Rotae cingulis coniunctae – problemata et solutiones

Rotae cingulis coniunctae – problemata et solutiones

1. Tres rotae, ut demonstratur, coniungunturn in figura inferius.

Si R_A = 10 cm, R_B = 4 cm, et R_C = 40 cm. deinde ratio autem celeritas angularis rotae A et rotae C est …

Notum:

Radius rotae A (r)_A) = 10 cm

Radius rotae B (r)_B) = 4 cm

Radius rotae C (r)_C) = 40 cm

SE busca: proportio velocitatis angularis rotae A et rotae C

solution:

Velocitas angularis rotarum A et C

Tcircumferentia rotae A multo maior est quam circumferentia rotae C. Cum rota C uno circulo (360°) circulariter rotata est.^o), eodem tempore rota A nondum unum circulum (360^o). Ergo, celeritas angularis rotae A non est aequalis celeritati angulari rotae C.

Rota autem A et rota C funibus inter se conexae sunt, ita ut eodem tempore intervallo, spatium Spatium quod a margine rotae A percurrit aequale est spatio quod a margine rotae C percurrit. Ergo celeritas linearis marginis rotae C (v_C) aequalis celeritas linearis marginis rotae A (v)_A).

v_A v =_C

r_A ω_A r =_C ω_C

VI o*_A = 40 ω_C

ω_A / ω_C = 40 / 10

ω_A / ω_C = 4 / 1

2. Rotae B et C eundem axem rotationis habent et rota A tangit rotam B. Si radius rotae A = radius rotae C = 30 cm, radius rotae B = 60 cm, deinde rationem determina celeritas linearis inter rotas A, B, et C.

Notum:

Radius rotae A (r_A) = 30 cm = 0.3 metra

Radius rotae B (r)_B) = 60 cm = 0.6 metras

Radius rotae C (r)_C) = 30 cm = 0.3 metras

Quaesitum: Ratio celeritatis linearis inter rotas A, B, et C.

solution:

Celeritas linearis marginis rotael A * :

WCalx A et rota B inter se conexa sunt ut in figura infra monstratur, ergo velocitas angularis rotae A non est aequalis velocitati angulari rotae B. Hoc fit quia circumferentia rotae B maior est quam rota A. Eodem intervallo temporis, cum rota A... circa unum circulum (360^o), rota B nondum circum unum circulum (360^o). Attamen, eodem tempore, spatium a margine rotae A percursum aequale est spatio a margine rotae B percurso. Ergo velocitas linearis marginis rotae A (v_A) aequalis est velocitati lineari marginis rotae B (v_B).

Celeritas linearis marginis rotae A:

v_A r =_A ω_A = 0.3 ω_A

Tceleritas linearis marginis rotael B :

WCalx B et rota B inter se haerent, ergo rota B et rota C simul rotantur. Cum rota B unum circulum circumit (360^o) quam eodem tempore intervallo, rota C etiam circum unum circulum (360^o). Quoniam simul rotatur, celeritas angularis rotae B (ω_B) aequalis est celeritati angulari rotae C (ω_C) = ω. Sed celeritas linearis rotae B (vB) non est aequalis celeritati lineari rotae C (v_C)

Celeritas linearis marginis rotae B:

v_B r =_B ω_B = VI o*_B = VI o*

Celeritas linearis marginis rotae C:

v_C r =_C ω_C = VI o*_C = VI o*

Celeritas linearis marginis rotae A (v_A) eadem ac celeritas linearis marginis wheel B (v_B)

v_A v =_B

VI o*_A = VI o*

ω_A = 0.6 ω / 0.3

ω_A = 2 ω

Celeritas linearis marginis rotae A (v_A):

v_A = 0.3 ω_A = 0.3 (2 ω) = 0.6 ω

ratio est celeritatis linearis inter rotas A, B, et C.

vA: vB: v_C

0.6 ω : 0.6 ω : 0.3 ω

0.6:0.6:0.3

6: 6: 3

2: 2: 1