Quomodo Deviationem Standardem Calculare
Deviatio standardis est una ex mensuris statisticis frequentissime adhibitis ad determinandum quomodo "dispersa" data a media sua sint. In vita reali, deviatio standardis nobis adiuvat ad intellegendam stabilitatem vel variationem phaenomeni: exempli gratia, variationes in notis examinum, fluctuationes venditionum, differentias in altitudinis, et etiam pericula in datis pecuniariis. Quo minor deviatio standardis, eo propius data ad mediam sunt. Contra, magna deviatio standardis indicat data longe a media esse et magnam variationem habere.
Hic articulus significationem deviationis standardis, formulam adhibitam, et gradus ad eam manu calculandam per exempla facile intellegenda tractabit.
1. Definitio Deviationis Standardis
Deviatio standardis est radix quadrata variantiae. Variantia ipsa est media quadratorum differentiarum inter singula puncta datorum et mediam. Cur quadratum adhibendum est? Quia differentiae inter puncta datorum et mediam vel negativae vel positivae esse possunt. Si directe adduntur, differentiae negativae et positivae se invicem delere possunt, unde resultata falsa oriuntur. Quadrando differentias, omnes valores positivi fiunt, quo accuratior mensura distributionis datorum permittitur.
Simpliciter:
– Variantia = mensura dispersionis in unitatibus “quadratis”.
– Deviatio standardis = mensura dispersionis quae ad unitates originales datorum rediit.
Exempli gratia: si data in forma punctorum probationum (unitatibus punctorum) sunt, variantia in punctis erit, dum deviatio standard iterum in punctis erit, quod interpretationem faciliorem reddit.
2. Deviatio Standard Populationis contra Exemplum
Antequam calcules, interest scire qualia data habeas:
1. Populatio: data omnes sodales qui investigandi sunt includunt.
Formula deviationis standardis populationis divisore N (numero datorum) utitur.
2. Exemplum: data tantum pars populationis sunt, plerumque ad maiorem populationem repraesentandam adhibita.
Formula deviationis standardis exemplaris divisorem (n − 1) ad corrigendum errorem aestimationis adhibet. Haec correctio correctio Besseliana appellatur.
In usu quotidiano (e.g. investigatione, inquisitionibus, analysi classium), data saepe pro exemplo habentur, ergo divisor est (n − 1).
3. Formula Deviationis Standardis
A. Formula Deviationis Standardis Populationis
Ponamus data: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Media incolarum:
\[
μ = \frac{\summa_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Variatio populationis:
\[
∫sigma² = ∫summa_i=1(x_i – μ)²/N
\]
Deviatio standard populationis:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Formula Deviationis Standardis Exemplaris
Media exempli:
\[
`x` = \frac{\summa_{i=1}^{n} x_i}{n}`
\]
Variantia exemplaris:
\[
s^² = \frac{\summa_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^²}{n – 1}
\]
Deviatio standardis exempli:
\[
s = \sqrt{s^²}
\]
4. Gradus ad Deviationem Standardem Manualiter Calculandam
Ut facilius intellegatur, exemplo quinque discipulorum in notis examinum utimur:
Data: 60, 70, 70, 80, 90
Hoc datum exemplum esse supponamus (vulgo in exemplis discendis).
Gradus 1: Mediam computa
\[
`x` = 60 + 70 + 70 + 80 + 90/5 = 370/5 = 74.
\]
Ergo media nota est 74.
Gradus 2: Differentiam inter singula data et mediam computa.
Columnam differentiae crea ((x_i – x))):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Gradus III: Differentiam quadrata
Calcula ((x_i – \bar{x})^²):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Gradus IV: Quadrata differentiarum adde.
\[
Summa (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520.
\]
Gradus V: Variantiam computa (pro exemplo, divide per n − 1)
Quoniam n = 5, tum n − 1 = 4:
\[
s^² = \frac{520}{4} = 130
\]
Ergo variantia exempli est 130.
Gradus VI: Radix quadrata variantiae ad deviationem standardem obtinendam
\[
s = circiter 130, circiter 11, 40
\]
Ergo deviatio standardis datorum est circiter 11,40. Hoc significat, mediocriter, notas discipulorum circiter 11 punctis a media 74 deviare.
5. Via Celeris: Formula Alternativa (Computatio)
Praeter modum manualem supra descriptum, formula computandi saepe adhibetur ad celeritatem computationum, praesertim si multa data sunt:
Variantia exemplaris:
\[
s^² = \frac{\summa x_i^² – \frac{(\summa x_i)^²}{n}}{n – 1}
\]
Haec formula differentias singillatim computare vitat, sed tamen praecisionem requirit cum summa quadratorum datorum computatur.
Attamen, ad intellectum conceptualem, methodus gradatim (differentia → quadratum → summa) plerumque facilior et ab erroribus tutior est.
6. Interpretatio Deviationis Standardis
Deviatio standardis non solum ad numeros subsistit, sed interpretanda est:
– Deviatio standard parva: data prope mediam congregantur, variatio humilis est, eventus constantius sunt.
– Magna deviatio standardis: data longe a media dispersa sunt, variatio magna est, eventus minus constant.
Exempli gratia, ponamus duas classes eandem mediam notam habere, 74. Si classis A deviationem standardem 5 et classis B deviationem standardem 15 habet, tum notae in classe A aequabiliores et stabiliores sunt. Classis B maiorem variationem habet: quaedam sunt infimae et quaedam sunt infimae.
7. Errores Communes
Errores communes in computatione deviationis standardis:
1. Oblitus sum distinguere inter specimen et populationem, ergo divisor erroneus est (N contra n − 1).
2. Mediam perperam computare, quod efficit ut omnes gradus subsequentes erronei sint.
3. Oblivisci differentiam quadrare, vel errare cum radicem quadratam in fine sumis.
4. Errores arithmetici in addendis vel computandis quadratis numerorum.
Errores vitare potes per tabulam calculationis creatam et eventus bis verificandos.
Extrema
Computare deviationem standardem re vera non difficile est si recte gradus sequeris: mediam computa, differentiam inter singula data inveni, differentias quadrato eleva, eas simul adde, divide (per n vel n − 1), deinde radicem quadratam extrahe. Intellegendo deviationem standardem, aestimare potes quam constantia tua data sint et quanta variatio sit.
Si vis, exempla additionalia cum pluribus datis, exempla datorum coacervatorum (tabulas frequentiarum), vel quomodo deviationem standardem utens Excel/Google Sheets computare, creare possum.
