Expansio thermalis – problemata et solutiones

Expansio thermalis – problemata et solutiones

Expansio areae

1. Lamina ferrea ad 20^oC magnitudinem habet ut in figura infra ostenditur. Si coefficiens lExpansio auris pro chalybe est 10^{-5 o}C^-1 Quid igitur mutatur in area ad gradus 60?^oC.

Notum:

Longitudo ferri = 40 cm

Latitudo ferri = 20 cm

Initiale areae ferri (A_o) = (40)(20) = 800 cm²

Coefficiens expansionis linearis (α) = 10^{-5 o}C^-1

Coefficiens expansionis areae (β) = 2 × coefficiens expansionis linearis (2α) = 2 × 10^{-5 o}C^-1

Mutatio temperaturae (ΔT) = 60^oC - XL^o40 C =^oC

Quaesitum: Mutatio in area ferri ad 60^oC

solution:

Aequatio expansionis areae:

ΔA = βA_o T

ΔA = incrementum areae chalybis, β = Coefficiens expansionis areae, A_o = area initialis, ΔT = mutatio temperaturae = temperatura finalis – temperatura initialis

Incrementum in regione ferri:

ΔA = βA_o T

ΔA = (2 × 10^-5)(800)(40) = 0.64 cm

2. Lamina ferrea ad XX^oC in figura infra demonstratum est. Si temperatura ad 100 elevatur^oC et coefficiens expansionis linearis ferri est 1.1 × 10^{-7 o}C^-1, quae igitur est area finalis laminae?

Notum:

Longitudo laminae = 2 m

Latitudo laminae = 2 m

Area initialis ferri (A_o) = (2)(2) = 4 m²

Coefficiens expansionis linearis ferri (α) = 1.1 × 10^{-7 o}C^-1

Coefficiens expansionis areae pro ferro (β) = 2 × coefficiens expansionis linearis pro ferro (2α) = 2.2 × 10^{-7 o}C^-1

Mutatio temperaturae (ΔT) = 100^oC - XL^o80 C =^oC

voluit : Area ferri apud 100^oC

solution:

Incrementum longitudinis:

ΔA = βA_o T

ΔA = (2.2 × 10^-7)(4)(80) = 704 × 10^-7 0,0000704 = m,²

Area ferri:

Area ferri = area initialis + augmentum areae

Area ferri = 4 m²² + 0.0000704 metra²

Area ferri = 4.0000704 m²²

3. Lamina aenea cum coefficiente expansionis linearis α = 18.10^{-6 o}C^-1 ad 0^oC magnitudinem habet ut in figura infra monstratur. Si lamina ad 80° calefacta est... ^oC, quid igitur est augmentum areae laminae?

Notum:

Longitudo aeris = 40 cm = 0.4 metra

Latitudo aeris = 20 cm = 0.2 metra

Area initialis aenea (A_o) = (0.4)(0.2) = 0.08 m²

Coefficiens expansionis linearis aeris (α) = 18 × 10^{-6 o}C^-1

Coefficiens expansionis areae aeris (β) = 2 x Coefficiens expansionis linearis (2α) = 36 x 10^{-6 o}C^-1

Mutatio temperaturae (ΔT) = 80^oC - XL^o80 C =^oC

Quaesitum: Incrementum areae aeris ad 80^oC

solution:

Incrementum areae aeris:

ΔA = βA_o T

ΔA = (36 × 10^-6)(0.08)(80) = 230.4 × 10^-6 X x = CC^-4 m²

Expansio voluminis

4. Vas vitreum cum capacitate 4 litrorum aqua repletum, deinde calefactum donec temperatura augmentum 20°F sit.^oC. Aliquid aquae effusum est. Coefficiens expansionis linearis vitri = 9 × 10^{-6 o}C^-1; coefficiens expansionis voluminis aquae = 2.1 × 10^{-4 o}C^-1Volumen aquae effusae determina.

Notum:

Volumen initiale gasis et aquae (V_o) = 4 litrae

Incrementum temperaturae vitri et aquae (ΔT) = 20^oC

Coefficiens expansionis linearis vitri (α) = 9 × 10^{-6 o}C^-1

Coefficiens expansionis voluminis vitri (γ) = 3α = 3 (9 × 10^{-6 o}C^-1) = 27 × 10^{-6 o}C^-1

Coefficiens expansionis voluminis aquae (γ) = 2.1 × 10^{-4 o}C^-1

Quaesitum: Volumen aquae effusae

solution:

Aequatio expansionis voluminis:

V = V_o + γ V_o T

V-V_o = γ V_o T

ΔV = γV_o T

V= volumen ultimum, V_o = volumen initiale, ΔV = mutatio voluminis, γ = coefficiens expansionis voluminis, ΔT = mutationem temperaturae.

Mutatio voluminis vasis vitrei:

ΔV = γV_o ΔT = (27 × 10^-6)(4)(20) = 2160 × 10^-6 X x = CC^-3 = 0.002160 litrae

Mutatio voluminis aquae:

ΔV = γV_o ΔT = (2.1 × 10^-4)(4)(20) = 168 × 10^-4 = 0.0168 litrae

Mutatio voluminis aquae maior est quam vasis vitrei, ergo aliquid aquae effunditur.

Volumen aquae effusae:

0.0168 litrae – 0.002160 litrae = 0.01464 litrae = 0.015 litrae

5. Vas ferreum (coefficiens expansionis linearis = 10^{-5 o}C^-1) cum volumine 6 litrorum acetono repletum (coefficiens expansionis voluminis = 1.5 × 10^{-3 o}C^-1Si vas et acetonum ab 0 calefiunt.^oC ad 40^oC, quantum est volumen acetoni effusi?

Notum:

Volumen initiale vasis et acetoni (V_o) = 6 litrae

Mutatio temperaturae vasis et acetoni (ΔT) = 40^oC

Coefficiens expansionis linearis pro chalybe (α) = 10^{-5 o}C^-1

Coefficiens expansionis voluminis pro chalybe (γ) = 3α = 3 (10^{-5 o}C^-1) = 3 × 10^{-5 o}C^-1

Coefficiens expansionis voluminis acetoni (γ) = 1.5 × 10^{-3 o}C^-1

Quaesitum: Volumen acetoni effusi

solution:

Aequatio expansionis voluminis:

ΔV = γV_o T

ΔV = mutatio voluminis, γ = coefficiens expansionis voluminis: V_o = volumen initiale, ΔT = mutatio temperaturae.

Mutatio voluminis vasis ferrei:

ΔV = γV_o ΔT = (3 × 10^-5)(6)(40) = 720 × 10^-5 = 0.00720 litrae

Mutatio voluminis acetoni:

ΔV = γV_o ΔT = (1.5 × 10^-3)(6)(40) = 360 × 10^-3 = 0.360 litrae

Mutatio voluminis acetone maior est quam ferrum, vas, ergo aliqua acetonumdiripio.

Volumen acetoni effusum:

0.360 litrae – 0.00720 litrae = 0.3528 litrae = 0.35 litrae

1. Quid est expansio thermalis?
   • Responsum: Expansio thermalis significat proclivitatem materiae ad volumen suum mutandum propter mutationem temperaturae.
2. Quomodo expansio thermalis densitatem substantiae afficit?
   • Responsum: Dum substantia expansionem thermalem subit, volumen eius augetur, quod ad decrementum densitatis eius ducit, si massa eius constans manet.
3. Cur hiatus inter partes pontium et vias ferreas existunt?
   • Responsum: Hae rimae, saepe commissurae expansionis appellatae, ad expansionem et contractionem materiae propter mutationes temperaturae accommodandam destinantur, deformationem vel damnum potentiale prohibentes.
4. Quid interest inter expansionem linearem, volumetricam, et aream?
   • Responsum: Expansio linearis mutationem unius dimensionis refert (ut longitudinis virgae); expansio areae mutationem duarum dimensionum refert (ut area superficialis laminae); et expansio volumetrica mutationem omnium trium dimensionum pertinet (ut volumen liquidi).
5. Quomodo coefficiens expansionis linearis determinatur?
   • Responsum: Definitur ut fractio mutationis longitudinis per gradum mutationis temperaturae sub pressione constanti. Pro substantia, mutatio longitudinis (∆L) ob mutationem temperaturae (∆T) datur per ∆L=αL₀​∆T, ubi L₀​ est longitudo initialis et $\alpha$ est coefficiens expansionis linearis.
6. Cur laminae bimetallicae flectuntur cum calefiunt vel refrigerantur?
   • Responsum: Lamina bimetallica ex duobus metallis diversis inter se conexis constat. Cum unumquodque metallum proprium coefficientem expansionis thermalis habeat, diversa celeritate expandunt vel contrahunt cum temperatura mutatur. Haec expansio differentialis laminam flectere facit.
7. Quomodo phaenomenon expansionis thermalis ad elevationem maris pertinet?
   • Responsum: Pars ascensus maris dilatationi thermali aquae marinae attribui potest. Cum temperatura Telluris crescit, oceani calefiunt, quod ad dilatationem aquae et consequentem augmentum maris ducit.
8. Quid fit in "expansione anomala aquae"?
   • Responsum: Aqua, dissimilis plerisque substantiis, expandit dum a 4°C ad 0°C refrigescit, deinde contrahitur cum gelat. Haec anomalia significat aquam densitatem maximam habere ad 4°C. Haec est causa cur glacies (quae minus densa est quam aqua liquida) super aquam natat.
9. Cur expansio thermalis in arte ingeniaria et constructione magni momenti est?
   • Responsum: Materiae expandunt vel contrahunt cum temperaturae mutantur. Nisi expansionem thermalem computaveris, structurae nimium laborem, deformationem, vel defectum pati possunt. Ingeniarii et architecti proprietates designandi incorporant ut has mutationes tuto tractent.
10. Num expansio thermalis inverti potest?

• Responsum: Ita, plerumque cum materia refrigeratur, contractionem thermalem subit, quae expansioni thermali contraria est. Gradus et natura huius contractionis a materia et condicionibus pendebunt.