ຕົວຢ່າງຂອງຄຳຖາມສົນທະນາກ່ຽວກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພຶດຊະຄະນິດ
ອະນຸພັນໃນແຄລຄູລັສແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ໃຊ້ເພື່ອອະທິບາຍວ່າຟັງຊັນປ່ຽນແປງແນວໃດ, ຫຼື ຄວາມຊັນຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດໃດໜຶ່ງ. ອະນຸພັນມີປະໂຫຍດໃນຫຼາຍໆສາຂາເຊັ່ນ: ຟີຊິກ, ເສດຖະສາດ, ແລະ ວິສະວະກຳ ເພາະວ່າພວກມັນໃຫ້ຂໍ້ມູນກ່ຽວກັບອັດຕາການປ່ຽນແປງ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບຕົວຢ່າງຫຼາຍໆຢ່າງຂອງອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພຶດຊະຄະນິດ ແລະ ວິທີການແກ້ໄຂພວກມັນ.
ຕົວຢ່າງທີ 1: ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພະຫຸພົດ
ຄຳຖາມ: ເມື່ອໃຫ້ຟັງຊັນ \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). ໃຫ້ກຳນົດອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ!
ວິທີແກ້ໄຂ:
ໂດຍການໃຊ້ກົດພື້ນຖານຂອງອະນຸພັນສຳລັບຟັງຊັນພະຫຸພົດ, ຄື \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), ພວກເຮົາຈະຄິດໄລ່ອະນຸພັນຂອງແຕ່ລະພົດຂອງຟັງຊັນເທື່ອລະອັນ.
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 x^{3-1} – 5 x^{2-1} + 2 x^{1-1} – 0 \\
f'(x) = 9x^2 – 10x + 2.
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) ແມ່ນ \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
ຕົວຢ່າງທີ 2: ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນທີ່ມີເລກຊີ້ກຳລັງເສດສ່ວນ
ຄຳຖາມ: ກຳນົດອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
ວິທີແກ້ໄຂ:
ໂດຍການໃຊ້ກົດເກນດຽວກັນຂອງການອະນຸພັນ, ນັ້ນຄື \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) ແມ່ນ \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
ຕົວຢ່າງທີ 3: ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນເອັກໂປເນຊັນ ແລະ ຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ
ຄຳຖາມ: ກຳນົດອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
ວິທີແກ້ໄຂ:
ເພື່ອແກ້ໄຂອະນຸພັນນີ້, ພວກເຮົາຕ້ອງການກົດຜົນຄູນ, ເຊິ່ງລະບຸວ່າ \((uv)' = u'v + uv'\). ສົມມຸດວ່າ \( u(x) = e^x \) ແລະ \( v(x) = \sin(x) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ:
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
u'(x) &= e^x, & \text{ເພາະວ່າອະນຸພັນຂອງ } e^x \text{ ແມ່ນ } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{ ເພາະວ່າອະນຸພັນຂອງ} \sin(x) \text{ ແມ່ນ} \cos(x).
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ການນໍາໃຊ້ກົດລະບຽບທີ່ໄດ້ມາສໍາລັບຜະລິດຕະພັນ:
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \(h(x) = e^x \sin(x) \) ແມ່ນ \(h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
ຕົວຢ່າງທີ 4: ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນໂດຍໃຊ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້
ຄຳຖາມ: ກຳນົດອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
ວິທີແກ້ໄຂ:
ເພື່ອແກ້ໄຂອະນຸພັນນີ້, ພວກເຮົາຕ້ອງການກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້, ຄື \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). ສົມມຸດວ່າ \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) ແລະ \( f(u) = u^5 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ:
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{ສະນັ້ນ} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ການນໍາໃຊ້ກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້:
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 ω (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) ແມ່ນ \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
ຕົວຢ່າງທີ 5: ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນທີ່ມີເອກະລັກຕີໂກນມິຕິ
ຄຳຖາມ: ກຳນົດອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ m(x) = sin(x) \cdot cos(x) \).
ວິທີແກ້ໄຂ:
ພວກເຮົາຈະໃຊ້ກົດອະນຸພັນສຳລັບຜົນຄູນ. ສົມມຸດວ່າ \( u(x) = \sin(x) \) ແລະ \( v(x) = \cos(x) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ:
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
u'(x) &= cos(x), \\
v'(x) &= - \sin(x).
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ການນໍາໃຊ້ກົດລະບຽບທີ່ໄດ້ມາສໍາລັບຜະລິດຕະພັນ:
\[
\begin{ຈັດລຽນ}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{ຈັດຮຽງ}
\]
ການນໍາໃຊ້ເອກະລັກຕີໂກນມິຕິ \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = cos(2x).
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ m(x) = sin(x) = cos(x) = m'(x) = cos(2x)
ສະຫຼຸບ
ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພຶດຊະຄະນິດແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນແຄລຄູລັສທີ່ມີຄວາມສຳຄັນ ແລະ ເປັນປະໂຫຍດຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຕ່າງໆ. ກົດລະບຽບຕ່າງໆຂອງອະນຸພັນ, ເຊັ່ນ: ກົດລະບຽບອະນຸພັນພື້ນຖານ, ກົດລະບຽບຜົນຄູນ, ກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້, ແລະ ກົດລະບຽບສຳລັບອະນຸພັນຕີໂກນມິຕິ, ທັງໝົດນີ້ຊ່ວຍໃນການຄິດໄລ່ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ ແລະ ການຝຶກຝົນບັນຫາ, ພວກເຮົາສາມາດປັບປຸງຄວາມເຂົ້າໃຈ ແລະ ທັກສະຂອງພວກເຮົາໃນການເອົາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພຶດຊະຄະນິດ.
