ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຕົວຜັນ, ໂມດູນ, ແລະ ອາກິວເມັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ ແລະ ຄຸນສົມບັດຂອງມັນ
ຕົວເລກຊັບຊ້ອນແມ່ນສ່ວນສຳຄັນຂອງຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະໃນຂົງເຂດການວິເຄາະຕົວເລກຊັບຊ້ອນ. ຕົວເລກຊັບຊ້ອນປະກອບດ້ວຍສ່ວນຕົວຈິງ ແລະ ສ່ວນຈິນຕະພາບ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວສະແດງອອກໃນຮູບແບບ \(z = a + bi\), ບ່ອນທີ່ \(a\) ແລະ \(b\) ແມ່ນຕົວເລກຈິງ ແລະ \(i\) ແມ່ນຫົວໜ່ວຍຈິນຕະພາບທີ່ຕອບສະໜອງ \(i^2 = -1\). ເພື່ອເຂົ້າໃຈຕົວເລກຊັບຊ້ອນໃຫ້ເລິກເຊິ່ງກວ່ານີ້, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຮູ້ແນວຄວາມຄິດຂອງ conjugate, modulus, ແລະ argument ຂອງຕົວເລກຊັບຊ້ອນ ແລະ ຄຸນສົມບັດຂອງມັນ.
ການຜັນຕົວຂອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ
ຕົວຜັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( z = a + bi \) ແມ່ນ \( \overline{z} = a – bi \). ຕົວຜັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນປ່ຽນເຄື່ອງໝາຍຂອງສ່ວນຈິນຕະພາບໂດຍບໍ່ປ່ຽນເຄື່ອງໝາຍຂອງສ່ວນຕົວຈິງ.
ຄຸນສົມບັດຂອງຕົວປະສົມ
1. \( \overline{\overline{z}} = z \)
- ຕົວຜັນຂອງຕົວຜັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນແມ່ນຈຳນວນຊັບຊ້ອນນັ້ນເອງ.
2. \( \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \)
- ຄ່າຜັນຂອງຜົນບວກຂອງສອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນແມ່ນຜົນບວກຂອງຄ່າຜັນຂອງແຕ່ລະຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ.
3. \( \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \)
- ຜົນຄູນຂອງຜົນຄູນຂອງສອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນແມ່ນຜົນຄູນຂອງຜົນຄູນຂອງແຕ່ລະຈຳນວນຊັບຊ້ອນ.
4. \( \overline{\left( \dfrac{z}{w} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \)
- ຕົວຜັນຂອງການຫານຂອງສອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນແມ່ນການຫານຂອງຕົວຜັນຂອງພວກມັນ.
ໂມດູນຈຳນວນຊັບຊ້ອນ
ໂມດູລັດຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \(z = a + bi \) ແມ່ນຄວາມຍາວ ຫຼື ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງ \(z \) ໃນລະນາບຊັບຊ້ອນ. ໂມດູລັດຖືກສະແດງໂດຍ \( |z| \) ແລະ ຖືກຄິດໄລ່ໂດຍສູດ
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
ຄຸນສົມບັດຂອງໂມດູລັດ
1. \( |z| \geq 0 \)
- ໂມດູນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນບໍ່ເປັນລົບສະເໝີ.
2. \( |z| = 0 \iff z = 0 \)
- ໂມດູນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນແມ່ນສູນກໍ່ຕໍ່ເມື່ອຈຳນວນຊັບຊ້ອນເປັນສູນເທົ່ານັ້ນ.
3. \( |z \cdot w| = |z| \cdot |w| \)
- ໂມດູລັດຂອງຜົນຄູນຂອງສອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນແມ່ນຜົນຄູນຂອງໂມດູລັດຂອງແຕ່ລະຈຳນວນຊັບຊ້ອນ.
4. \(\left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|z|}{|w|} \), \(w \neq 0 \)
- ໂມດູນຂອງການຫານຂອງສອງຈຳນວນທີ່ຊັບຊ້ອນແມ່ນການຫານຂອງໂມດູນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ.
5. \( |z + w| \leq |z| + |w| \)
- ຄວາມບໍ່ສະເໝີພາບສາມຫຼ່ຽມສຳລັບໂມດູນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ.
ອາກິວເມັນຈຳນວນຊັບຊ້ອນ
ອາກິວເມັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \(z = a + bi \) ແມ່ນມຸມທີ່ເວັກເຕີທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງ \(z \) ສ້າງຂຶ້ນກັບແກນຈິງທີ່ເປັນບວກໃນລະນາບຊັບຊ້ອນ. ອາກິວເມັນຖືກສະແດງໂດຍ \(\arg(z) \) ແລະ ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວຈະສະແດງເປັນເຣດຽນ.
ຄຸນສົມບັດຂອງການໂຕ້ຖຽງ
1. \( \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \)
- ອາກິວເມັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນທີ່ຍົກຂຶ້ນເປັນກຳລັງແມ່ນຜົນມາຈາກການຄູນກຳລັງດ້ວຍອາກິວເມັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ.
2. \( \arg\left(\dfrac{z}{w}\right) = \arg(z) – \arg(w) \)
- ອາກິວເມັນຂອງການຫານຂອງສອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນແມ່ນຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງອາກິວເມັນຂອງຕົວເສດ ແລະ ຕົວສ່ວນ.
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ບັນຫາທີ 1: ຕົວຜັນຂອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ
ຊອກຫາຕົວຜັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( z = 3 + 4i \).
ເປບບາຮາຊານ:
ຕົວເຊື່ອມຂອງ \(z\) ແມ່ນ \(\overline{z} = 3 – 4i\).
ຄຳຖາມທີ 2: ໂມດູນຂອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ
ຄິດໄລ່ໂມດູລັດຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( z = 1 – i \).
ເປບບາຮາຊານ:
\[ |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
ຄຳຖາມທີ 3: ອາກິວເມັນຈຳນວນຊັບຊ້ອນ
ກຳນົດອາກິວເມັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( z = -1 + \sqrt{3}i \).
ເປບບາຮາຊານ:
ເພື່ອຊອກຫາອາກິວເມັນ, ພວກເຮົາຕ້ອງຊອກຫາມຸມທີ່ສ້າງຂຶ້ນໂດຍ \(z\) ໃນລະນາບຊັບຊ້ອນ.
ຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( -1 + \sqrt{3}i \) ແມ່ນຢູ່ໃນ quadrant II.
\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{-1}\right) + \pi = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \pi \]
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ \( \tan(\dfrac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\), ສະນັ້ນ
\[ \arg(z) = \dfrac{2\pi}{3} \]
ຄຳຖາມທີ 4: ການຄູນຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ
ກຳນົດຜົນຄູນ \( z_1 = 2 + 3i \) ແລະ \( z_2 = 1 – i \), ແລະ ຄິດໄລ່ໂມດູລັດຂອງຜົນຄູນ.
ເປບບາຮາຊານ:
\[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 – i) = 2 + 2i – 3i – 3i^2 = 2 – i + 3 = 5 – i \]
ໂມດູນຂອງ \( z_1 \cdot z_2 \):
\[ |5 – i| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
ສະຫຼຸບ
ຕົວເລກຊັບຊ້ອນແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນຄະນິດສາດ ແລະ ວິສະວະກຳ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບຕົວຄູນ, ໂມດູລັດ ແລະ ອາກິວເມັນ, ພວກເຮົາສາມາດເຂົ້າໃຈ ແລະ ຈັດການຕົວເລກຊັບຊ້ອນໄດ້ດີຂຶ້ນຢ່າງມີປະສິດທິພາບຫຼາຍຂຶ້ນ. ຄຸນສົມບັດຂອງຕົວຄູນ, ໂມດູລັດ ແລະ ອາກິວເມັນ ໃຫ້ເຄື່ອງມືທີ່ມີປະສິດທິພາບສຳລັບການວິເຄາະຕື່ມອີກ ແລະ ການນຳໃຊ້ທີ່ກວ້າງຂວາງໃນສາຂາຕ່າງໆຂອງວິທະຍາສາດ. ຜ່ານຕົວຢ່າງທີ່ນຳສະເໜີ, ຫວັງວ່າຜູ້ອ່ານຈະມີຄວາມເຂົ້າໃຈ ແລະ ຄວາມຊຳນານໃນການນຳໃຊ້ຕົວເລກຊັບຊ້ອນໃນສະພາບການຕ່າງໆ.
