຄ່າຜັນປ່ຽນສະເລ່ຍຂອງຂໍ້ມູນນ້ຳໜັກຈາກຄ່າສະເລ່ຍແມ່ນປະມານ 5.73 ກິໂລກຣາມ. ນີ້ຊີ້ບອກເຖິງການແຜ່ກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນທຽບກັບຄ່າສະເລ່ຍ, ເຊິ່ງສາມາດຊ່ວຍອະທິບາຍໄດ້ວ່າຂໍ້ມູນຂອງພວກເຮົາມີຄວາມແຕກຕ່າງກັນແນວໃດ.

ຄວາມເຂົ້າໃຈຢ່າງລະອຽດກ່ຽວກັບຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍ, ໂດຍສະເພາະສຳລັບຜູ້ທີ່ເຮັດວຽກໃນດ້ານສະຖິຕິ, ການຄົ້ນຄວ້າ, ແລະ ການທົດສອບ, ຍ້ອນວ່າພວກເຂົາພະຍາຍາມເຂົ້າໃຈຂໍ້ມູນໃນຮູບແບບຂອງກຸ່ມ ຫຼື ການແຈກຢາຍ. ການຮູ້ວິທີການຄິດໄລ່ ແລະ ຕີຄວາມໝາຍມາດຕະການສອງຢ່າງນີ້ສາມາດຊ່ວຍໃນການຕັດສິນໃຈທີ່ດີຂຶ້ນໂດຍອີງໃສ່ຂໍ້ມູນທີ່ມີຢູ່.