Beispillfroen an Diskussioun iwwer Kreesser an Akkorden
De Krees ass eng vun de geometresche Grondformen, déi dacks an der Mathematik studéiert ginn. E wichtegt Konzept am Zesummenhang mat Kreesser ass den Akkord, deen eng Linn ass, déi zwee Punkten op engem Krees verbënnt, ouni duerch de Mëttelpunkt ze goen. Kreesser a Akkorden ze verstoen ass essentiell fir d'Studium vun der Geometrie. Dësen Artikel wäert verschidde Beispillproblemer an Diskussiounen am Zesummenhang mat Kreesser a Akkorden diskutéieren, fir eist Verständnis vun dëse Konzepter ze verdéiwen.
Basisverständnis
Lingkaran
E Krees ass eng Sammlung vun alle Punkten an enger Fläch, déi gläich wäit vun engem bestëmmte Punkt, deen de Mëttelpunkt genannt gëtt, ewech sinn. Wann de Mëttelpunkt vum Krees de Punkt O ass an de Radius vum Krees r ass, da kann de Krees duerch d'Equatioun (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² a kartesescher Form ausgedréckt ginn.
Boustreng
E Kreesakkord ass eng Linn, déi zwee Punkten um Krees verbënnt. D'Längt vun engem Akkord hänkt net nëmmen vum Radius vum Krees of, mä och vun der Gréisst vum zentrale Wénkel, deen him zougewisen ass.
Beispillfroen an Diskussioun
Fro 1:
Fro: Wann ee Krees mat engem Radius vun 10 cm an eng Akkord AB mat enger Längt vun 16 cm huet, bestëmmt déi kierzt Distanz vum Zentrum vum Krees bis zum Akkord.
Beschte:
Fir d'Distanz vum Zentrum vum Krees bis zum Akkord ze fannen, kënne mir d'Formel fir e rechteckegt Dräieck benotzen, déi tëscht dem Radius, der Distanz vum Zentrum bis zum Akkord an der Halschent vun der Längt vum Akkord geformt gëtt.
Stelle mer vir, de Punkt O ass de Mëttelpunkt vum Krees an de Punkt P ass de Punkt an der Mëtt vum Akkorde AB, deen senkrecht zu AB steet. Dofir ass OP d'Distanz vum Zentrum vum Krees O bis zum Akkorde AB.
Am Dräieck OAP (rechtwénkelege Dräieck bei P) kënne mir de Satz vu Pythagoras uwenden:
OP² + AP² = OA²
Mir wëssen, datt:
– OA (Radius vum Krees) = 10 cm
– AB (Längt vun der Bousait) = 16 cm, also AP = 16/2 = 8 cm.
Setzt déi bekannt Wäerter an d'Equatioun eran:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Also, déi kierzt Distanz vum Zentrum vum Krees bis zum Akkord ass 6 cm.
Fro 2:
Fro: E Krees mat dem Mëttelpunkt O huet e Radius vun 8 cm. D'Akkord AB bilt e Mëttelwénkel ∠AOB vun 120°. Bestëmmt d'Längt vun der Akkord AB.
Beschte:
Fir d'Längt vum Akkord ze berechnen, deen den zentrale Wénkel (θ) bildt, kënne mir dës Formel benotzen:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Wou:
– r ass de Radius vum Krees (8 cm an dëser Fro)
– θ ass de Wénkel, deen vum Akkorde am Zentrum vum Krees gebilt gëtt (120° an dëser Aufgab)
Ersetzt déi bekannt Wäerter:
AB = 2 × 8 cm × sin (120°/2)
AB = 16 cm × sin(60°)
AB = 16 cm × (√3 / 2)
AB = 8√3 cm
Also, d'Längt vum Akkorde AB ass 8√3 cm.
Fro 3:
Fro: E Krees mat engem Radius vun 13 cm an enger Akkord AB ass 5 cm vum Zentrum vum Krees ewech. Bestëmmt d'Längt vun der Akkord AB.
Beschte:
An dësem Fall kënne mir den rechteckegen Dräieck benotze fir d'Längt vum Akkord ze fannen. Loosst eis soen, de Punkt O ass de Mëttelpunkt vum Krees, de Punkt P ass de Punkt um Akkord, deen am nootste beim Mëttelpunkt läit, an AB ass den Akkord.
Mir wëssen:
– OA (Radius vum Krees) = 13 cm
– OP (Mëttdistanz zum Bousaart) = 5 cm.
Am Pensiounsdräieck:
OP² + AP² = OA²
Mir fannen AP (d'Halschent vun der Längt vum Akkord):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Also, d'Längt vum Akkorde AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 cm.
Fro 4:
Fro: Wann ee Krees mat engem Radius vun 10 cm huet, huet eng Akkord AB eng Längt vun 12 cm. Bestëmmt d'Gréisst vum zentrale Wénkel ∠AOB.
Beschte:
An dësem Fall musse mir d'Invers vun der trigonometrescher Funktioun benotzen, fir den zentrale Wénkel ∠AOB ze bestëmmen. Baséierend op der Formel fir d'Längt vun engem Akkord, deen den zentrale Wénkel θ enthält, kënne mir d'Formel nei schreiwen, fir θ ze berechnen:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Wou:
– r ass de Radius vum Krees (10 cm)
– AB ass d'Längt vun der Bousait (12 cm)
Stell eng Equatioun op fir sin(θ/2) ze isoléieren:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Fannt de Wäert vun θ/2:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Also,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Also ass den zentrale Wénkel ∠AOB 73.74°.
Conclusioun
D'Léiere vu Kreesser a Chords erfuerdert e Verständnis vun der Basisgeometrie an Trigonometrie. An den uewe genannten Beispiller hu mir gesinn, wéi verschidde Formelen an Theoreme benotzt kënne ginn, wéi zum Beispill de Satz vu Pythagoras, trigonometresch Funktiounen a Basiseegeschafte vu Kreesser, fir Problemer ze léisen.
Duerch dës Übungsaufgaben ass et ze hoffen, datt e méi déift Verständnis vun der Bezéiung tëscht dem Radius, der Akkordlängt an dem resultéierende zentrale Wénkel erreecht ka ginn. Dëst Konzept ze verstoen ass net nëmmen an der Schoulmathematik nëtzlech, mä och an alldeeglechen Uwendungen a verschiddene Beräicher vun der Wëssenschaft an dem Ingenieurswiesen.
