ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້ໃນອະນຸພັນ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ໃນອະນຸພັນ

ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ແມ່ນໜຶ່ງໃນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ສຸດໃນແຄລຄູລັສດິຟເຟີເຣນຊຽລ, ເຊິ່ງໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນທີ່ປະກອບດ້ວຍສອງຟັງຊັນຫຼືຫຼາຍກວ່ານັ້ນ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້, ວິທີການນຳໃຊ້ມັນ, ແລະຕົວຢ່າງການນຳໃຊ້ຂອງມັນໃນບັນຫາອະນຸພັນທີ່ມັກເກີດຂຶ້ນທັງໃນໂຮງຮຽນມັດທະຍົມຕອນປາຍ ແລະ ວິທະຍາໄລ.

1. ການແນະນຳກ່ຽວກັບກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້

ກ່ອນທີ່ພວກເຮົາຈະເຂົ້າໄປໃນບັນຫາຕົວຢ່າງ, ກ່ອນອື່ນໝົດໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈວ່າກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ແມ່ນຫຍັງ. ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ລະບຸວ່າຖ້າພວກເຮົາມີຟັງຊັນທີ່ສາມາດແຍກຄ່າໄດ້ສອງອັນ \( f \) ແລະ \( g \), ແລະພວກເຮົາຕ້ອງການຊອກຫາອະນຸພັນຂອງອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນ \( h = f(g(x)) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນອະນຸພັນຂອງ \( h \) ແມ່ນ:

\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

ເວົ້າງ່າຍໆ, ພວກເຮົາຄິດໄລ່ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນນອກໃນ g(x), ຈາກນັ້ນຄູນຜົນໄດ້ຮັບດ້ວຍອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພາຍໃນ \(g(x)\).

2. ເຂົ້າໃຈໜ້າທີ່ຂອງອົງປະກອບ

ກ່ອນທີ່ພວກເຮົາຈະເຂົ້າໄປໃນບັນຫາຕົວຢ່າງ, ມັນເປັນສິ່ງສຳຄັນທີ່ຈະຕ້ອງເຂົ້າໃຈຟັງຊັນການປະກອບ. ຟັງຊັນການປະກອບແມ່ນຟັງຊັນທີ່ໄດ້ມາຈາກການໃສ່ຟັງຊັນໜຶ່ງເຂົ້າໃນອີກຟັງຊັນໜຶ່ງ. ຕົວຢ່າງ, ຖ້າພວກເຮົາມີ \( f(x) = \sin(x) \) ແລະ \( g(x) = x^2 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນການປະກອບຂອງສອງຟັງຊັນຈະເປັນ \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).

ໃນຟັງຊັນການປະກອບ, ພວກເຮົາມັກຄິດເຖິງ \( g(x) \) ວ່າເປັນ "ຟັງຊັນພາຍໃນ" ແລະ \( f(x) \) ວ່າເປັນ "ຟັງຊັນພາຍນອກ". ໃນຕົວຢ່າງນີ້, ຟັງຊັນພາຍໃນແມ່ນ \( x^2 \) ແລະ ຟັງຊັນພາຍນອກແມ່ນ sine.

3. ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາ

ລອງມາເບິ່ງຕົວຢ່າງບັນຫາບາງຢ່າງທີ່ໃຊ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ເພື່ອແກ້ໄຂພວກມັນ.

ຕົວຢ່າງທີ 1:

ໃຫ້ຟັງຊັນ \( y = \cos(3x^2) \), ຈົ່ງຊອກຫາອະນຸພັນທຳອິດຂອງ y ທຽບກັບ x.

ເປບບາຮາຊານ:

ກ່ອນອື່ນໝົດ, ພວກເຮົາກຳນົດຟັງຊັນພາຍໃນ ແລະ ຟັງຊັນພາຍນອກ. ໃນທີ່ນີ້, ຟັງຊັນພາຍໃນແມ່ນ \( g(x) = 3x^2 \) ແລະ ຟັງຊັນພາຍນອກແມ່ນ \( f(g) = \cos(g) \).

ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:

1. \( g'(x) = 6x \)
2. f'(g) = -\sin(g)\)

ໂດຍກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]

ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ y = cos(3x^2) = ∑ ...

\[ y' = -6x sin(3x^2) \]

ຕົວຢ່າງທີ 2:

ຊອກຫາອະນຸພັນທຳອິດຂອງ \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).

ເປບບາຮາຊານ:

ໃນທີ່ນີ້ຟັງຊັນພາຍໃນແມ່ນ \( g(x) = 5x^3 + 2x \) ແລະຟັງຊັນພາຍນອກແມ່ນ \( f(g) = e^g \).

ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:

1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)

ໂດຍກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ:

\[ h'(x) = f'(g(x)) g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]

ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) ແມ່ນ:

\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]

ຕົວຢ່າງທີ 3:

ຊອກຫາອະນຸພັນທຳອິດຂອງ \( y = \ln(4x^2 – 5) \).

ເປບບາຮາຊານ:

ຟັງຊັນພາຍໃນແມ່ນ \( g(x) = 4x^2 – 5 \) ແລະ ຟັງຊັນພາຍນອກແມ່ນ \( f(g) = \ln(g) \).

ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:

1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)

ໂດຍກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]

ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ y = ln(4x^2 – 5)\) ແມ່ນ:

\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]

ຕົວຢ່າງທີ 4:

ໃຫ້ຟັງຊັນ \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), ຈົ່ງຊອກຫາອະນຸພັນຂອງມັນ.

ເປບບາຮາຊານ:

ຟັງຊັນພາຍໃນແມ່ນ \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) ແລະ ຟັງຊັນພາຍນອກແມ່ນ \( f(g) = g^4 \).

ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:

1. g'(x) = 6x + 2
2. f'(g) = 4g^3

ໂດຍກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]

ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) ແມ່ນ:

\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]

4. ກໍລະນີພິເສດ ແລະ ການພັດທະນາກົດລະບຽບລະບົບຕ່ອງໂສ້

ບາງຄັ້ງ, ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ບໍ່ໄດ້ຢຸດຢູ່ທີ່ສ່ວນປະກອບຂອງພຽງແຕ່ສອງຟັງຊັນ. ມີບາງຄັ້ງທີ່ຟັງຊັນແມ່ນສ່ວນປະກອບຂອງຫຼາຍກວ່າສອງຟັງຊັນ, ຕົວຢ່າງ: \( h(x) = f(g(k(x))) \).

ສຳລັບກໍລະນີຂອງສາມໜ້າທີ່, ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ສາມາດນຳໃຊ້ເປັນຊັ້ນໆໄດ້:

\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]

ພວກເຮົາສາມາດເຫັນໄດ້ວ່າໃນແຕ່ລະຊັ້ນ, ພວກເຮົາຄິດໄລ່ອະນຸພັນຂອງຊັ້ນນອກກ່ອນທີ່ຈະຍ້າຍໄປຫາອະນຸພັນຂອງຊັ້ນໃນ.

ຕົວຢ່າງທີ 5:

ໃຫ້ \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)}), ຈົ່ງຊອກຫາອະນຸພັນຂອງມັນ.

ເປບບາຮາຊານ:

ຟັງຊັນພາຍໃນສຸດແມ່ນ \( k = 2x^2 + 1 \), ກາງ: \( g = \ln(k) \) ແລະ ກາງ: \( f = \sqrt{g} \).

ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:

1. k'(x) = 4x
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)

ໃຫ້ນຳໃຊ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ໃນຊັ້ນຕ່າງໆ:

\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]

ສະນັ້ນອະນຸພັນຂອງ y = 2x2 + 1 ແມ່ນ:

\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]

5. ເຄ ສີມພູລານ

ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ມີບົດບາດສຳຄັນໃນແຄລຄູລັສດິຟເຟີເຣນຊຽລ, ໂດຍສະເພາະເມື່ອຈັດການກັບອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນ. ການເຂົ້າໃຈ ແລະ ການຮຽນຮູ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ໃຫ້ພື້ນຖານທີ່ແຂງແກ່ນສຳລັບການແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນໃນແຄລຄູລັສ. ບົດຄວາມນີ້ໄດ້ປຶກສາຫາລືຕົວຢ່າງທີ່ສຳຄັນຫຼາຍຢ່າງເພື່ອໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ແຂງແກ່ນກ່ຽວກັບການນຳໃຊ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ກັບອະນຸພັນ. ພວກເຮົາຫວັງວ່າການສົນທະນານີ້ຈະເປັນປະໂຫຍດສຳລັບນັກຮຽນ ແລະ ສາມາດນຳໃຊ້ກັບສະຖານະການທາງຄະນິດສາດທີ່ທ້າທາຍຫຼາກຫຼາຍ.