Beispillfroen an Diskussioun: Varianz an Standardofwäichung vun eenzelnen Daten
Statistik ass eng Branche vun der Mathematik, déi sech mat der Sammlung, Analyse, Interpretatioun, Presentatioun an Organisatioun vun Daten beschäftegt. Zwee wichteg Konzepter an der Statistik sinn Varianz a Standardofwäichung. Dësen Artikel wäert am Detail diskutéieren, wéi een d'Varianz an d'Standardofwäichung vun engem eenzegen Datesaz duerch verschidde Beispillproblemer berechent.
Varianz a Standardofwäichung verstoen
Varianz ass eng Moossnam, déi quantifizéiert, wéi wäit d'Zuelen an engem Datesaz vum Duerchschnëtt oder dem Duerchschnëtt ofwäichen. Varianz gëtt a Quadratunitéiten vun den ursprénglechen Donnéeën ausgedréckt, wat se dacks schwéier ze interpretéieren mécht.
D'Standardofwäichung ass d'Quadratwurzel vun der Varianz. Si bitt eng méi intuitiv Moossnam dofir, wéi wäit d'Donnéeën am Allgemengen vum Duerchschnëtt ofwäichen, well hir Eenheeten déiselwecht sinn wéi déi ursprénglech Eenheeten vun den Donnéeën.
Allgemeng Formel
Fir eenzel Donnéeën ass d'Formel fir d'Varianz \( \sigma^2 \) an d'Standardofwäichung \( \sigma \) vun der Populatioun wéi follegt:
1. Varianz (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standardofwäichung (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
Wou:
– \(N \) ass d'Zuel vun den Daten an der Populatioun.
– \(x_i \) ass den i-te Datenwäert.
– \( \mu \) ass de Mëttelwäert oder den Duerchschnëtt vun den Donnéeën.
Wann mir d'Varianz an d'Standardofwäichung vun der Prouf berechnen, dann gëtt déi uewe genannte Formel liicht geännert:
1. Proufvarianz (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Standardofwäichung vun der Prouf (en):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Wou:
– \(n \) ass d'Zuel vun den Daten an der Prouf.
– \( \bar{x} \) ass de Mëttelwäert oder den Duerchschnëtt vun der Prouf.
Beispillfroen an Diskussioun
Beispill Fro 1:
Mat de folgenden Donnéeën:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Berechent d'Varianz an d'Standardofwäichung vun den Donnéeën!
Léisungsschrëtt:
1. Berechnung vum Duerchschnëtt (Moyenne) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Berechent den Ënnerscheed tëscht den Donnéeën an dem Duerchschnëtt, dann quadréiert:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. D'Resultater am Quadrat addéieren:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Berechnung vun der Varianz (σ²) vun de Populatiounsdaten:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Bemierkung: Well dës Donnéeën als Bevëlkerungsdonnéeë uginn sinn, dividéiere mir duerch 6.
5. Berechnung vun der Standardofwäichung (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \ongeféier 1.886
\]
Also ass d'Varianz vun den Donnéeën 3.559 an d'Standardofwäichung ass 1.886.
Beispill Fro 2:
Mat de folgende Beispilldaten:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Berechent d'Varianz an d'Standardofwäichung vun der Prouf!
Léisungsschrëtt:
1. Berechnung vum Duerchschnëtt (Moyenne) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Berechent den Ënnerscheed tëscht den Donnéeën an dem Duerchschnëtt, dann quadréiert:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. D'Resultater am Quadrat addéieren:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Berechnung vun der Proufvarianz (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Bemierkung: Well dëst Beispilldaten sinn, dividéiere mir duerch 5 (n-1).
5. Berechnung vun der Standardofwäichung (en):
\[
s = \sqrt{5.351} \ongeféier 2.313
\]
Also ass d'Varianz vun den Proufdaten 5.351 an d'Standardofwäichung 2.313.
Conclusioun
D'Berechnung vun der Varianz an der Standardofwäichung ass essentiell fir ze verstoen, wéi d'Donnéeën an enger bestëmmter Datemenge verdeelt sinn. Wärend d'Varianz eng theoretesch Moossnam fir d'Dispersioun a Quadraten vun den ursprénglechen Eenheeten ubitt, interpretéiert d'Standardofwäichung d'Moossnam vun der Dispersioun a Bezuch op déi ursprénglech Eenheeten vun den Donnéeën, wat se méi einfach ze verstoen mécht. An der Datenanalyse ginn dës zwou Moossnamen dacks benotzt fir d'Variabilitéit vun den Donnéeën ze bewäerten a statistesch Entscheedungen ze treffen.
Wann mir déi néideg Schrëtt a Formelen verstoen, kënne mir einfach Varianz an Standardofwäichung fir verschidde Situatiounen berechnen, mat deenen mir an der alldeeglecher Datenerfassung an -analyse konfrontéiert sinn. Hoffentlech gëtt dësen Artikel e méi déift Verständnis vun de Konzepter Varianz an Standardofwäichung an eenzelne Datensätz.
