Beispillfroen zur Diskussioun iwwer arithmetesch Reihen
Arithmetesch Sequenzen sinn e fundamentalt Konzept an der Mathematik, dat dacks a verschiddene Problemer souwuel am Lycée wéi och am Héichschoulbildung opdaucht. Dëst Konzept ëmfaasst eng Rei vun Zuelen, wou all Term d'Resultat vun der Additioun oder Subtraktioun vun enger konstanter Zuel vum viregten Term ass. An dësem Artikel wäerte mir verschidde Beispillproblemer an hir Léisunge diskutéieren, fir de Konzept vun arithmetesche Sequenzen besser ze verstoen.
Arithmetesch Reihen verstoen
Eng arithmetesch Serie ass eng Serie, déi eng konstant Differenz (Differenz) tëscht zwou hannereneen Termer huet. Zum Beispill, wann eng arithmetesch Serie den éischten Term _(a)_ an d'Differenz _(d)_ huet, da kënnen d'Termer wéi follegt geschriwwe ginn:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Wann mir den n-ten Term vun dëser Serie fannen wëllen, ass d'Formel fir den n-ten Term (\(U_n\)):
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Mëttlerweil kann d'Zomm vun den éischten n Termen vun enger arithmetescher Serie (\(S_n\)) mat der Formel berechent ginn:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)]
Beispillfroen an Diskussioun
Beispill Fro 1
Fro: Wann eng arithmetesch Serie mat dem éischten Term _(a = 5)_ an der gemeinsamer Differenz _(d = 3)_ uginn ass, da fannt Dir den 10. Term vun der Serie.
Beschte:
Fir den 10. Term (\(U_{10}\)) ze fannen, kënne mir d'Formel fir den n-te Term benotzen:
[U_{10} = a + (10-1)d]
\[ U_{10} = 5 + (9 ⋅ 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Also, den 10. Term vun der Serie ass 32.
Beispill Fro 2
Fro: Fannt d'Zomm vun den éischten 15 Termer vun der arithmetescher Serie, där hiren éischten Term ∫a = 4∫ ass an hir gemeinsam Differenz ∫d = 7∫ ass.
Beschte:
Fir d'Zomm vun den éischten 15 Termer (\(S_{15}\)) ze fannen, kënne mir d'Formel fir d'Zomm vun den éischten n Termer benotzen:
[S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d)]
[S_{15} = \frac{15}{2} (2 ⋅ 4 + 14 ⋅ 7)]
[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98)]
[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
[S_{15} = 15 ⋅ 53]
\[ S_{15} = 795 \]
Also, d'Zomm vun den éischten 15 Termer vun der Serie ass 795.
Beispill Fro 3
Fro: Et ass bekannt, datt den 5. Term vun enger arithmetescher Reih 20 an den 12. Term 48 ass. Fannt den éischten Term (\(a\)) an déi gemeinsam Differenz (\(d\)) vun der Reih.
Beschte:
Aus de gegebene Konditiounen:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Mir hunn zwou linear Equatiounen mat zwou Variablen, déi mir léise kënnen:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Aus der Equatioun 1 kënne mir \(a\) a Form vun \(d\) ausdrécken:
\[ a = 20 – 4d \]
Elo ersetzen mir \(a\) an d'Equatioun 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[d = 4 \]
Elo ersetzen mir de Wäert vun \(d\) an d'Equatioun \(a = 20 – 4d\):
[a = 20 – 4 ⋅ 4]
\[a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Also, den éischten Term vun der Serie ass 4 an déi gemeinsam Differenz ass 4.
Beispill Fro 4
Fro: Wéi vill Termer sinn néideg fir eng arithmetesch Serie mat dem éischten Term \(a = 2\) an der gemeinsamer Differenz \(d = 5\) fir 200 ze summéieren?
Beschte:
An dësem Fall musse mir d'Zomm vun den éischten n Termen (\(S_n\)) fannen, déi gläich 200 ass. Benotzt d'Formel fir d'Zomm vun den éischten n Termen:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Ersetzt d'Wäerter vun \(a\) an \(d\):
[\frac{n}{2} (2 ⋅2 + (n-1) ⋅5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Dëst ass eng quadratesch Gleichung. Fir se ze léisen, ännere mir hir Form:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Benotzt déi quadratesch Formel \(ax^2 + bx + c = 0\):
[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
An dësem Fall (a = 5), (b = -1) an (c = -400):
[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
De Wäert vun \(\sqrt{8001}\) ass no bei 89.42, dann:
[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Mir huelen déi positiv Wäerter un:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
[n \ongeféier \frac{90.42}{10} \]
\[ n \ongeféier 9.042 \]
Also, d'Zuel vun den erfuerderleche Begrëffer ass 9 Termer (wann ofgerënnt).
Conclusioun
Arithmetesch Sequenzen sinn e wichtegt Thema an der Mathematik. E grëndlecht Verständnis vum éischten Term, der gemeinsamer Differenz, dem n-ten Term an der Zomm vun den éischten n Termen ass onschätzbar wäertvoll fir eng breet Palette vu Problemer ze léisen. Mat Hëllef vun den uewe genannten Beispiller an Diskussiounen ass et ze hoffen, datt d'Lieser e besser Verständnis vun de Grondkonzepter vun arithmetesche Sequenzen kréien.
