Technicae ad Medianam pro Datis Singularibus et Gregatibus Computandam
Mediana est mensura tendentiae centralis quae saepe in statisticis adhibetur. Dissimilis mediocri, quae omnes valores addit et deinde per numerum valorum dividit, mediana "valorem medium" copiae datorum ordinatae exaggerat. Propter attentionem suam ad positionem, mediana relative resistit valoribus extremis (aberrantibus), ut cum unus valor valde magnus vel valde parvus est comparatus aliis. Quam ob rem mediana late adhibetur in analysi datorum oeconomicorum, educatione, investigatione sociali, et etiam aestimatione notarum examinum.
In hoc articulo, rationes ad medianam computandam pro duobus generibus datorum tractabimus: datis singularibus (non coacervatis) et datis coacervatis (in tabula distributionis frequentiae praesentatis). Praeter formulam, disputatio gradus practicos ad facilem applicationem comprehendet.
-
1. Conceptus fundamentalis medianae
Mediana est valor medius postquam data a minimo ad maximum ordinata sunt. Si numerus punctorum datorum impar est, mediana est valor medius exactus. Si numerus punctorum datorum par est, mediana est media duorum valorum mediorum.
Intuitive, mediana data in duas partes dividit:
– 50% datorum infra (vel aequale) medianam est
– 50% datorum supra (vel aequale) medianam est
Quia mediana ordine innititur, primus gradus qui fere semper requiritur est data ordinare.
-
2. Mediana pro Singulis Datis Computanda
Data singularia sunt data quae praesentantur sicut sunt (exempli gratia index notarum discipulorum), non in classibus intervallatis summarizata ut in datis gregalibus.
A. Gradus Generales
1. Data a minimo ad maximum valorem ordina.
2. Quantitatem datorum determina, exempli gratia n.
3. Locum medianae determina:
– Si n impar est, mediana est in loco \((n+1)/2\).
– Si n est par, mediana est media datorum ad positiones \(n/2\) et \((n/2)+1\).
B. Formula Mediana pro Datis Singularibus
– Si n impar est:
\[
Me = x_{(n+1)/2}
\]
Hoc significat medianam esse valorem datorum in ordine \((n+1)/2\).
– Si n est par:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Exemplum Datorum Singularium (n Impariorum)
Data: 7, 2, 9, 4, 3
1) Ordina: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (impar)
3) Positio mediana = ((5 + 1) / 2 = 3)
Mediana = tertia data = 4
Ergo mediana datorum est septem.
D. Exemplum Datorum Singularium (n Par)
Data: 10, 4, 6, 8
1) Ordina: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (par)
3) Positio media est data secunda et tertia
Mediana = ((6 + 8)/2 = 7)
Ergo mediana datorum est septem.
E. Nota Gravis: Data Frequentia Habentia
Interdum singula data et valor et frequentia dari possunt (e.g., 60 bis apparet, 70 quinquies). Hoc in casu, mediana adhuc invenitur secundum "ordinem" datarum, sed frequentiam cumulativam ad positionem medianam determinandam uti possumus sine singulis datis enumerandis. Idem principium est: invenire (n+1)/secundam positionem (imparem) vel (n/2) et (n/2)+primam positionem (parem), deinde inspicere valores qui illam positionem tegunt secundum frequentiam accumulatam.
-
3. Mediana pro Datis Aggregatis Computanda
Data coacervata sunt data quae in intervalla classium et frequentias earum summatim digesta sunt. Exempli gratia: tres homines altitudinis 150–154 cm, octo homines altitudinis 155–159 cm, et cetera. Dissimilis singulis datis, mediana datorum coacervatorum plerumque non accurate determinatur, quia valores singulos intra intervallum nescimus. Ergo, mediana computatur utens approximatione (aestimatione) formula mediana pro distributionibus coacervatis.
A. Termini Magni Momenti in Mediana Datorum Gregis
Antequam formula utamur, nonnulla elementa intellegere debemus:
– n = frequentia totalis (numerus totalis datorum)
– n/2 = positio mediana cumulativa
– Classis mediana = prima classis intervallorum quae frequentiam cumulativam ≥ n/2 producit
– L = margo inferior classis medianae (non limes inferior, sed margo classis; pro datis continuis plerumque adaptationem 0,5 adhibe si data sunt numeri integri)
– F = frequentia cumulativa ante classem medianam
– f = frequentia mediana classis
– c = longitudo classis (latitudo intervalli)
B. Gradus ad Medianam Datorum Gregis Determinandam
1. Tabulam distributionis frequentiae crea et columnam frequentiae cumulativae adde.
2. `n` (numerum frequentiarum) computa et `n/²` determina.
3. Classem medianam, nempe classem quae n/2 positiones secundum frequentiam cumulativam includit, determina.
4. Valores in formulam medianam pro datis gregis inscribe.
C. Formula Mediana pro Datis Gregalibus
\[
Me = L + (n² – Ff) × c
\]
Haec formula interpolationem linearem intra classem medianam perficit, assumens data aequaliter per intervallum classis distributa esse.
D. Exemplum Medianae Datorum Gregis
Exempli gratia, haec data de punctis examinis:
| Intervallum Valorum | Frequentia (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Frequentia totalis:
\[
n = 5 + 8 + 12 + 10 + 5 = 40
\]
2) Calcula n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Frequentia cumulativa:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Positio vicesima est in classe cum primo puncto cumulativo ≥ 20, scilicet 60–69. Ergo haec est classis mediana.
4) Componentes determina:
– L = margo inferior classis medianae. Pro intervallo 60–69, margo inferior est 59,5 (si data sunt valor integer).
– F = frequentia cumulativa ante classem medianam = 13
– f = frequentia mediana classis = 12
– c = longitudo classis = 10
5) In formulam inscribe:
\[
Me = 59,5 + (\frac{20 – 13}{12}\right)\times 10)
\]
\[
Me = 59,5 + (7/12) × 10
\]
\[
Me = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Ita mediana datorum gregis est circiter 65,33.
-
4. Errores Communes
Errores communes in mediana computanda:
1. Data pro singulis non ordinantur, ergo valor medius non est accuratus.
2. Perperam positionem medianae determinando cum n par est (mediam duorum valorum mediorum sumendam esse necesse est).
3. Pro datis gregalibus, iniustum est classem medianam eligere quia frequentiam cumulativam non creat.
4. Limite inferiore classis marginis inferioris (L) utendo cum data continua/intervallata sunt integri.
5. Longitudinem classis (c) perperam determinando, praesertim si intervalla sunt incongruentia.
-
5. Conclusio
Mediana est mensura simplex sed potens tendentiae centralis, praesertim cum data valores extremos continent. Pro singulis collectionibus datorum, mediana determinatur directe a loco medio postquam data ordinata sunt, cum tractatione diversa pro numeris imparibus et paribus collectionum datorum. Interim, pro collectionibus datorum congregatis, mediana calculatur utens formula interpolationis innixa classi medianae, frequentia cumulativa, et longitudine classis.
Intellecto conceptu et gradibus, medianam celeriter et accurate calculare potes, tam in datis simplicibus quam in datis in tabulis comprehensis. In multis casibus analyticis, mediana optio magis repraesentativa est quam media, praesertim cum distributio datorum asymmetrica est vel valores aberrantes continet.
Si vis, quaestiones exercitatorias una cum disputationibus addere possum ut intellegentiam tuam medianae datorum singularum et coetuum confirmem.
