Exempla quaestionum de vi gravitatis

IX Exempla Quaestionum de Vi Gravitationali

1. Ratio massarum planetarum A et B est 2:3, dum ratio radiorum planetarum A et B est 1:2. Si pondus obiecti in planeta A est w, tum Berat Obiectum in planeta B est…

A. 3/8 w

B. 3/4 p

C. dimidia hebdomada

D. 4/3 hebdomadae

E. 8/3 hebdomadae

Disputatio

Notum est :

Massa planetae A (m²)_A) II =

Massa planetae B (m²)_B) II =

Radius planetae A (r_A) II =

Radius planetae B (r_B) II =

Massa obiecti = m

Pondus obiecti in planeta A = w

Rogatus Pondus obiecti in planeta B

Jawab :

Formula gravitatis derivatur ex Lex gravitatis Newtoni est:

Descriptio: w = pondus, G = constans gravitatis universalis, M = massa planetae, m = massa obiecti, r = distantia obiecti a centro planetae. Si obiectum in superficie planetae est, tum r = radius planetae.

Massa obiecti eadem est, ergo "m" cum "w/2G" substitue.

Responsum rectum est A.

2. Rocheta cum massa w verticaliter sursum a superficie Telluris emittitur. Si D est diameter Telluris, tum cum exacte rocheta ad altitudinem 0,5 D supra superficiem Telluris est, pondus rochetae est...

A. 4 h

B. 2 h

C. w.

D. 0,5 w

E. 0,25 w

Disputatio

Constat:

Pondus rochetae = w

Radius Telluris = distantia a centro Telluris = R

Diameter Terrae = D = 2R

Rogatus/a: Pondus rochetae cum rocheta est ad altitudinem 0,5 D a superficie terrae

Responsum:

0,5 D = 0,5 (2R) = R

Distantia rochetae a centro terrae = radius terrae + distantia rochetae a superficie terrae = R + R = 2R

Pondus est vis gravitatis in rem agens. Vis gravitatis (F) est inverse proportionalis quadrato distantiae a centro Terrae (R), ergo pondus est inverse proportionale quadrato distantiae.

Responsum rectum est E.

3. Tabula datorum physicorum pro obiecto A et obiecto B respectu superficiei terrae quae radium R habet. Comparatio roboris campi gravitatis obiecti A cum obiecto B est...

A. 2:1

B. 4:1

C. 1: 4

D. 9:4

E. 4:9

Disputatio

Notum est :

Massa obiecti A (m²)_A) II =

Massa obiecti B (m_B) II =

Distantia obiecti A a planeta Terra (r_A) II =

Distantia obiecti B a planeta Terra (r_B) II =

Rogatus : comparatio roboris campi gravitatis obiecti A (g_A) cum obiecto B (g_B)

Jawab :

Formula pro robore campi gravitatis Telluris:

Descriptio: g = vis campi gravitatis Telluris, G = constans gravitatis universalis, m_B = massa terrae, r_B = radius terrae

Comparatio roboris campi gravitatis obiecti A (g_A) cum obiecto B (g_B)

g_A : g_B

G : G/2

1: 1/2

2: 1

Responsum rectum est A.

4. Si positio obiecti A est 1/2 R supra superficiem terrae, dum positio obiecti B est 2R supra superficiem terrae (R = radius terrae), tum proportio virium campi gravitatis quas obiecta A et B expertae sunt est...

A. 1:8

B. 1:4

C. 2: 3

D. 4:1

E. 8:1

Disputatio

Notum est :

Distantia obiecti A a centro terrae = 0,5R + R = 1,5R = 1,5

Distantia obiecti B a centro terrae = 2R + R = 3R = 3

Rogatus : comparatio roboris campi gravitatis ab obiectis A et B experti

Jawab :

Comparatio roboris campi gravitatis ab obiectis A et B experti :

Responsum rectum est D.

5. Astronauta in superficie terrae campum gravitatis numeri g experitur, ergo cum ad altitudinem 1,5 R a superficie terrae sit, campum gravitatis numeri ... experietur (R = radius terrae).

A. g/0,50

B. g/2,25

Centigradum/6,25

D. g/7,50

Exempli gratia/6,00

Disputatio

Vis gravitatis (F) directe proportionalis est campo gravitatis (g). Quo maior vis gravitatis, eo maior campus gravitatis. Vis gravitatis (F) quam obiectum patitur directe proportionalis est 1/r.², ubi r = distantia obiecti a centro terrae. Quia vis gravitatis directe proportionalis est ad 1/r² tum campus gravitatis (g) etiam directe proportionalis est ad 1/r².

Cum astronauta in superficie terrae distantia R (R = radius terrae) a centro terrae est, campus gravitatis quem experitur est g. Hoc per calculationem sequentem probari potest:

Campus gravitatis (g) proportionalis est 1/R²Si R = 1, tum 1 / R² = 1 / 1² = 1 / 1 = 1. Si distantia astronautae a centro terrae = 1, tum campum gravitatis = (g)(1) = g experitur.

Distantia astronautae a centro terrae est 1,5R = 1,5(1) = 1,5, ergo campum gravitatis experitur: 1 / R.² = 1 / 1,5² = 1 / 2,25. Ergo si distantia astronautae a centro terrae = 1,5, tum campum gravitatis experitur = (g)(1 / 2,25) = g / 2,25.

Responsum rectum est B.

6. Comparatio roboris campi gravitatis Telluris pro duobus obiectis, uno in superficie Telluris et altero in altitudine dimidii R a superficie Telluris (R = radius Telluris), est...

A. 1:2

B. 2:3

C. 3: 2

D. 4:9

E. 9:4

Disputatio

Notum est :

Distantia obiecti A a centro terrae (r_A) = R = 1

Distantia obiecti B a centro terrae (r_B) = 0,5R + R = 1,5R = 1,5

Rogatus : comparatio roboris campi gravitatis ab obiectis A et B experti

Jawab :

Comparatio roboris campi gravitatis ab obiectis A et B experti :

Responsum rectum est E.

7. Quanta est vis gravitatis inter terram et rem supra superficiem terrae sita? Massa Telluris = 5,97 × 10²⁴ kg, massa obiecti = 1000 kg, radius terrae = 6,38 × 10⁶ metra. Quod est pondus vel vis gravitatis terrae agentis in rem si computatur utens formula legis secundae Newtoni ubi acceleratio gravitatis (g) = 9,8 m/s² ?
Disputatio
Constat:
Massa Telluris (m_B) = 5,97 × 10²⁴ kg
Massa obiecti (m_b) II =³ kg
Radius Telluris (r) = 6,38 × 10⁶ meter
Constans gravitationis universalis (G) = 6,67 × 10^-11 Nm² / kg²
Acceleratio gravitatis (g) = 9,8 m/s²
Quaesitum est: quanta est vis gravitatis?
Responsum:

Magnitudo vis gravitatis inter terram et obiectum (formula Newtoni de lege gravitatis utens):
Descriptio w = F = vis gravitatis, G = constans gravitatis universalis, mB = massa terrae, mb = massa obiecti, r = distantia inter centrum terrae et centrum obiecti. Obiectum in superficie terrae situm est ita ut r = radius terrae.
Pondus rei (formula legis secundae Newtoni utens):
w = mg = (1000)(9,8) = 9800 Newtoni
Compara hoc calculum cum priori. Valores propter rotundationem fere idem sunt. Concludi potest pondus obiecti in superficie Telluris esse vim gravitatis Telluris agentis in obiectum in superficie Telluris.

8. Quae est vis gravitatis inter terram et rem in altitudine decem milium metrorum supra solum? Massa Telluris = 5,97 × 10²⁴ kg, massa obiecti = 1000 kg, radius terrae = 6,38 × 10⁶ meter.
Disputatio:

Confer cum responso numero 1. Quo longius a terra, eo minus pondus rei.

9. Rocheta gravis est. w verticaliter sursum a superficie terrae emissa. Si D est diameter terrae, determina pondus rochetae cum rocheta est ad altitudinem 2D a superficie terrae.
Disputatio
Constat:
D = diameter terrae, R = radius terrae, 1 D = 2 R, 2 D = 4 R
Quaestio: Quantum est pondus rochetae cum ad altitudinem 2D pervenit?
Responsum:
Vis ponderis sive vis gravitatis est inverse proportionalis quadrato distantiae. Mathematice:

Quaestiones de vi gravitatis

1. Quanta est vis gravitatis inter terram et rem supra superficiem terrae sita? Massa Telluris = 5,97 × 10²⁴ kg, massa obiecti = 2000 kg, radius terrae = 6,38 × 10⁶ metra. Quod est pondus vel vis gravitatis terrae agentis in rem si computatur utens formula legis secundae Newtoni ubi acceleratio gravitatis (g) = 9,8 m/s² ?
2. Quae est vis gravitatis inter terram et rem in altitudine decem milium metrorum supra solum? Massa Telluris = 5,97 × 10²⁴ kg, massa obiecti = 2000 kg, radius terrae = 6,38 × 10⁶ meter.
3. Rocheta gravis est. w verticaliter sursum a superficie terrae emissa. Si D est diameter terrae, determina pondus rochetae cum rocheta ad altitudinem 3D a superficie terrae est.