ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບໜ້າທີ່ການສັກ, ການແທນໜ້າທີ່, ແລະ ການສອງໜ້າທີ່
ຄຳນິຍາມຂອງຟັງຊັນ ແລະ ປະໂຫຍດຂອງມັນໃນຄະນິດສາດມັກຈະເປັນຫົວຂໍ້ສົນທະນາທີ່ໜ້າສົນໃຈ. ໃນສະພາບການນີ້, ພວກເຮົາມັກພົບຄຳສັບຕ່າງໆເຊັ່ນ: ຟັງຊັນສັກ, ຟັງຊັນເຊີເຈັກຕິບ, ແລະ ຟັງຊັນຄູ່. ການເຂົ້າໃຈຟັງຊັນທັງສາມປະເພດນີ້ແມ່ນສຳຄັນຫຼາຍສຳລັບການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ ແລະ ການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຂອງພວກມັນໃນຂົງເຂດຕ່າງໆເຊັ່ນ: ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ, ເສດຖະສາດ, ແລະ ຟີຊິກ.
ການເຂົ້າໃຈໜ້າທີ່ການສັກ, ການກະທຳເຊີງປະສິດ, ແລະ ການກະທຳສອງປະສິດ
ກ່ອນທີ່ຈະສົນທະນາກ່ຽວກັບຄຳຖາມຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຂອງພວກມັນ, ໃຫ້ພວກເຮົາລະນຶກເຖິງຄຳນິຍາມຂອງສາມໜ້າທີ່ກ່ອນ.
1. ຟັງຊັນການສີດ (ຟັງຊັນໜຶ່ງຕໍ່ໜຶ່ງ): ຟັງຊັນ f : A → B ຖືກເອີ້ນວ່າ ການສີດ ຖ້າສຳລັບທຸກໆ a1 ແລະ a2 ໃນໂດເມນ A, ຖ້າ f(a1) = f(a2), ແລ້ວ a1 ຕ້ອງເທົ່າກັບ a2. ເວົ້າອີກຢ່າງໜຶ່ງ, ຟັງຊັນການສີດຮັບປະກັນວ່າອົງປະກອບທີ່ແຕກຕ່າງກັນໃນໂດເມນ A ຖືກເຊື່ອມໂຍງໄປຫາອົງປະກອບທີ່ແຕກຕ່າງກັນໃນໂຄໂດເມນ B.
2. ຟັງຊັນເຊີເຈັກຕິບ (ກ່ຽວກັບຟັງຊັນ): ຟັງຊັນ f: A → B ຖືກເອີ້ນວ່າເຊີເຈັກຕິບ ຖ້າທຸກໆອົງປະກອບໃນໂຄໂດເມນ B ມີຢ່າງໜ້ອຍໜຶ່ງອົງປະກອບໃນໂດເມນ A ທີ່ຖືກເຊື່ອມໂຍງກັບມັນ. ໃນກໍລະນີນີ້, ໂຄໂດເມນ B ບໍ່ມີອົງປະກອບ "ຫວ່າງເປົ່າ" ຫຼື ບໍ່ມີອົງປະກອບທີ່ຄ້າຍຄືກັນຈາກໂດເມນ A.
3. ຟັງຊັນສອງເຈັກທີບ (ຄວາມສອດຄ້ອງກັນໜຶ່ງຕໍ່ໜຶ່ງ): ຟັງຊັນ f: A → B ຖືກເອີ້ນວ່າ ສອງເຈັກທີບ ຖ້າມັນເປັນທັງການສັກເຂົ້າ ແລະ ການເຊີເຈັກທີບ. ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າທຸກໆອົງປະກອບໃນໂດເມນ A ມີຄູ່ທຽບເທົ່າທີ່ເປັນເອກະລັກໃນໂຄໂດເມນ B, ແລະທຸກໆອົງປະກອບໃນໂຄໂດເມນ B ຍັງມີຄູ່ທຽບເທົ່າທີ່ເປັນເອກະລັກໃນໂດເມນ A.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາ
ຄຳຖາມທີ 1: ໜ້າທີ່ສັກ
ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ຟັງຊັນ f: ℝ → ℝ ເຊິ່ງຖືກນິຍາມວ່າ f(x) = 2x + 3. ພິສູດວ່າຟັງຊັນນີ້ແມ່ນຟັງຊັນແບບສັກ.
ເປບບາຮາຊານ:
ເພື່ອພິສູດວ່າຟັງຊັນນີ້ແມ່ນການສີດເຂົ້າ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າຖ້າ f(a) = f(b) ແລ້ວ a = b.
ສົມມຸດວ່າ f(a) = f(b), ເຮົາເວົ້າວ່າ:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
ລົບ 3 ອອກຈາກທັງສອງດ້ານ:
\[ 2a = 2b \]
ຫານດ້ວຍ 2 ທັງສອງດ້ານ:
\[ ກ = ຂ \]
ເນື່ອງຈາກພວກເຮົາໄດ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ f(a) = f(b) ເຮັດໃຫ້ເກີດ a = b, ດັ່ງນັ້ນຟັງຊັນ f(x) = 2x + 3 ຈຶ່ງເປັນຟັງຊັນແບບສັກເຂົ້າ.
ຄຳຖາມທີ 2: ໜ້າທີ່ເຊີບວິກຕິກ
ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ຟັງຊັນ g: ℝ → ℝ ເຊິ່ງຖືກນິຍາມວ່າ g(x) = x^3. ພິສູດວ່າຟັງຊັນນີ້ແມ່ນຟັງຊັນເຊີວິເຈຕິກ.
ເປບບາຮາຊານ:
ເພື່ອພິສູດວ່າຟັງຊັນນີ້ແມ່ນເຊີວິເຈຕິກ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າສຳລັບທຸກໆອົງປະກອບ y ໃນໂຄໂດເມນ ℝ, ມີຢ່າງໜ້ອຍໜຶ່ງອົງປະກອບ x ໃນໂດເມນ ℝ ເຊິ່ງ g(x) = y.
ໃຫ້ y ∈ ℝ. ພວກເຮົາຕ້ອງການຊອກຫາ x ໂດຍທີ່:
\[ x^3 = y \]
ໃຊ້ \( x = \sqrt[3]{y} \):
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
ເນື່ອງຈາກວ່າສຳລັບທຸກໆ y ໃນໂຄໂດເມນ ℝ ເຮົາສາມາດຊອກຫາ x ທີ່ເປັນ \( x = \sqrt[3]{y} \), ຫຼັງຈາກນັ້ນຟັງຊັນ g(x) = x^3 ເປັນຟັງຊັນເຊີເຈັກຕິກ.
ຄຳຖາມທີ 3: ຟັງຊັນສອງໜ້າທີ່
ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ຟັງຊັນ h: ℝ → ℝ ເຊິ່ງຖືກນິຍາມວ່າ h(x) = x – 1. ພິສູດວ່າຟັງຊັນນີ້ແມ່ນ bijective.
ເປບບາຮາຊານ:
ສັກ:
ເພື່ອພິສູດວ່າ h(x) ເປັນຄ່າສັກ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າຖ້າ h(a) = h(b) ແລ້ວ a = b.
ໃຫ້ h(a) = h(b):
\[ ກ – 1 = ຂ – 1 \]
ບວກ 1 ໃສ່ທັງສອງດ້ານ:
\[ ກ = ຂ \]
ເນື່ອງຈາກ h(a) = h(b) ເຮັດໃຫ້ເກີດ a = b, ດັ່ງນັ້ນຟັງຊັນ h(x) = x – 1 ຈຶ່ງເປັນຟັງຊັນແບບສັກເຂົ້າ.
ກຳມະສິດ:
ເພື່ອພິສູດວ່າ h(x) ເປັນ surjective, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ ສຳລັບທຸກໆອົງປະກອບ y ໃນ codomain ℝ, ມີຢ່າງໜ້ອຍໜຶ່ງອົງປະກອບ x ໃນໂດເມນ ℝ ເຊິ່ງ h(x) = y.
ໃຫ້ y ∈ ℝ. ພວກເຮົາຕ້ອງການຊອກຫາ x ໂດຍທີ່:
\[ x – 1 = y \]
ບວກ 1 ໃສ່ທັງສອງດ້ານ:
x = y + 1
ເນື່ອງຈາກວ່າສຳລັບທຸກໆ y ໃນ codomain ℝ ພວກເຮົາສາມາດຊອກຫາ x ເຊັ່ນວ່າ x = y + 1, ຫຼັງຈາກນັ້ນຟັງຊັນ h(x) = x – 1 ແມ່ນຟັງຊັນ surjective.
ເນື່ອງຈາກ h(x) ເປັນຟັງຊັນສັກ ແລະ ເຊີເຈກ, ສະນັ້ນ h(x) ເປັນຟັງຊັນສອງເຈກ.
ຄຳຖາມທີ 4: ການກຳນົດປະເພດຂອງຟັງຊັນ
ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ຟັງຊັນ f: ℕ → ℕ ກຳນົດເປັນ f(x) = 2x. ກຳນົດວ່າ f ເປັນຟັງຊັນແບບສັກ, ແບບເຊີເຈກ, ຫຼື ແບບສອງເຈກ.
ເປບບາຮາຊານ:
ສັກ:
ເພື່ອພິສູດວ່າຟັງຊັນນີ້ແມ່ນການສີດເຂົ້າ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າຖ້າ f(a) = f(b) ແລ້ວ a = b.
ສົມມຸດວ່າ f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
ຫານດ້ວຍ 2 ທັງສອງດ້ານ:
\[ ກ = ຂ \]
ດັ່ງນັ້ນ, f(x) = 2x ເປັນຟັງຊັນສັກ.
ກຳມະສິດ:
ເພື່ອພິສູດວ່າຟັງຊັນນີ້ແມ່ນເຊີວິເຈຕິກ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າສຳລັບທຸກໆອົງປະກອບ y ໃນໂຄໂດເມນ ℕ, ມີຢ່າງໜ້ອຍໜຶ່ງອົງປະກອບ x ໃນໂດເມນ ℕ ເຊັ່ນວ່າ f(x) = y.
ແຕ່ໃຫ້ສັງເກດວ່າໂຄໂດເມນແມ່ນ ℕ (ຈຳນວນທຳມະຊາດ), ໃນຂະນະທີ່ f(x) = 2x ໃຫ້ຜົນພຽງແຕ່ຈຳນວນຄູ່. ສົມມຸດວ່າ y ເປັນຈຳນວນຄີກ, ບໍ່ມີ x ໃນ ℕ ເຊັ່ນວ່າ 2x = y.
ດັ່ງນັ້ນ, f(x) = 2x ບໍ່ແມ່ນຟັງຊັນເຊີວິເຈັກ.
ເນື່ອງຈາກວ່າ f(x) ບໍ່ແມ່ນ surjective, f(x) ກໍ່ບໍ່ແມ່ນ bijective ເຊັ່ນກັນ.
ອີງຕາມຕົວຢ່າງຕ່າງໆຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາສາມາດເຫັນວິທີການພິສູດ ແລະ ລະບຸປະເພດຂອງຟັງຊັນ (injective, surjective, bijective) ຈາກຄຳນິຍາມຂອງຟັງຊັນຕ່າງໆ. ການເຂົ້າໃຈຟັງຊັນເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນຫຼາຍດ້ານຂອງຄະນິດສາດ ແລະ ການນຳໃຊ້ໃນຊີວິດຈິງຂອງມັນ.
