Beispillfroen an Diskussioun iwwer eng Zort trigonometresch Verhältnisser: tan θ
Trigonometrie ass eng Branche vun der Mathematik, déi sech mat der Bezéiung tëscht Wénkelen a Säitelängten an Dräiecker beschäftegt. Ee vun den dacks diskutéierte trigonometresche Verhältnisser ass den Tangent (tan). An dësem Artikel konzentréiere mir eis op d'Benotzung vum tan-Verhältnis a verschiddenen Aarte vu Problemer a diskutéiere verschidde Beispiller mat tan θ.
Definitioun vun tan θ
D'Tangent vun engem Wénkel θ gëtt als d'Verhältnes vun der Längt vun der géigeniwwerleiender Säit zu der Längt vun der ugrenzender Säit an engem rechteckegen Dräieck definéiert. Mathematesch gëtt dat als folgend geschriwwen:
\[ \tan θ = \frac{\text{Géigendeel Säit}}{\text{Ugrenzend Säit}} \]
Am Eenheetskrees kann tan och als d'Verhältnes tëscht der y-Koordinate (Virderseite) an der x-Koordinate (Säiteseite) vun engem Punkt um Krees interpretéiert ginn, deen eng Eenheet vum Zentrum ewech ass.
D'Tan-Funktioun a Mathematik a Physik
Trigonometrie, besonnesch d'Tan-Funktioun, gëtt a verschiddene mathemateschen a physikaleschen Uwendungen agesat. Zum Beispill gëtt d'Tan-Funktioun an der klassescher Physik bei der Analyse vun der Projektilbewegung benotzt, an an der Ingenieurswëssenschaft gëtt se benotzt fir den Inklinatiounswénkel oder de Gradient vun enger Uewerfläch ze berechnen.
Beispillfroen an Diskussioun
Hei sinn e puer Beispillfroen an hir Diskussiounen, fir d'Benotzung vun tan θ méi déif ze verstoen.
Fro 1: Berechnung vum tan θ vun engem rechteckegen Dräieck
Uginn: En rechtwénklegen Dräieck huet eng Längt vun der viischter Säit vis-à-vis vum Wénkel θ vu 4 cm an eng Längt vun der Säit nieft dem Wénkel θ vu 3 cm. Berechent de Wäert vun tan θ.
Beschte:
Benotzt d'Definitioun vu Tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{virder Säit}}{\text{Säit Säit}} \]
Ersetzt déi bekannt Wäerter:
[\tan θ = \frac{4}{3} \]
Also, de Wäert vun tan θ ass ∫( \frac{4}{3} \).
Fro 2: D'Längt vun enger Säit mat Hëllef vun tan θ bestëmmen
Uginn: En rechteckegen Dräieck mam Wénkel θ ass bekannt, datt tan θ = 0.75 ass. D'Längt vun der Säit nieft dem Wénkel θ ass 8 cm. Berechent d'Längt vun der géigeniwwerleiender Säit vis-à-vis vum Wénkel θ.
Beschte:
Benotzt d'Definitioun vu tan fir d'Längt vun der géigeniwwerleiender Säit ze fannen:
\[ \tan θ = \frac{\text{virder Säit}}{\text{Säit Säit}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{Virder Säit}}{8} \]
Multiplizéiert béid Säiten mat 8 fir d'Equatioun ze léisen.
\[ \text{Virdersäit} = 0.75 \mol 8 \]
\[ \text{Virdersäit} = 6 cm \]
Also, d'Längt vun der viischter Säit ass 6 cm.
Fro 3: Berechnung vum Wénkel θ wann den tan θ bekannt ass
Uginn: Et ass bekannt, datt en rechteckegen Dräieck, bei deem den tan θ = 1 ass. Nenn de Wénkel θ.
Beschte:
D'Tan vun engem Wénkel ass gläich 1, wann déi géigeniwwer Säit an déi ugrenzend Säit gläich laang sinn. An der einfacher Trigonometrie geschitt dëst bei engem Wénkel vu 45°.
Dofir ass de Wäert vun θ 45°.
Fro 4: Benotzung vun Tan θ an Algebraproblemer
Uginn: E Seel gëtt vun der Spëtzt vun enger Staang, déi 15 Meter héich ass, un e Punkt um Buedem gebonnen, deen 20 Meter vun der Basis vun der Staang ewech ass. Berechent tan θ, wou θ de Wénkel ass, deen tëscht dem Seel an der Staang geformt gëtt.
Beschte:
Benotzt d'Definitioun vu Tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{virder Säit (Pohlhéicht)}}{\text{Säit Säit (horizontal Distanz)}} \]
[\tan θ = \frac{15}{20} \]
Vereinfacht de Bréch:
[\tan θ = \frac{3}{4} \]
Also, de Wäert vun tan θ ass ∫( \frac{3}{4} \).
Fro 5: Héichtbestëmmung aus Distanz an Neigungswénkel
Uginn: En Observateur steet 100 Meter vun engem héije Gebai ewech. Den tan θ vun der Observatioun vun der Positioun vum Observateur bis zum Daach vum Gebai ass \(\tan 30^\circ\). Bestëmmt d'Héicht vum Gebai.
Beschte:
Et ass bekannt, datt (tan 30 = 1/3 vun der Gréisst).
\[ \tan θ = \frac{\text{virder Säit (Gebaihéicht)}}{\text{Säit Säit (Distanz)} } \]
Setzt déi bekannt Wäerter an d'Equatioun an
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{Gebaihéicht}}{100} \]
Multiplizéiert béid Säiten mat 100 fir d'Héicht ze isoléieren.
\[ \text{Gebaihéicht} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{Gebaihéicht} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{Gebaihéicht} ≈ 57.73 \text{ Meter} \]
Also, d'Héicht vum Gebai ass ongeféier 57.73 Meter.
Fro 6: De Wénkel aus Héicht an Distanz bestëmmen
Uginn: Dir wësst, datt d'Héicht vun engem Tuerm 50 Meter ass an d'horizontal Distanz vum Observatiounspunkt bis zum Fouss vum Tuerm 70 Meter ass. Bestëmmt den Héichtewénkel bis zum Spëtzt vum Tuerm.
Beschte:
\[ \tan θ = \frac{\text{Tuermhéicht}}{\text{horizontal Distanz}} \]
[\tan θ = \frac{50}{70} \]
[\tan θ = \frac{5}{7} \]
Fir θ ze fannen, benotze mir déi invers Tangentfunktioun (tan⁻¹) oder den arctan.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Mat engem Rechner oder enger Trigonometrietabell kënne mir de Wäert vun θ fannen.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Also ass den Héichtenwénkel bis zum Spëtzt vum Tuerm ongeféier 35.54°.
Conclusioun
Trigonometrie ass e mächtegt Instrument a ville Beräicher vun der Wëssenschaft. D'Tangent, zum Beispill, ass e einfacht awer mächtegt Verhältnis, dat benotzt gëtt fir Problemer mat Wénkelen a Säitelängten ze léisen. Wann mir seng Definitioun a wéi se benotzt gëtt verstoen, kënne mir eng breet Palette vu Geometrie- a Physikproblemer léisen. Wann mir Problemer wéi dat uewe genannt Beispill üben, kënne mir méi kompetent ginn am Gebrauch vun tan θ an alldeegleche Berechnungen.
