ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຈຸດສູງສຸດຂອງມູນຄ່າຜົນຕອບແທນຕໍ່າສຸດ ແລະ ມູນຄ່າຜົນຕອບແທນສູງສຸດ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບຈຸດສູງສຸດ: ມູນຄ່າຜົນຕອບແທນຕໍ່າສຸດ ແລະ ມູນຄ່າຜົນຕອບແທນສູງສຸດ

ການກຳນົດຈຸດສຸດຂີດ, ຈຸດທີ່ຟັງຊັນບັນລຸຄ່າຕໍ່າສຸດ ຫຼື ສູງສຸດ, ແມ່ນແນວຄວາມຄິດຫຼັກໃນແຄລຄູລັສ ແລະ ການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະຄົ້ນຫາວິທີການຊອກຫາ ແລະ ວິເຄາະຈຸດສຸດຂີດຜ່ານບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຄ່າທີ່ສົ່ງຄືນຕໍ່າສຸດ ແລະ ສູງສຸດ.

ຄຳນິຍາມ ແລະ ທິດສະດີວິຊາ

ກ່ອນທີ່ຈະສົນທະນາກ່ຽວກັບບັນຫາຕົວຢ່າງ, ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ ແລະ ທິດສະດີບົດບາງຢ່າງ:

1. ຈຸດວິກິດ: ແມ່ນຄ່າຂອງ \( x \) ບ່ອນທີ່ອະນຸພັນຕົວທຳອິດ \( f'(x) \) ຂອງຟັງຊັນ \( f(x) \) ເປັນສູນ ຫຼື ບໍ່ມີຢູ່.
2. ຄ່າຕອບແທນສູງສຸດ: ແມ່ນຄ່າຂອງ \( f(x) \) ທີ່ໃຫຍ່ກວ່າຄ່າຂອງ \( f(x) \) ອ້ອມຮອບຈຸດນັ້ນ.
3. ຄ່າຕອບແທນຕໍ່າສຸດ: ຄ່າຂອງ \( f(x) \) ທີ່ນ້ອຍກວ່າຄ່າຂອງ \( f(x) \) ອ້ອມຮອບຈຸດນັ້ນ.
4. ທິດສະດີຂອງເຟີມາ: ຖ້າ \( f \) ມີຄ່າສຸດທິທ້ອງຖິ່ນຢູ່ທີ່ \( c \) ແລະອະນຸພັນ \( f'(c) \) ມີຢູ່, ແລ້ວ \( f'(c) = 0 \).

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1: ຟັງຊັນກຳລັງສອງ

ກ່ອນອື່ນໝົດ, ພວກເຮົາເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍຟັງຊັນກຳລັງສອງແບບງ່າຍໆ:

\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

ຂັ້ນຕອນ:

1. ຊອກຫາອະນຸພັນອັນດັບໜຶ່ງຂອງ \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. ຊອກຫາຈຸດວິກິດໂດຍການແກ້ໄຂ \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \ ໝາຍຄວາມວ່າ x = 1
\]

3. ກຳນົດຄ່າຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດວິກິດ:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. ໃຊ້ອະນຸພັນທີສອງເພື່ອກຳນົດລັກສະນະຂອງຈຸດ:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
ເນື່ອງຈາກວ່າ \( f”(1) > 0 \), ຈຸດ \( x = 1 \) ເປັນຈຸດຕໍ່າສຸດທ້ອງຖິ່ນ.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2: ຟັງຊັນພະຫຸພົດ

ບັດນີ້ລອງໃຊ້ຟັງຊັນພະຫຸພົດທີ່ສັບສົນກວ່າ:

\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

ຂັ້ນຕອນ:

1. ກຳນົດອະນຸພັນທຳອິດ \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. ຊອກຫາຈຸດວິກິດໂດຍການແກ້ໄຂ \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \ໝາຍຄວາມວ່າ 3x(x – 2) = 0 \ໝາຍຄວາມວ່າ x = 0 \text{ ຫຼື } x = 2
\]

3. ກຳນົດຄ່າຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດວິກິດ:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. ໃຊ້ອະນຸພັນທີສອງເພື່ອກຳນົດລັກສະນະຂອງຈຸດ:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{ຄ່າສູງສຸດຂອງທ້ອງຖິ່ນ})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{local minimum value})
\]

ດັ່ງນັ້ນ, \(g(x)\) ມີຄ່າສູງສຸດທ້ອງຖິ່ນທີ່ \(x = 0\) ແລະ ຄ່າຕໍ່າສຸດທ້ອງຖິ່ນທີ່ \(x = 2\).

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3: ຟັງຊັນທີ່ເກີນຂອບເຂດ

ລອງເບິ່ງຟັງຊັນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການຍົກກຳລັງ:

\[ h(x) = xe^{-x} \]

ຂັ້ນຕອນ:

1. ກຳນົດອະນຸພັນທຳອິດ \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1–x)e^{-x}
\]

2. ຊອກຫາຈຸດວິກິດໂດຍການແກ້ໄຂ \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \ໝາຍຄວາມວ່າ 1 – x = 0 \ໝາຍຄວາມວ່າ x = 1
\]

3. ກຳນົດຄ່າຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດວິກິດ:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. ໃຊ້ອະນຸພັນທີສອງເພື່ອກຳນົດລັກສະນະຂອງຈຸດ:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
ເນື່ອງຈາກ \( h”(1) < 0 \), ຈຸດ \( x = 1 \) ເປັນຄ່າສູງສຸດທ້ອງຖິ່ນ. ຕົວຢ່າງບັນຫາທີ 4: ຟັງຊັນສົມຜົນ ສຸດທ້າຍ, ພວກເຮົາປະເມີນຟັງຊັນສົມຜົນ: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]

ຂັ້ນຕອນ: 1. ຊອກຫາອະນຸພັນທຳອິດໂດຍໃຊ້ກົດຜົນຫານ: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. ຊອກຫາຈຸດວິກິດໂດຍການແກ້ໄຂ \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. ຊອກຫາຄ່າຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດວິກິດ: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} - 1} \ຄູນ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \ຄູນ \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. ໃຊ້ອະນຸພັນທີສອງເພື່ອກວດສອບລັກສະນະຂອງຈຸດ: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] ການຄິດໄລ່ເພີ່ມເຕີມສາມາດເຮັດໄດ້ໂດຍການແຍກຄວາມແຕກຕ່າງຂອງ \( k'(x) \) ເຊິ່ງຈະສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ \( x = \sqrt{2} \) ແລະ \( x = -\sqrt{2} \) ແມ່ນຄ່າສູງສຸດທ້ອງຖິ່ນ ຫຼື ຄ່າຕໍ່າສຸດ. ສະຫຼຸບ ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາໄດ້ສົນທະນາກ່ຽວກັບຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງທີ່ສະແດງວິທີການຊອກຫາຈຸດສູງສຸດ, ນັ້ນຄືຄ່າປີ້ນກັບຕໍ່າສຸດ ແລະ ສູງສຸດ, ຂອງຟັງຊັນປະເພດຕ່າງໆ. ເຕັກນິກທີ່ໃຊ້ລວມມີການຊອກຫາອະນຸພັນທີໜຶ່ງເພື່ອຊອກຫາຈຸດວິກິດ, ການໃຊ້ອະນຸພັນທີສອງເພື່ອກຳນົດລັກສະນະຂອງຈຸດ, ແລະ ການປະເມີນຟັງຊັນຢູ່ຈຸດເຫຼົ່ານັ້ນ. ສິ່ງນີ້ໃຫ້ພື້ນຖານທີ່ແຂງແກ່ນສຳລັບການເຈາະເລິກເຂົ້າໄປໃນການວິເຄາະຟັງຊັນໃນແຄລຄູລັສ.