Technicae ad Deviationem Mediam in Datis Statisticis Determinandam
In statisticis, simpliciter "centrum" datorum intellegere—exempli gratia, per medium vel medianam—saepe non sufficit. Duae collectiones datorum eandem mediam habere possunt, sed in gradibus "variationis" significanter differunt. Ergo, mensurae dispersionis magni momenti sunt. Una mensura dispersionis quae relative facile intellegitur et adhibetur est deviatio media. Hic articulus rationes ad deviationem mediam in variis formis datorum statisticorum determinandam tractat, cum gradibus calculi et exemplis completis.
Intellegendo Deviationem Mediam
Deviatio media est mensura quae distantiam mediam cuiusque puncti datorum a mensura tendentiae centralis, plerumque media arithmetica (media) vel mediana, indicat. Distantia de qua agitur est valor absolutus differentiae inter data et valorem centralem, ita ut nulla differentia negativa differentiam positivam "deleat".
In genere, deviatio media describit quantum data a valore centrali dispersa sint. Quo minor deviatio media, eo artius data circa centrum congregantur; quo maior valor, eo variabiliora data sunt.
Cur Valore Absoluto Utaris?
Si mediam differentiarum inter data et medium sine valore absoluto computamus, summa differentiarum semper nulla erit (quia medium est punctum aequilibrii). Exempli gratia, si differentiae +5 et -5 sunt, summae ad 0 perveniunt. Ergo, valores absoluti adhibentur ut deviationes vere distantiam datorum a centro reflectant.
Formula Deviationis Mediae pro Datis Singularibus
Pro singulis datis (non coacervatis), media deviatio a media formulatur:
\[
SR = \frac{\summa |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Information:
– \(SR \): deviatio media
– \(x_i \): i-sima data
– (x): media arithmetica (media)
– \(n \): copia notitiarum
Ars Computationis Datorum Singularium (Gradus)
1. Mediam (\bar{x} \) omnium datorum calcula.
2. Differentiam inter singula data et mediam computa: \(x_i – \bar{x} \).
3. Valorem absolutum cuiusque differentiae cape: (|x_i – \bar{x}|).
4. Omnes valores absolutos differentiarum adde.
5. Divide per numerum datorum \(n \).
Exemplum Datorum Singularium
Data valorum: 6, 8, 10, 12, 14
1) Media:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Valor absolutus differentiae:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Summa = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Deviatio media:
\[
SR = \frac{12}{5} = 2{,}4
\]
Hoc significat unumquemque valorem a medio 2,4 unitatibus deviare (10).
Deviatio Media pro Datis Frequentibus (Discretis)
Si data in forma valorum et frequentiarum (e.g. tabula) exhibentur, formula fit:
\[
SR = \frac{\summa f_i |x_i – \bar{x}|}{\summa f_i}
\]
Information:
– \(f_i \): frequentia datorum \(x_i \)
Technicae Computationis Datorum Frequentiae
1. Mediam computa: (x = sum f_i x_i / sum f_i)
2. Calcula \( |x_i - \bar{x}| \)
3. Multiplica per frequentiam: (f_i |x_i - x|)
4. Omnia resultata gradus tertii adde.
5. Divide per frequentiam totalem
Exempla Datorum Discretorum
| Valor (x) | Frequentia (f) |
|-|-|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Frequentia totalis: \(2 + 3 + 1 = 6\)
Mediocris:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Deviationem computa:
– Pro x=5: |5−6,67|=1,67 → multiplicatum per f=2 → 3,34
– Pro x=7: |7−6,67|=0,33 → multiplicatum per f=3 → 0,99
– Pro x=9: |9−6,67|=2,33 → multiplicatum per f=1 → 2,33
Summa: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Deviatio media:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Deviatio Media pro Datis Aggregatis (Intervallum Classium)
In datis congregatis (exempli gratia, distributionibus frequentiae intervallorum), valores datorum non singillatim, sed potius in classibus exhibentur. Hoc consilio, medium classis (xi) ad repraesentanda data intra classem adhibetur.
Formula:
\[
SR = \frac{\summa f_i |x_i - \bar{x}|}{\summa f_i}
\]
Attamen, \(x_i\) est punctum medium classis.
Technicae Computationis Datorum Gregalium
1. Punctum medium cuiusque classis determina:
\[
x_i=\frac{\text{limes inferior + limes superior}}{2}
\]
2. Mediam gregis computa:
\[
`x` = `frac{\summa f_i x_i}{\summa f_i}`
\]
3. Calcula \( |x_i - \bar{x}| \)
4. Multiplica per frequentiam \(f_i \)
5. Omnia resultata adde, deinde per frequentiam totalem divide.
Exemplum Datorum Gregis
| Classis | f |
|-|-|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Medium punctum:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Summa f = 10
Mediocris:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Deviatio:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Summa = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Deviatio media:
\[
SR = \frac{27}{10} = 2{,}7
\]
Deviatio Media a Mediana
Praeter mediam, deviatio media etiam ex mediana calculari potest. Idem principium est, solum valor centralis differt. Hoc utile est cum data valores aberrantes continent, quia mediana magis resistit valoribus extremis.
Pro singulis datis:
\[
SR_{Me} = \frac{\summa |x_i-Me|}{n}
\]
Pro datis frequentiae:
\[
SR_{Me} = \frac{\summa f_i|x_i - Me|}{\summa f_i}
\]
Commoda et Limitationes Deviationis Mediae
commoda:
1. Facile intellectu quia "distantiam mediam" a centro datorum utitur.
2. Omnibus datis utere (non solum certis datis).
3. Pro variis formis repraesentationis datorum computari potest.
Keterbatasan:
1. Minus popularis quam deviatio standardis in analysi statistica provecta.
2. Usus valorum absolutorum minus commodum reddit quibusdam manipulationibus algebraicis.
3. Non tam fortis quam deviatio standardis in multis methodis inferentialium.
Extrema
Ars ad deviationem mediam in datis statisticis determinandam essentialiter exemplar constans sequitur: valorem centralem (medium vel medianum) determina, distantiam absolutam cuiusque puncti datorum (vel medii puncti classis) a centro calcula, deinde mediam earum computa — frequentia habita in ratione si data in tabula exhibentur. Deviatio media mensura dispersionis commoda est ad intuitive describendam variabilitatem datorum. Intellegendis gradibus, variationem inter data collectiones comparare et stabilitatem data collectionis plenius aestimare potes.
Si vis, te adiuvare possum ut versionem huius articuli in forma muneris scholastici (cum introductione-disputatione-conclusione) conficias, vel quaestiones exercitationis una cum disputatione addas.
