ຕົວຢ່າງຂອງຄຳຖາມສົນທະນາກ່ຽວກັບການໝູນວຽນທາງຄະນິດສາດ

ຕົວຢ່າງບັນຫາທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບການໝູນວຽນທາງຄະນິດສາດ

Pendahuluan

ການໝູນແມ່ນການຫັນປ່ຽນທາງເລຂາຄະນິດທີ່ມັກພົບໃນຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະແມ່ນເລຂາຄະນິດ. ການໝູນກ່ຽວຂ້ອງກັບການໝູນວັດຖຸອ້ອມຈຸດສະເພາະ (ຈຸດໃຈກາງຂອງການໝູນ) ຜ່ານມຸມສະເພາະໃນທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ ຫຼື ທວນເຂັມໂມງ. ແນວຄວາມຄິດຂອງການໝູນແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນຂົງເຂດຕ່າງໆເຊັ່ນ: ກຣາບຟິກຄອມພິວເຕີ, ຟີຊິກ, ແລະ ວິສະວະກຳ. ບົດຄວາມນີ້ຈະສຳຫຼວດຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຕ່າງໆກ່ຽວກັບການໝູນໃນຄະນິດສາດ.

ເຂົ້າໃຈການຫມຸນວຽນ

ການໝຸນແມ່ນການຫັນປ່ຽນທີ່ເຄື່ອນຍ້າຍທຸກຈຸດຂອງວັດຖຸໂດຍການໝຸນມັນອ້ອມຈຸດຄົງທີ່, ເອີ້ນວ່າຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນ, ດ້ວຍມຸມທີ່ແນ່ນອນໃນທິດທາງທີ່ແນ່ນອນ. ສັນຍະລັກທົ່ວໄປສຳລັບການໝຸນທີ່ມີມຸມ θ ແລະຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນ (a, b) ສາມາດຂຽນເປັນ R_(a, b)(θ).

ສຳລັບຈຸດ P(x, y) ທີ່ໝຸນດ້ວຍ θ ອົງສາ ໂດຍມີຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ (0, 0), ພິກັດໃໝ່ຂອງ P'(x', y') ຫຼັງຈາກການໝຸນຈະໄດ້ຮັບໂດຍໃຊ້ສູດ:
– x' = x cos θ – y sin θ
- y' = x sin θ + y cos θ

ຂໍໃຫ້ສືບຕໍ່ດ້ວຍຕົວຢ່າງບາງຢ່າງຂອງບັນຫາການໝູນວຽນທີ່ສົມບູນດ້ວຍການສົນທະນາຂອງພວກມັນ.

Contoh Soal ແລະ Pembahasan

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1
ຄຳຖາມ: ກຳນົດພິກັດໃໝ່ຂອງຈຸດ A(3, 4) ຫຼັງຈາກໝຸນມັນ 90 ອົງສາທວນເຂັມໂມງ ໂດຍມີຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ (0, 0).

ການສົນທະນາ: ການໃຊ້ສູດການໝູນທີ່ມີມຸມ 90 ອົງສາທວນເຂັມໂມງ:

– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = −4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3

ດັ່ງນັ້ນ, ພິກັດໃໝ່ຂອງ A' ຫຼັງຈາກການໝຸນແມ່ນ (-4, 3).

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2
ຄຳຖາມ: ຈຸດ B(2, -1) ຖືກໝຸນ 180 ອົງສາໃນທິດທາງຕາມເຂັມໂມງໂດຍມີຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ (0, 0). ກຳນົດພິກັດໃໝ່ຂອງຈຸດ B ຫຼັງຈາກການໝຸນ.

ການສົນທະນາ: ການໝຸນ 180 ອົງສາຕາມເຂັມໂມງ ຫຼື ທວນເຂັມໂມງໃຫ້ຜົນໄດ້ຮັບດຽວກັນ, ນັ້ນຄືພິກັດຂອງຈຸດປ່ຽນເປັນ (-x, -y).

– x' = -x = -2
– y' = -y = 1

ດັ່ງນັ້ນ, ພິກັດໃໝ່ຂອງ B' ແມ່ນ (-2, 1).

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3
ຄຳຖາມ: ຈຸດ C(-3, 5) ຖືກໝຸນທວນເຂັມໂມງ 270 ອົງສາ ໂດຍມີຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ (0, 0). ຈົ່ງກຳນົດຈຸດ C ຫຼັງຈາກການໝຸນ.

ການສົນທະນາ: ການໝູນທວນເຂັມໂມງ 270 ອົງສາເທົ່າກັບການໝູນຕາມເຂັມໂມງ 90 ອົງສາ.

– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = −3(0) + 5(1) = 5
– y' = −x sin(90°) + y cos(90°) = -(−3)(1) + 5(0) = 3

ດັ່ງນັ້ນ, ພິກັດໃໝ່ຂອງ C' ຫຼັງຈາກການໝູນວຽນແມ່ນ (5, -3).

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 4
ຄຳຖາມ: ກຳນົດພິກັດໃໝ່ຂອງຈຸດ D(5, 5) ຫຼັງຈາກໝຸນມັນ 45 ອົງສາ ໂດຍມີຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ (0, 0).

ການສົນທະນາ: ການໃຊ້ສູດການໝູນທີ່ມີມຸມ 45 ອົງສາ:

– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2.

ດັ່ງນັ້ນ, ພິກັດໃໝ່ຂອງ D' ຫຼັງຈາກການໝຸນແມ່ນ (0, 5√2).

ການໝຸນດ້ວຍຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນບໍ່ໄດ້ຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ

ການໝຸນບໍ່ໄດ້ຖືກປະຕິບັດກ່ຽວກັບຈຸດເລີ່ມຕົ້ນສະເໝີໄປ. ຕົວຢ່າງ, ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາຕ້ອງການໝຸນຈຸດທີ່ມີຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນ (h, k). ເພື່ອເຮັດສິ່ງນີ້, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງປັບພິກັດດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

1. ແປຈຸດເພື່ອໃຫ້ (h, k) ກາຍເປັນຕົ້ນກຳເນີດ.
2. ໃຊ້ສູດໝູນວຽນ.
3. ແປກັບຄືນໄປຫາຕຳແໜ່ງເດີມ.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 5
ຄຳຖາມ: ຈຸດ E(5, 7) ຖືກໝຸນ 90 ອົງສາທວນເຂັມໂມງ ໂດຍມີຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນຢູ່ທີ່ຈຸດ (2, 3). ກຳນົດພິກັດໃໝ່ຂອງຈຸດ E ຫຼັງຈາກການໝຸນ.

ເປບບາຮາຊານ:

1. ແປຈຸດ E ໄປຫາຈຸດເລີ່ມຕົ້ນທຽບກັບຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນ (2, 3):
– ຈຸດໃໝ່ E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)

2. ໝຸນ 90 ອົງສາທວນເຂັມໂມງອ້ອມຮອບຈຸດໃໝ່:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = −4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3

ດັ່ງນັ້ນ, ພິກັດຫຼັງຈາກການໝຸນແມ່ນ (-4, 3).

3. ການແປກັບຄືນໄປຫາຕຳແໜ່ງເດີມທຽບກັບຈຸດໃຈກາງຂອງການໝຸນ (2, 3):
– ຈຸດສິ້ນສຸດ E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)

ດັ່ງນັ້ນ, ພິກັດໃໝ່ຂອງຈຸດ E ຫຼັງຈາກການໝຸນແມ່ນ (-2, 6).

ສະຫຼຸບ

ການວິເຄາະ ແລະ ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບການໝູນວຽນທາງຄະນິດສາດແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຕ່າງໆ. ຜ່ານຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຂ້າງເທິງ, ຜູ້ອ່ານຄາດວ່າຈະເຂົ້າໃຈວ່າສູດການໝູນວຽນເຮັດວຽກແນວໃດ ແລະ ວິທີທີ່ພວກມັນສາມາດນຳໃຊ້ກັບສະຖານະການຕ່າງໆ. ບົດຝຶກຫັດນີ້ບໍ່ພຽງແຕ່ເສີມສ້າງຄະນິດສາດພື້ນຖານເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງເປັນປະໂຫຍດໃນຂົງເຂດອື່ນໆທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການຫັນປ່ຽນທາງເລຂາຄະນິດ.