ຕົວຢ່າງຄຳຖາມກ່ຽວກັບການສົນທະນາກ່ຽວກັບການປະສົມປະສານ
ຄະນິດສາດປະສົມປະສານ (Combinatorics) ແມ່ນສາຂາໜຶ່ງຂອງຄະນິດສາດທີ່ສຶກສາການນັບ, ການຈັດລຽງ, ແລະໂຄງສ້າງທີ່ເປັນໄປໄດ້ຂອງຊຸດຂອງອົງປະກອບຕ່າງໆ. ຄະນິດສາດປະສົມປະສານມີການນຳໃຊ້ທີ່ສຳຄັນໃນຫຼາຍຂົງເຂດ, ລວມທັງວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ, ສະຖິຕິ, ຊີວະສາດ, ແລະເສດຖະສາດ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືຕົວຢ່າງຫຼາຍໆຢ່າງ ແລະການສົນທະນາຂອງພວກມັນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຄະນິດສາດປະສົມປະສານ, ເຊິ່ງຫວັງວ່າຈະໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ດີຂຶ້ນກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ ແລະການນຳໃຊ້ຂອງຄະນິດສາດປະສົມປະສານ.
ຄຳຖາມທີ 1: ການຫັນປ່ຽນ
ຄຳຖາມ:
ມີວິທີໃດແດ່ທີ່ຈະຈັດປຶ້ມ 5 ຫົວທີ່ແຕກຕ່າງກັນໄວ້ເທິງຊັ້ນວາງ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການປ່ຽນຮູບແມ່ນການຈັດລຽງວັດຖຸຕ່າງໆໃຫ້ເປັນລະບຽບ. ເມື່ອລະບຽບມີຄວາມສຳຄັນ, ພວກເຮົາໃຊ້ການປ່ຽນຮູບ. ໃນສະພາບການຂອງບັນຫານີ້, ພວກເຮົາມີປຶ້ມຫ້າຫົວທີ່ແຕກຕ່າງກັນເພື່ອຈັດລຽງ. ຈຳນວນວິທີໃນການຈັດລຽງປຶ້ມຫ້າຫົວນີ້ແມ່ນ:
\[ 5! = 5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1 = 120 \]
ດັ່ງນັ້ນ, ມີ 120 ວິທີໃນການຈັດແຈງປຶ້ມ 5 ຫົວທີ່ແຕກຕ່າງກັນຢູ່ເທິງຊັ້ນວາງ.
ຄຳຖາມທີ 2: ການລວມກັນ
ຄຳຖາມ:
ຈາກ 10 ຄົນ, ມີຈັກວິທີທີ່ຈະສ້າງທີມທີ່ມີ 4 ຄົນ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການລວມຕົວແມ່ນການເລືອກວັດຖຸທີ່ລຳດັບບໍ່ສຳຄັນ. ສູດສຳລັບການລວມຕົວແມ່ນ:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
ໃນສະພາບການຂອງບັນຫານີ້, \( n = 10 \) ແລະ \( k = 4 \). ດັ່ງນັ້ນ,
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \times (10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \]
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ \( 10! = 10 \ຄູນ 9 \ຄູນ 8 \ຄູນ 7 \ຄູນ 6! \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \ຄູນ 9 \ຄູນ 8 \ຄູນ 7 \ຄູນ 6!}{4! \ຄູນ 6!} = \frac{10 \ຄູນ 9 \ຄູນ 8 \ຄູນ 7}{4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = 210 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 210 ວິທີໃນການສ້າງທີມງານທີ່ມີ 4 ຄົນໃນ 10 ຄົນ.
ຄຳຖາມທີ 3: ການປ່ຽນຮູບແບບດ້ວຍການເຮັດຊ້ຳ
ຄຳຖາມ:
ມີຈັກວິທີໃນການຈັດລຽງຄຳວ່າ "LEVEL"?
ເປບບາຮາຊານ:
ຄຳວ່າ "LEVEL" ປະກອບດ້ວຍຕົວອັກສອນ 5 ຕົວ, ເຊິ່ງບາງຕົວກໍ່ຊ້ຳກັນ (L ສອງເທື່ອ ແລະ E ສອງເທື່ອ). ສູດການປ່ຽນຕົວອັກສອນທີ່ມີການຊ້ຳກັນແມ່ນ:
\[ \frac{n!}{n_1! \ຄູນ n_2! \ຄູນ \ldots \ຄູນ n_k!} \]
ໃນສະພາບການຂອງບັນຫານີ້, \( n = 5 \), \( n_1 = 2 \) ສຳລັບຕົວອັກສອນ L, ແລະ \( n_2 = 2 \) ສຳລັບຕົວອັກສອນ E. ດັ່ງນັ້ນ,
\[ \frac{5!}{2! \ຄູນ 2!} = \frac{5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1}{2 \ຄູນ 1 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = \frac{120}{4} = 30 \]
ດັ່ງນັ້ນ, ມີ 30 ວິທີໃນການຈັດລຽງຄຳວ່າ "ລະດັບ".
ຄຳຖາມທີ 4: ການປະສົມປະສານກັບການເຮັດຊ້ຳ
ຄຳຖາມ:
ມີຈັກວິທີໃນການເລືອກເຂົ້າໜົມ 3 ຊະນິດຈາກເຂົ້າໜົມ 5 ຊະນິດທີ່ແຕກຕ່າງກັນໂດຍອະນຸຍາດໃຫ້ເຮັດຊ້ຳກັນໄດ້?
ເປບບາຮາຊານ:
ການປະສົມປະສານກັບການເຮັດຊ້ຳໂດຍໃຊ້ສູດຕໍ່ໄປນີ້:
\[ \binom{n+r-1}{r} \]
ໃນສະພາບການຂອງບັນຫານີ້, \( n = 5 \) (ປະເພດຂອງເຂົ້າໜົມ) ແລະ \( r = 3 \) (ຈຳນວນເຂົ້າໜົມທີ່ເລືອກ). ດັ່ງນັ້ນ,
\[ \binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \ຄູນ 4!} \]
ໂດຍຮູ້ \(7! = 7 \ຄູນ 6 \ຄູນ 5 \ຄູນ 4! \), ແລ້ວ
\[ \binom{7}{3} = \frac{7 \ຄູນ 6 \ຄູນ 5 \ຄູນ 4!}{3! \ຄູນ 4!} = \frac{7 \ຄູນ 6 \ຄູນ 5}{3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = 35 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 35 ວິທີໃນການເລືອກເຂົ້າໜົມ 3 ຊະນິດຈາກເຂົ້າໜົມ 5 ຊະນິດທີ່ແຕກຕ່າງກັນ ໂດຍອະນຸຍາດໃຫ້ເຮັດຊ້ຳໄດ້.
ຄຳຖາມທີ 5: ຫຼັກການຂອງການບວກ
ຄຳຖາມ:
ມີຈັກວິທີໃນການເລືອກໝາກໄມ້ໜຶ່ງໜ່ວຍຈາກກະຕ່າທີ່ມີໝາກໂປມ 3 ໜ່ວຍ, ໝາກກ້ຽງ 2 ໜ່ວຍ ແລະ ໝາກກ້ວຍ 5 ໜ່ວຍ?
ເປບບາຮາຊານ:
ຫຼັກການຂອງການບວກລະບຸວ່າ ຖ້າມີຫຼາຍວິທີໃນການປະຕິບັດການກະທຳ, ຈຳນວນວິທີທັງໝົດແມ່ນຜົນລວມຂອງວິທີທັງໝົດເຫຼົ່ານັ້ນ. ໃນສະພາບການຂອງບັນຫານີ້,
– ມີ 3 ວິທີໃນການເລືອກໝາກໂປມ 1 ໜ່ວຍ.
– ມີ 2 ວິທີໃນການເລືອກໝາກກ້ຽງ 1 ໜ່ວຍ.
– ມີ 5 ວິທີໃນການເລືອກກ້ວຍ 1 ໜ່ວຍ.
ຈຳນວນວິທີທັງໝົດ:
\[ 3 + 2 + 5 = 10 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 10 ວິທີໃນການເລືອກໝາກໄມ້ໜຶ່ງໜ່ວຍຈາກກະຕ່າ.
ຄຳຖາມທີ 6: ຫຼັກການຄູນ
ຄຳຖາມ:
ມີຈັກວິທີໃນການເລືອກເສື້ອໜຶ່ງໂຕຈາກ 4 ທາງເລືອກ ແລະ ກາງເກງໜຶ່ງໂຕຈາກ 3 ທາງເລືອກ?
ເປບບາຮາຊານ:
ຫຼັກການຄູນລະບຸວ່າ ຖ້າມີຫຼາຍວິທີໃນການປະຕິບັດການກະທຳທຳອິດ ແລະ ຫຼາຍວິທີໃນການປະຕິບັດການກະທຳທີສອງ, ຈຳນວນວິທີທັງໝົດໃນການປະຕິບັດການກະທຳທັງສອງແມ່ນຜົນຄູນຂອງວິທີການໃນການປະຕິບັດການກະທຳແຕ່ລະຢ່າງ.
ໃນສະພາບການຂອງຄຳຖາມນີ້,
– ມີ 4 ວິທີໃນການເລືອກເສື້ອ 1 ໂຕ.
– ມີ 3 ວິທີໃນການເລືອກກາງເກງ 1 ໂຕ.
ຈຳນວນວິທີທັງໝົດ:
\[ 4 ຄູນ 3 = 12 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 12 ວິທີໃນການເລືອກເສື້ອໜຶ່ງໂຕ ແລະ ກາງເກງໜຶ່ງໂຕ.
ສະຫຼຸບ
ວິທະຍາສາດປະສົມປະສານ, ໃນຖານະເປັນສາຂາໜຶ່ງຂອງຄະນິດສາດ, ສະເໜີວິທີການ ແລະ ແນວຄວາມຄິດທີ່ຫຼາກຫຼາຍສຳລັບການຄິດໄລ່ ແລະ ການຈັດລຽງວັດຖຸຕ່າງໆ. ຕັ້ງແຕ່ການປ່ຽນຮູບ ແລະ ການປະສົມ ຈົນເຖິງຫຼັກການຂອງການບວກ ແລະ ການຄູນ, ແນວຄວາມຄິດເຫຼົ່ານີ້ມັກຖືກນຳໃຊ້ໃນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງທີ່ຫຼາກຫຼາຍ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຂ້າງເທິງ, ຜູ້ອ່ານຄາດວ່າຈະສາມາດນຳໃຊ້ແນວຄວາມຄິດວິທະຍາສາດປະສົມປະສານໃນສະຖານະການທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນ ແລະ ປັບປຸງທັກສະການແກ້ໄຂບັນຫາຂອງເຂົາເຈົ້າໃນຄະນິດສາດ ແລະ ສາຂາວິຊາອື່ນໆ.
