ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບອົງປະກອບຂອງໜ້າທີ່
ການປະກອບຟັງຊັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດໃນຄະນິດສາດທີ່ສອງຟັງຊັນຖືກລວມເຂົ້າກັນເປັນໜຶ່ງດຽວ. ຖ້າ \( f \) ແລະ \( g \) ເປັນສອງຟັງຊັນ, ຫຼັງຈາກນັ້ນການປະກອບຂອງ \( f \) ແລະ \( g \) ແມ່ນຟັງຊັນໃໝ່ທີ່ຖືກກຳນົດເປັນ \( (f \circ g)(x) \) ຊຶ່ງໝາຍຄວາມວ່າ \( f(g(x)) \). ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງ ແລະ ວິທີການແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການປະກອບຟັງຊັນ.
1. ຄວາມເຂົ້າໃຈພື້ນຖານກ່ຽວກັບອົງປະກອບທີ່ເຮັດໜ້າທີ່
ກ່ອນທີ່ພວກເຮົາຈະເຂົ້າໄປໃນຄຳຖາມຕົວຢ່າງ, ຂໍໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈໂດຍຫຍໍ້ວ່າອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນແມ່ນຫຍັງ.
ສົມມຸດວ່າມີສອງຟັງຊັນ \( f \) ແລະ \( g \):
- ຟັງຊັນ \( f \) : \( x \mapsto f(x) \)
- ຟັງຊັນ \( g \) : \( x \mapsto g(x) \)
ສ່ວນປະກອບຂອງ \( f \) ແລະ \( g \), ຂຽນເປັນ \( f \circ g \), ເປັນຟັງຊັນທີ່ຕອບສະໜອງ:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
ໃນທີ່ນີ້, \( g(x) \) ແມ່ນຄ່າທີ່ປ້ອນເຂົ້າໃນຟັງຊັນ \( f \).
2. ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1
ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ຟັງຊັນ \( f(x) = 2x + 3 \) ແລະ ຟັງຊັນ \( g(x) = x – 5 \). ກຳນົດ \( (f \circ g)(x) \) ແລະ \( (g \circ f)(x) \).
ເປບບາຮາຊານ:
ໃຫ້ຄິດໄລ່ສ່ວນປະກອບທຳອິດ \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
ຂັ້ນຕອນທຳອິດ, ໃຫ້ໃສ່ \( g(x) \) ເຂົ້າໄປໃນ \( f(x) \):
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]
ຂັ້ນຕອນທີສອງ, ພວກເຮົາໃສ່ \( x – 5 \) ເຂົ້າໃນຟັງຊັນ \( f \):
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
ສະນັ້ນ, \( (f \circ g)(x) = 2x – 7 \).
ບັດນີ້, ໃຫ້ຄິດໄລ່ສ່ວນປະກອບທີສອງ \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
ຂັ້ນຕອນທຳອິດ, ໃຫ້ໃສ່ \( f(x) \) ເຂົ້າໄປໃນ \( g(x) \):
\[ f(x) = 2x + 3 \]
g(f(x)) = g(2x + 3) \]
ຂັ້ນຕອນທີສອງ, ພວກເຮົາໃສ່ \( 2x + 3 \) ເຂົ້າໃນຟັງຊັນ \( g \):
g(2x + 3) = (2x + 3) – 5
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
ສະນັ້ນ, \( (g \circ f)(x) = 2x – 2\).
3. ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2: ອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນທີ່ມີຟັງຊັນກຳລັງສອງ
ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ຟັງຊັນ \( f(x) = x^2 + 1 \) ແລະ ຟັງຊັນ \( g(x) = 3x – 4 \). ກຳນົດ \( (f \circ g)(x) \) ແລະ \( (g \circ f)(x) \).
ເປບບາຮາຊານ:
ໃຫ້ຄິດໄລ່ສ່ວນປະກອບທຳອິດ \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
ຂັ້ນຕອນທຳອິດ, ໃຫ້ໃສ່ \( g(x) \) ເຂົ້າໄປໃນ \( f(x) \):
\[ ກຣາມ(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]
ຂັ້ນຕອນທີສອງ, ພວກເຮົາໃສ່ \( 3x – 4 \) ເຂົ້າໃນຟັງຊັນ \( f \):
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x ² + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
ດັ່ງນັ້ນ, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
ບັດນີ້, ໃຫ້ຄິດໄລ່ສ່ວນປະກອບທີສອງ \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
ຂັ້ນຕອນທຳອິດ, ໃຫ້ໃສ່ \( f(x) \) ເຂົ້າໄປໃນ \( g(x) \):
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]
ຂັ້ນຕອນທີສອງ, ພວກເຮົາໃສ່ \( x^2 + 1 \) ເຂົ້າໃນຟັງຊັນ \( g \):
\[ g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
ສະນັ້ນ, \( (g \circ f)(x) = 3x^2 – 1 \).
4. ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3: ອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ
ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ຟັງຊັນ \( f(x) = \sin x \) ແລະຟັງຊັນ \( g(x) = x^2 \). ກຳນົດ \( (f \circ g)(x) \) ແລະ \( (g \circ f)(x) \).
ເປບບາຮາຊານ:
ໃຫ້ຄິດໄລ່ສ່ວນປະກອບທຳອິດ \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
ຂັ້ນຕອນທຳອິດ, ໃຫ້ໃສ່ \( g(x) \) ເຂົ້າໄປໃນ \( f(x) \):
\[ ກຣາມ(x) = x^2 \]
\[ f(g(x)) = f(x^2) \]
ຂັ້ນຕອນທີສອງ, ພວກເຮົາໃສ່ \( x^2 \) ເຂົ້າໃນຟັງຊັນ \( f \):
\[ f(x^2) = \sin (x^2) \]
ສະນັ້ນ, \( (f \circ g)(x) = \sin (x^2) \).
ບັດນີ້, ໃຫ້ຄິດໄລ່ສ່ວນປະກອບທີສອງ \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
ຂັ້ນຕອນທຳອິດ, ໃຫ້ໃສ່ \( f(x) \) ເຂົ້າໄປໃນ \( g(x) \):
\[ f(x) = \sin x \]
g(f(x)) = g(\sin x) \]
ຂັ້ນຕອນທີສອງ, ພວກເຮົາໃສ່ \( \sin x \) ເຂົ້າໃນຟັງຊັນ \( g \):
\[ g(\sin x) = (\sin x)^2 \]
\[ = \sin ^2 x \]
ສະນັ້ນ, \( (g \circ f)(x) = \sin^2 x \).
ສະຫຼຸບ
ການປະກອບຟັງຊັນແມ່ນວິທີການລວມສອງຟັງຊັນເຂົ້າກັນເປັນຟັງຊັນດຽວ. ຜ່ານຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາໄດ້ຮຽນຮູ້ວ່າຂະບວນການປະກອບຟັງຊັນກ່ຽວຂ້ອງກັບການທົດແທນຟັງຊັນໜຶ່ງດ້ວຍອີກຟັງຊັນໜຶ່ງ. ຜົນສຸດທ້າຍຂອງການປະກອບຟັງຊັນແມ່ນຂຶ້ນກັບລຳດັບທີ່ຟັງຊັນຕ່າງໆຖືກນຳໃຊ້ກ່ອນ.
ມັນເປັນສິ່ງສຳຄັນທີ່ຕ້ອງເຂົ້າໃຈວ່າ \( (f \circ g)(x) \) ບໍ່ຄືກັນກັບ \( (g \circ f)(x) \) ສະເໝີໄປ, ແລະຄວາມແຕກຕ່າງນີ້ສາມາດມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຄະນິດສາດ ແລະ ວິທະຍາສາດຕ່າງໆ. ດັ່ງນັ້ນ, ການເຂົ້າໃຈພື້ນຖານ ແລະ ວິທີການຄິດໄລ່ອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍສຳລັບທຸກຄົນທີ່ສຶກສາຄະນິດສາດໃນລະດັບປານກາງ ຫຼື ລະດັບສູງ.
ຫວັງວ່າການສົນທະນາ ແລະ ຕົວຢ່າງຄຳຖາມຂ້າງເທິງນີ້ຈະເປັນປະໂຫຍດ ແລະ ຊ່ວຍໃຫ້ຜູ້ອ່ານເຂົ້າໃຈອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນຕ່າງໆ.
