Opus vi factum
1.1 Definitio Operis
Si librum in superficie mensae impellis donec liber moveatur, dicitur te opus in libro fecisse. Si res in terram cadit propter vim gravitatis, vis gravitatis dicitur opus in re fecisse. Contra, si rem totis viribus impellis ad punctum ubi profuse sudas, sed res omnino non movetur, dicitur te nullum opus in re fecisse. In vita cotidiana, homines fortasse dicunt te laborem difficilem fecisse rem impellendo, sed in Physica, opus in re non facis quia nulla motus rei factus est.
Opus in rem fieri potest vi constanti (cuius quantitas et directio constantes sunt) vel vi variabili (cuius quantitas et directio variantur). Exemplum vis cum quantitate et directione constanti est vis gravitatis, quae in rem agit cum res prope superficiem terrae est. Cum res in caduta libera prope superficiem terrae est, quantitas et directio accelerationis casus liberi rei constantes sunt quia quantitas et directio vis gravitatis rem accelerantis constantes sunt. Exemplum vis cum quantitate inconstanti (sed cum directione constanti) est vis elastica . Aliud exemplum est rocheta in spatium emissa vel ad superficiem terrae reversa. Cum rocheta emittitur, quantitas vis gravitatis in eam operantis mutatur inversa proportione ad quadratam distantiae a centro terrae.
1.1.1 Opus a viribus constantibus perfectum
Mathematice, opus a vi constanti in obiectum factum definitur ut dislocatio multiplicata per vim vel partem vis quae eandem directionem habet ac dislocatio obiecti. Observa obiectum in superficie plani asperi cum dislocatione ad dextram causata a vi impulsiva (F).
Figura 1. (Summum) Directio motionis obiecti eadem est ac vis F. (Infra) Directio motionis obiecti eadem est ac pars vis F in directione horizontali (F cos ).
Opus a vi impulsiva (F) perfectum est:
W = (F)(s)(cos θ) = Fs (cos θ) = Fs (1)
W = F/s
Opus a componente vis F in directione horizontali (F cos θ) perfectum est:
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos )(s)(1)
W = Fs cos θ
Opus a vi frictionali cinetica (f<sub> k</sub> ) perfectum est:
W = (fₙ ) (s)(cos₁₀) = (fₙ ) (s)(-1)
W = – (fₙ ) (s)
Opus a vi normali (N) perfectum est:
W = (N)(s)(cos₀₀) = (N)(s)(0) = 0
Opus a pondere (w) perfectum est:
W = (w)(s)(cos₀₀) = (w)(s)(0) = 0
Descriptio: W = opus, s = dislocatio, θ = angulus inter vim et dislocationem.
2 figure.
(a) Res in caduta libera est. Pondus in eadem directione est ac motus. (b) Res verticaliter sursum movetur. Directio ponderis directioni motus contraria est.
In exemplo priori, opus a pondere (w) factum valorem nullum habet, cum directio ponderis obiecti perpendicularis sit directioni motus obiecti. Notandum est opus a pondere factum valorem nullum non habiturum esse si directio ponderis eadem est ac vel contraria directioni motus obiecti.
Opus a pondere (w) in rem in libera caduta, quod in figura a demonstratum est, perfectum est:
W = Fs (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
Opus a pondere (w) in rem, quae verticaliter sursum movetur, factum, quod in figura b demonstratum est, est:
W = Fs (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
Descriptio: w = pondus (Newton), h = altitudo (metri), m = massa (kg), g = acceleratio gravitatis (metri per secundum quadratum).
Secundum explicationem priorem, hae conclusiones ducuntur: Primo, si res nullam motionem patitur, vis in rem exercita nullum opus facit. Si s = 0, W = 0; Secundo, si vis angulum datum erga motionem rei format , sola pars vis eandem directionem ac motio rei communicans opus in re facit; Tertio, vis in directione perpendiculari directioni motionis rei angulum 90 ° formabit . Cos 90° = 0; Quarto, opus signum positivum vel negativum habere potest. Si vis in eadem directione est ac motio rei et angulum 0 ° format , opus positivum in re facit. Contra, si vis directionem oppositam directioni motionis rei habet et angulum 180 ° format , opus negativum in re facit.
Figura 3. Diagramma vis (F) – dislocationis (s). Opus aequale est areae umbrosae.
Opus a vi constanti in objectum factum, cum objectum motum patitur, aequale est areae umbratae in graphio vis (F) – positionis (s).
Opus litteris maiusculis W (denotatur), pondus autem litteris minusculis w (denotatur). Unitas operis in SI est Newton ∙ metrum (N m). Aequivalet Joule, abbreviato J.
Ita nominatus est ad honorem medici Britannici saeculi XIX , Iacobi Prescott Joule, exhibendum.
Exemplum quaestionis 1: Opus a vi constanti factum
Res in superficie pavimenti sine frictione quiescit. Vis decem Newtonii (10 N) adhibetur, angulum triginta graduum cum pavimento formans. Si res unum metrum longe movetur, quantum operis haec vis in rem perficit?
Solutio:
Nota: F = 10 N, s = 1 metrum
Quaesitum: Opus (V)
W = (F)(s)(cos 30 ° ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N m
Exemplum quaestionis II: Opus a vi constanti
Cocoes 0.2 kg in libere cadit ex altitudine decem metrorum a terra. Si acceleratio gravitatis est 10 m/s² , quantum operis a pondere in coco perficitur?
Solutio:
Nota: m = 0.2 kg, h = 10 m, g = 10 m/ s²
Opus desideratum (W) per pondus (w)
W = F s = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s² ) (10 m) = 20 kg m²/s² = 20 N m = 20 Joulia
1.1.2 Opus per vires variabiles
Exemplum vis variabilis est vis elastica. Quantitas vis elasticae perpetuo mutatur. Ergo, opus a vi elastica in objectum factum non potest computari utens formula laboris virium constantium (W = F s cos θ). Si elasticum extenditur, quo magis elasticum extenditur, eo maior vis tensile requiritur ad elasticum extendendum. Et si elasticum comprimitur, quo magis elasticum comprimitur, eo maior vis impulsiva requiritur. Cum elasticum comprimitur vel extenditur, vis elastica a 0 (x = 0) ad valorem maximum (F = kx) mutatur. Ergo, quantitas vis elasticae computatur utens media. Quantitas media vis elasticae est:
Opus a vi elastica in objectum factum est:
W = opus, x = Δx = deviatio elastica (metri), F = vis elastica (Newton).
Exemplum quaestionis 3: Opus a vi variabili
In fonte suspensum est pondus massae 1 kg, ergo fons 2 cm extenditur. Si acceleratio gravitatis 10 m/s² est , determina (a) constantem fontis (b) opus a vi fontis in pondus factum.
Solutio:
Nota: m = 1 kg, g = 10 m/s² , x = Δx = 2 cm = 0.02 m.
(a) constans elastica
(b) opus a vi elastica in pondere perfectum est
W = -1/2 kx² = -1/2 (500)(0.02) ² = – (250)(0.0004) = -0.1 Joule
Opus a vi elastica in pondere factum valorem negativum habet, cum directio vis elasticae opposita sit directioni translationis ponderis (vis elastica sursum est, pondus deorsum).
1.2 Opus Nettum sive Opus per Vim Nettam
Si una tantum vis in rem operatur cum res motum patitur, opus a vi netta factum aequale est operi a vi facto. Exempli gratia, si res in caduta libera est et restrictio aeris neglecta est, sola vis in rem operatur vis gravitatis. Hoc in casu, vis netta in rem operatur vis gravitatis est (vide figuram 2).
W rete = W gravitas
Si quaedam vires in rem agent cum res motum patitur, opus a vi netta factum aequale est operi netto omnium virium in rem agentium facto (vide figuram 1).
W rete = W 1 + W 2 + W 3 + W 4
Opus a vi netta in objectum factum etiam calculari potest inveniendo primum vim nettam et deinde eam multiplicando cum quantitate dislocationis.
W = ΣFs
Exemplum quaestionis quartae: Rete
Arca immota in superficie pavimenti vi 20 N impellitur donec arca unum metrum longe moveatur. Si vis impulsiva in eadem directione est ac dislocatio arcae et in arca vis frictionis cinetica 2 N operatur, determina quantitatem operis netti a vi netta in arcam effecti.
Solutio:
Nota: F = 20 N, fk = 2 N, s = 1 m
W₁ = F₂s = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 Joulia
W² = fks = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 Joulia
Opus netum vel opus a vi neta factum
W rete = W 1 - W 2 = 20 J - 2 J = 18 J
Exemplum quaestionis 4) Vis impulsiva (F) opus positivum facit, vis frictionalis cinetica (f<sub> k</sub> ) opus negativum facit.
