Expansio thermalis – problemata et solutiones

Expansio thermalis – problemata et solutiones

Expansio areae

1. Lamina ferrea ad 20 ^° C magnitudinem habet ut in figura infra monstratur. Si coefficiens expansionis linearis ferri est 10⁻⁵ ^{° C⁻¹} , ^quaenam est mutatio areae ad 60 ^° C?

Notum:

Longitudo ferri = 40 cm

Latitudo ferri = 20 cm

Area initialis chalybis (A₂ ₎ = (40)(20) = 800 ^cm₂

Coefficiens expansionis linearis (α) ^{= 10⁻⁵ °} C⁻¹

Coefficiens expansionis areae (β) = 2 x coefficiens expansionis linearis (2α) = 2 ^{x 10⁻⁵ °} C⁻¹

Mutatio temperaturae (ΔT) = 60 ^° C – 20 ^° C = 40 ^° C

Quaesitum: Mutatio areae ferri ad 60 ^° C

solution:

Aequatio expansionis areae:

ΔA = βA _o ΔT

ΔA = incrementum areae ferri, β = coefficiens expansionis areae, A₂o ₌ area initialis, ΔT = mutatio temperaturae = temperatura finalis – temperatura initialis

Incrementum areae ferri:

ΔA = βA _o ΔT

A = (2 x 10 ^-5 )(800)(40) = 0.64 cm

2. Lamina ferrea ad 20 ^° C in figura infra demonstrata est. Si temperatura ad 100 ^° C elevatur et coefficiens expansionis linearis ferri 1.1 × 10⁻⁷ ^{° C⁻¹} est , quae est area finalis laminae^?

Notum:

Longitudo laminae = 2 m

Latitudo laminae = 2 m

Area initialis ferri (A₂o ₎ = (2)(2) = 4 ^m²

Coefficiens expansionis linearis ferri (α) = 1.1 ^{× 10⁻⁷ °} C⁻¹

Coefficiens expansionis areae pro ferro (β) = 2 x coefficiens expansionis linearis pro ferro (2α) = 2.2 ^{x 10⁻⁷ °} C⁻¹

Mutatio temperaturae (ΔT) = 100 ^° C – 20 ^° C = 80 ^° C

Quaesita : Area ferri ad 100 ^° C

solution:

Incrementum longitudinis:

ΔA = βA _o ΔT

ΔA = (2.2 × 10⁻⁷ ⁾ (4)(80) = 704 × ^10⁻⁷ = 0,0000704 ^m²

Area ferri:

Area ferri = area initialis + augmentum areae

Area ferri = 4 m² ⁺ 0.0000704 ^m²

Area ferri = 4.0000704 ^m²

3. Lamina aenea cum coefficiente expansionis linearis α = 18.10⁻⁶ ^{° C⁻¹} ad 0 ^{° C} magnitudinem habet ut in figura infra monstratur. Si lamina ad 80 ^° C calefacta est, quid est incrementum areae laminae?

Notum:

Longitudo aeris = 40 cm = 0.4 metra

Latitudo aeris = 20 cm = 0.2 metra

Area initialis aeris (A₂o ₎ = (0.4)(0.2) = 0.08 ^m²

Coefficiens expansionis linearis aeris (α) = 18 ^{× 10⁻⁶ °} C⁻¹

Coefficiens expansionis areae aeris (β) = 2 x Coefficiens expansionis linearis (2α) = 36 ^{x 10⁻⁶ o} C⁻¹

Mutatio temperaturae (ΔT) = 80 ^° C – 0 ^° C = 80 ^° C

Quaesitum: Augmentum areae aeris ad 80 ^° C

solution:

Incrementum areae aeris:

ΔA = βA _o ΔT

ΔA = (36 × 10⁻⁶ ^{) (} 0.08)(80) = 230.4 × 10⁻⁶ ⁼ 2.304 × ^10⁻⁴ m²

Expansio voluminis

4. Vas vitreum voluminis 4 litrorum aqua repletum, deinde calefactum donec temperatura 20 ^° C augeatur. Aliquid aquae effusum est. Coefficiens expansionis linearis vitri = 9 × 10⁻⁶ ° ^{C⁻¹ ;} coefficiens expansionis voluminis aquae = 2.1 × ^{10⁻⁴ ° C⁻¹ .} Volumen aquae effusae determina.

Notum:

Volumen initiale gasis et aquae (V _o ) = 4 litrae

Incrementum temperaturae vitri et aquae (ΔT) = 20 ^° C

Coefficiens expansionis linearis vitri (α) = 9 ^{× 10⁻⁶ °} C⁻¹

Coefficiens expansionis voluminis vitri (γ) = 3α = 3 (9 × 10⁻⁶ ^{° C⁻¹ )} = ²⁷ × ^{10⁻⁶ °} C⁻¹

Coefficiens expansionis voluminis aquae (γ) = 2.1 ^{× 10⁻⁴ °} C⁻¹

Quaesitum: Volumen aquae effusae

solution:

Aequatio expansionis voluminis:

V = V₂o ₊ γ _V₂o ΔT

V – V₂o ₌ γ _V₂o ΔT

ΔV = γ V _o ΔT

V = volumen finale , V₂ = volumen initiale , ΔV = mutatio voluminis , γ = coefficiens expansionis voluminis , ΔT = mutatio temperaturae_.

Mutatio voluminis vasis vitrei:

ΔV = γV _o ΔT = (27 × 10⁻⁶ ⁾ (4)(20) = 2160 × ^10⁻⁶ = 2.160 × ^10⁻³ = 0.002160 litrae.

Mutatio voluminis aquae:

ΔV = γ V _o ΔT = (2.1 × ^10⁻³ )(4)(20) = 168 × ^10⁻³ = 0.0168 litrae

Mutatio voluminis aquae maior est quam vasis vitrei, ergo aliquid aquae effunditur.

Volumen aquae effusae:

0.0168 litrae – 0.002160 litrae = 0.01464 litrae = 0.015 litrae

5. Vas ferreum (coefficiens expansionis linearis = 10⁻⁵ ^{° C⁻¹} ) ^volumine 6 litrorum acetono repletum (coefficiens expansionis voluminis = 1.5 × 10⁻³ ^{° C⁻¹} ) ^{. Si vas et acetonum a 0 °} C ad 40 ^° C calefiunt , quod est volumen acetoni effusi?

Notum:

Volumen initiale vasis et acetoni (V _o ) = 6 litrae

Mutatio temperaturae vasis et acetoni (ΔT) = 40 ^° C

Coefficiens expansionis linearis pro chalybe (α) ^{= 10⁻⁵ °} C⁻¹

Coefficiens expansionis voluminis pro chalybe (γ) = 3α = 3 (10⁻⁵ ^{° C⁻¹ )} = ³ × ^{10⁻⁵ °} C⁻¹

Coefficiens expansionis voluminis acetoni (γ) = 1.5 ^{× 10⁻³ °} C⁻¹

Quaesitum: Volumen acetoni effusi

solution:

Aequatio expansionis voluminis:

ΔV = γ V _o ΔT

ΔV = mutatio voluminis , γ = coefficiens expansionis voluminis , Vo ₌ volumen initiale , ΔT = mutatio temperaturae.

Mutatio voluminis vasis ferrei:

ΔV = γV _o ΔT = (3 × 10⁻⁵ ⁾ (6)(40) = 720 × ^10⁻⁵ = 0.00720 litrae

Mutatio voluminis acetoni:

ΔV = γ V _o ΔT = (1.5 × ^10⁻³ )(6)(40) = 360 × ^10⁻³ = 0.360 litrae

Mutatio voluminis acetoni maior est quam in vase ferreo , ergo quaedam pilulae acetoni .

Volumen acetoni effusum:

0.360 litrae – 0.00720 litrae = 0.3528 litrae = 0.35 litrae

1. Quid est expansio thermalis?
   • Responsum: Expansio thermalis significat proclivitatem materiae ad volumen suum mutandum propter mutationem temperaturae.
2. Quomodo expansio thermalis densitatem substantiae afficit?
   • Responsum: Dum substantia expansionem thermalem subit, volumen eius augetur, quod ad decrementum densitatis eius ducit, si massa eius constans manet.
3. Cur hiatus inter partes pontium et vias ferreas existunt?
   • Responsum: Hae rimae, saepe commissurae expansionis appellatae, ad expansionem et contractionem materiae propter mutationes temperaturae accommodandam destinantur, deformationem vel damnum potentiale prohibentes.
4. Quid interest inter expansionem linearem, volumetricam, et aream?
   • Responsum: Expansio linearis mutationem unius dimensionis refert (ut longitudinis virgae); expansio areae mutationem duarum dimensionum refert (ut area superficialis laminae); et expansio volumetrica mutationem omnium trium dimensionum pertinet (ut volumen liquidi).
5. Quomodo coefficiens expansionis linearis determinatur?
   • Responsum: Definitur ut fractio mutationis longitudinis per gradum mutationis temperaturae sub pressione constanti. Pro substantia, mutatio longitudinis (∆L) ob mutationem temperaturae (∆T) datur per ∆L=αL₀​∆T, ubi L₀​ est longitudo initialis et $\alpha$ est coefficiens expansionis linearis.
6. Cur laminae bimetallicae flectuntur cum calefiunt vel refrigerantur?
   • Responsum: Lamina bimetallica ex duobus metallis diversis inter se conexis constat. Cum unumquodque metallum proprium coefficientem expansionis thermalis habeat, diversa celeritate expandunt vel contrahunt cum temperatura mutatur. Haec expansio differentialis laminam flectere facit.
7. Quomodo phaenomenon expansionis thermalis ad elevationem maris pertinet?
   • Responsum: Pars ascensus maris dilatationi thermali aquae marinae attribui potest. Cum temperatura Telluris crescit, oceani calefiunt, quod ad dilatationem aquae et consequentem augmentum maris ducit.
8. Quid fit in "expansione anomala aquae"?
   • Responsum: Aqua, dissimilis plerisque substantiis, expandit dum a 4°C ad 0°C refrigescit, deinde contrahitur cum gelat. Haec anomalia significat aquam densitatem maximam habere ad 4°C. Haec est causa cur glacies (quae minus densa est quam aqua liquida) super aquam natat.
9. Cur expansio thermalis in arte ingeniaria et constructione magni momenti est?
   • Responsum: Materiae expandunt vel contrahunt cum temperaturae mutantur. Nisi expansionem thermalem computaveris, structurae nimium laborem, deformationem, vel defectum pati possunt. Ingeniarii et architecti proprietates designandi incorporant ut has mutationes tuto tractent.
10. Num expansio thermalis inverti potest?

• Responsum: Ita, plerumque cum materia refrigeratur, contractionem thermalem subit, quae expansioni thermali contraria est. Gradus et natura huius contractionis a materia et condicionibus pendebunt.