ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຕົວເລກທີ່ສັບສົນ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຕົວເລກທີ່ສັບສົນ

ຕົວເລກຊັບຊ້ອນເປັນຫົວຂໍ້ທີ່ພົບເລື້ອຍໃນຄະນິດສາດທັງໃນລະດັບມັດທະຍົມຕອນປາຍ ແລະ ວິທະຍາໄລ. ຕົວເລກຊັບຊ້ອນປະກອບດ້ວຍສອງສ່ວນຄື: ສ່ວນຈິງ ແລະ ສ່ວນຈິນຕະພາບ. ໂດຍການໃຊ້ສັນຍາລັກທົ່ວໄປ, ຕົວເລກຊັບຊ້ອນຈະຖືກຂຽນເປັນ \(z = a + bi \), ບ່ອນທີ່ \(a \) ແລະ \(b \) ເປັນຕົວເລກຈິງ, ແລະ \(i \) ເປັນຫົວໜ່ວຍຈິນຕະພາບທີ່ມີຄຸນສົມບັດ \(i^2 = -1 \). ບົດຄວາມນີ້ຈະກວມເອົາຕົວຢ່າງຫຼາຍໆຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບຕົວເລກຊັບຊ້ອນ, ຕັ້ງແຕ່ການດຳເນີນງານພື້ນຖານຈົນເຖິງການນຳໃຊ້ໃນການແກ້ໄຂບັນຫາ.

Contoh Soal ແລະ Pembahasan

1. ການບວກ ແລະ ການລົບຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ

ຄຳຖາມທີ 1
ໃຫ້ \( z_1 = 3 + 4i \) ແລະ \( z_2 = 1 – 2i \). ຄິດໄລ່ \( z_1 + z_2 \) ແລະ \( z_1 – z_2 \).

ສົນທະນາ
ເພື່ອບວກ ຫຼື ລົບຕົວເລກຊັບຊ້ອນ, ພວກເຮົາພຽງແຕ່ດຳເນີນການສ່ວນຈິງກັບສ່ວນຈິງ ແລະ ສ່ວນຈິນຕະພາບກັບສ່ວນຈິນຕະພາບ.

ການເພີ່ມ:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]

ການລົບ:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]

ດັ່ງນັ້ນ, \(z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ແລະ \(z_1 – z_2 = 2 + 6i \).

2. ການຄູນຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ

ຄຳຖາມທີ 2
ຄິດໄລ່ຜົນຄູນຂອງ \(z_1 = 2 + 3i\) ດ້ວຍ \(z_2 = 4 – i\).

ສົນທະນາ
ເພື່ອຄູນສອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ, ພວກເຮົາໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກຢາຍຂອງພຶດຊະຄະນິດ:

\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]

ພວກເຮົາຄູນແຕ່ລະອົງປະກອບ:

\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]

\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]

ເນື່ອງຈາກ \( i^2 = -1 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ:

\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]

ສະນັ້ນ, ຜົນຄູນ \(z_1 \cdot z_2 \) ແມ່ນ \(11 + 10i \).

3. ການຫານຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ

ຄຳຖາມທີ 3
ຄິດໄລ່ຜົນຫານຂອງ \( z_1 = 3 + 4i \) ດ້ວຍ \( z_2 = 1 – i \).

ສົນທະນາ
ເພື່ອຫານຈຳນວນຊັບຊ້ອນ, ໃຫ້ຄູນຕົວເສດ ແລະ ຕົວສ່ວນດ້ວຍຕົວຜັນຂອງຕົວສ່ວນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ. ຕົວຜັນຂອງ \( 1 – i \) ແມ່ນ \( 1 + i \).

\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]

ກ່ອນອື່ນໝົດ, ໃຫ້ຄິດໄລ່ຕົວຫານກ່ອນ:

\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]

ຕອນນີ້ພວກເຮົາຄິດໄລ່ຕົວເສດ:

\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4( −1) = 3 + 7i − 4 = −1 + 7i
\]

ດັ່ງນັ້ນ, ຜົນໄດ້ຮັບແມ່ນ:

\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]

4. ໂມດູນ ແລະ ອາກິວເມັນຂອງຕົວເລກທີ່ຊັບຊ້ອນ

ຄຳຖາມທີ 4
ກຳນົດໂມດູລັດ ແລະ ອາກິວເມັນຂອງ \(z = 1 + i\).

ສົນທະນາ
ໂມດູນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( z = a + bi \) ແມ່ນ:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

ສຳລັບ \(z = 1 + i\), ເຮົາມີ \(a = 1\) ແລະ \(b = 1\):

\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]

ອາກິວເມັນຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນແມ່ນມຸມ \(\theta\) ທີ່ສ້າງຂຶ້ນດ້ວຍແກນຈິງທີ່ເປັນບວກ, ວັດແທກຈາກຈຸດກຳເນີດໄປຫາຈຸດ \((a, b)\).

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]

\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]

ສະນັ້ນ, ໂມດູລັດຂອງ \( z = 1 + i \) ແມ່ນ \( \sqrt{2} \) ແລະ ອາກິວເມັນແມ່ນ \( \frac{\pi}{4} \).

5. ຮູບແບບເລກກຳລັງ ແລະ ຮູບແບບອອຍເລີ

ຄຳຖາມທີ 5
ປ່ຽນຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( z = 1 + i \) ໄປເປັນຮູບແບບເອັກໂປເນນຊຽລ.

ສົນທະນາ
ຮູບແບບເລກຊີ້ກຳລັງຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນໂດຍໃຊ້ສູດຂອງອອຍເລີ:

\[
z = ເຣ^{i\theta}
\]

ບ່ອນທີ່ \( r \) ແມ່ນໂມດູນ ແລະ \( \theta \) ແມ່ນອາກິວເມັນ. ຈາກການສົນທະນາທີ່ຜ່ານມາ, ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:

\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]

ສະນັ້ນ, ຮູບແບບເອັກໂປເນນຊຽລແມ່ນ:

\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]

6. ຮາກຂອງຕົວເລກທີ່ສັບສົນ

ຄຳຖາມທີ 6
ຊອກຫາຮາກຂັ້ນສອງຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນ \( z = -1 \).

ສົນທະນາ
ຮາກຂັ້ນສອງຂອງຈຳນວນຊັບຊ້ອນສາມາດພົບໄດ້ໂດຍໃຊ້ຮູບແບບຂົ້ວໂລກ ຫຼື ຮູບແບບເອັກໂປເນນຊຽລ. ພວກເຮົາປ່ຽນ \( z = -1 \) ເປັນຮູບແບບເອັກໂປເນນຊຽລ:

\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]

ຮາກຂັ້ນສອງຂອງ \( e^{i\pi} \) ສາມາດຂຽນໄດ້ດັ່ງນີ້:

\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]

ດ້ວຍ \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), ແລະ \( k = 0, 1 \):

\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]

\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]

ສະນັ້ນ, ຮາກຂັ້ນສອງຂອງ \( -1 \) ແມ່ນ \( i \) ແລະ \( -i \).

7. ການນຳໃຊ້ໃນສົມຜົນກຳລັງສອງ

ຄຳຖາມທີ 7
ແກ້ສົມຜົນກຳລັງສອງ \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).

ສົນທະນາ
ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ສູດ quadratic ໄດ້:

\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

ສຳລັບສົມຜົນ \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):

\[
ກ = 1, ຂ = 4, ຄ = 13
\]

\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]

ສະນັ້ນ, ຄຳຕອບຂອງ \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) ແມ່ນ \(z = -2 + 3i \) ແລະ \(z = -2 – 3i \).

ສະຫຼຸບ

ຕົວເລກຊັບຊ້ອນແມ່ນແນວຄວາມຄິດທາງຄະນິດສາດທີ່ກວ້າງຂວາງຫຼາຍທີ່ມີການນຳໃຊ້ຫຼາຍຢ່າງ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈການດຳເນີນງານພື້ນຖານເຊັ່ນ: ການບວກ, ການລົບ, ການຄູນ, ແລະ ການຫານ, ພ້ອມທັງວິທີການຄິດໄລ່ໂມດູລັດ ແລະ ອາກິວເມັນ, ພວກເຮົາສາມາດແກ້ໄຂບັນຫາຕ່າງໆທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຕົວເລກຊັບຊ້ອນໄດ້. ຫວັງວ່າຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງນີ້ຈະຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານເຂົ້າໃຈ ແລະ ເປັນແມ່ບົດໃນຫົວຂໍ້ນີ້ໄດ້ດີຂຶ້ນ.