Beispillfroen iwwer d'Benotzung vun trigonometresche Verhältnisser
Trigonometrie ass eng Branche vun der Mathematik, déi d'Bezéiungen tëscht de Säiten an de Wénkelen vun Dräiecker ënnersicht. D'Verständnis vun der Trigonometrie ass entscheedend, well se dacks a verschiddene Beräicher benotzt gëtt, dorënner Architektur, Ingenieurswiesen, Astronomie a souguer Kryptographie. Dësen Artikel wäert verschidde Beispillproblemer diskutéieren an se am Kontext vun der Benotzung vun trigonometresche Verhältnisser diskutéieren.
Grondkonzepter vun der Trigonometrie
Ier mer eis mat de Beispillproblemer beschäftegen, loosst eis e puer Grondkonzepter an der Trigonometrie iwwerpréiwen. An engem rechteckegen Dräieck ginn et dräi Haapt-trigonometresch Funktiounen, déi dacks benotzt ginn: Sinus, Kosinus an Tangens.
– De Sinus (Sinus) vun engem Wénkel ass d'Verhältnes vun der Längt vun der Säit vis-à-vis vum Wénkel zu der Längt vun der Hypotenusa.
\[
\sin \theta = \frac{\text{Virsäit}}{\text{Hypotenusa}}
\]
– De Kosinus (cos) vun engem Wénkel ass d'Verhältnes vun der Längt vun der Säit nieft dem Wénkel zu der Längt vun der Hypotenusa.
\[
\cos \theta = \frac{\text{ukuerz Säit}}{\text{Hypotenusa}}
\]
– D'Tangent (tan) vun engem Wénkel ass d'Verhältnes vun der Längt vun der Säit vis-à-vis vum Wénkel zu der Längt vun der Säit nieft dem Wénkel.
\[
\tan \theta = \frac{\text{virder Säit}}{\text{Säit Säit}}
\]
Beispillfro 1: Berechnung vun der Tuermhéicht
Fro: En Observateur steet 50 Meter vun engem Tuerm ewech a moosst den Héichtewénkel vun der Spëtzt vum Tuerm op 30 Grad. Bestëmmt d'Héicht vum Tuerm.
Léisung: Fir dëst Problem ze léisen, kënne mir d'Tangentfunktioun an der Trigonometrie benotzen. Well mir den Héichtewénkel an d'horizontal Distanz vum Observateur zum Tuerm kennen, kënne mir schreiwen:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{Tuermhéicht}}{\text{horizontal Distanz}}
\]
Ersetzt déi bekannt Wäerter:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Et ass bekannt, datt \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), sou datt:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Dann kann d'Héicht vum Tuerm, \(h\), fonnt ginn andeems béid Säite vun der Equatioun mat 50 multiplizéiert ginn:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \ongeféier 28.87 \, \text{meter}
\]
D'Héicht vum Tuerm ass ongeféier 28.87 Meter.
Beispillfro 2: Distanzbestëmmung mat Kosinus
Fro: E Schëff fiert 10 km Richtung Osten, ännert dann de Kurs ëm 60 Grad Norden a fiert 15 km. Bestëmmt d'Distanz vum Startpunkt bis zum Schëff.
Diskussioun: Fir dëst Problem ze léisen, kënne mir d'Kosinusregel an der Trigonometrie benotzen. Wa mir d'Rees vum Schëff an engem Koordinatesystem duerstellen, fanne mir en Dräieck mat Säite vun 10 km an 15 km, an engem Wénkel vu 60 Grad. Mir kënnen d'Kosinusregel benotzen fir d'Distanz tëscht dem Startpunkt vum Schëff a senger Endpositioun ze fannen.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Dimana:
– \(a = 10 \)
– \(b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Ersetzt déi bekannt Wäerter:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ cos 60^circ
\]
Mir wëssen, datt (cos 60 = 0.5), dann:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \ongeféier 13.23 \, \text{km}
\]
Also ass d'Distanz vum Startpunkt bis zum Schëff ongeféier 13.23 km.
Beispillfro 3: Sinus benotze fir d'Säite vun engem Dräieck ze bestëmmen
Fro: An engem Dräieck sinn zwou Säiten 7 cm an 10 cm laang, mat engem Wénkel tëscht hinnen vun 45 Grad. Berechent d'Längt vun der drëtter Säit vum Dräieck.
Diskussioun: Mir kënnen d'Sinusgesetz benotze fir dëst Problem ze léisen. Am Sinusgesetz, fir en Dräieck mat Säiten _(a), _(b) an _(c) an dem Wénkel _(C) tëscht de Säiten _(a) an _(b)_:
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Wéi och ëmmer, an dësem Fall kënne mir direkt d'Kosinusgesetz benotzen fir d'Saache méi einfach ze maachen. D'Kosinusgesetz seet:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Dimana:
– \(a = 7 \)
– \(b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), sou datt:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Berechnung vum Wäert vun \(c \):
\[
c \ongeféier \sqrt{149 – 70 \sqrt{2}} \ongeféier 5.97 \, \text{cm}
\]
Also, d'Längt vun der drëtter Säit vum Dräieck ass ongeféier 5.97 cm.
Conclusioun
Trigonometrie ass e ganz nëtzlecht Instrument fir verschidde Problemer mat Dräiecker a Wénkelen ze léisen. Mat engem gudde Verständnis vu Sinus, Kosinus, Tangens an de Gesetzer vun der Trigonometrie kënne mir vill praktesch Problemer léisen. Dësen Artikel diskutéiert verschidde Beispiller fir d'Benotzung vun trigonometresche Verhältnisser, vun deenen mir hoffen, datt se de Lieser hëllefen, hiert Verständnis weiderzeféieren.
