Materia Legis Archimedis
Numquamne navem vidisti? Si nondum in persona vidisti, fortasse in televisione vel interreti vidisti. Navis magnae massae non submergitur, dum parvum et leve saxum potest. Cur ita est? Responsum satis simplex est si notiones flotabilitatis et principium Archimedis intellegis.
In vita cotidiana, inveniemus res in fluido positas, ut saxum, minus ponderis habere quam cum res in fluido non est. Difficulter fortasse saxum a superficie soli tolles, sed idem saxum facile a fundo piscinae tollitur. Hoc propter vim sustentationis fit. Sustentatio fit propter differentiam pressionis fluidi ad diversas profunditates. Pressio fluidi cum profunditate crescit; quo profundior fluidum, eo maior pressio fluidi. Cum res in fluido ponitur, differentia pressionis erit inter fluidum supra rem et fluidum infra rem. Fluidum in fundo rei situm maiorem pressionem habet quam fluidum in summo rei situm.
Flotatio
In imagine, res in aqua fluitans videtur. Liquor sub re maiorem pressionem habet quam liquor supra rem. Hoc fit quia liquor sub re maiorem profunditatem habet quam liquor supra rem (h2 > h1).
F2 = vis a fluido in fundum obiecti exercita, F1 = vis a fluido in summum obiecti exercita, A = area superficialis obiecti
Differentia inter F2 et F.1 est vis totalis a fluido in obiectum exercita, quam vim sustentatricem (vel "vim sustentatricem") appellamus. Magnitudo vis sustentatricis est:
F flotabilitatis = F2 − F1
F flotabilitatis = (ρ gh2 A) − (ρ gh1 A)
F flotabilitatis = ρ g A (h2 - h1)
F flotabilitatis = ρ g A h
F flotabilitatis = ρ g V
dictis:
ρ = densitas fluidi
g = acceleratio gravitatis
V = volumen obiecti in fluido
ita ut aequatio quae magnitudinem vis sustentatricis (F sustentatricis) supra indicat, sic scribi possit:
F flotabilitatis = ρF g V → m = ρ V
F flotabilitatis = mF g
F flotabilitatis = wF
mF g = wF = pondus fluidi quod idem volumen habet ac volumen rei submersae.
Principium Archimedis
Ex aequatione supra, dicere possumus vim sustentationis aequalem esse ponderi fluidi dispelli, volumen fluidi dispelli aequale esse volumini obiecti in fluido immersæ.
Si res in fluido immergitur et fluitat, parte tantum rei submersa, volumen fluidi dislocati aequale est volumini partis rei in fluido submersae. Quamvis forma vel magnitudine rei, idem omnibus eveniet. Hoc est opus Archimedis (287-212 a.C.n.), quod nunc Principium Archimedis appellatur.
Principium Archimedis dicit:
Cum res in fluido vel omnino vel partim immergitur, fluidum vim sursum versus (vis sustentationis) in rem exercebit, ubi magnitudo vis sursum versus (vis sustentationis) ponderi fluidi deiecti aequalis est.
Fabula Archimedis
Archimedes, qui inter annos 287 et 212 a.C.n. vixit, a rege Hierone II mandatum accepit ut investigaret num corona regi facta ex auro puro facta esset. Archimedes initio confusus erat utrum corona ex auro puro facta esset an alia metalla contineret. Problema erat quod corona forma inaequalis erat et deleri non poterat ut determinaretur utrum aurum purum esset.
Ratio post determinandum utrum corona regis ex auro puro facta sit est primum gravitatem specificam coronae determinare, deinde eam cum gravitate specifica auri comparare. Si corona ex auro puro facta est, tum gravitas specifica coronae = gravitas specifica auri.
Gravitas specifica rei est proportio ponderis rei in aere ad pondus aquae eiusdem voluminis ac res. Mathematice, scribitur:
Quomodo pondus aquae, cuius volumen idem ac volumen rei est, determinari potest?
Secundum Archimedem, pondus aquae cuius volumen idem est quam volumen rei = magnitudo vis sustentationis cum res submergitur (tota res in aqua submergitur). Hoc idem est ac pondus rei amissae cum in aqua ponderatur. Ita:
Ad gravitatem specificam coronae determinandam, corona primum in aere ponderatur (Pondus Coronae in Aere). Deinde, corona in aquam immergitur et iterum ponderatur ad pondus coronae amissae obtinendum. Ita:
Postquam gravitas specifica coronae obtenta est, cum gravitate specifica auri comparatur. Gravitas specifica auri est 19,3. Si gravitas specifica coronae gravitati specificae auri aequat, corona ex auro puro facta est. Attamen, si corona non ex auro puro facta est, gravitas specifica coronae non eadem erit ac gravitas specifica auri.
Cur Naves Non Submerguntur?
Si densitas rei minor est densitate aquae, res natabit. Contra, si densitas rei maior est densitate aquae, res submergebitur. Pleraeque naves ex ferro et chalybe fiunt. Densitas ferri et chalybis = 7,8 × 10⁻⁵.3 kg / m3 cum densitas aquae = 1,00 × 103 kg / m3Videtur densitatem ferri et chalybis maiorem esse densitatem aquae. Hoc in casu, gravitas specifica ferri et chalybis = 7,8. Naves ex ferro et chalybe factae mergi debent. Cur naves non merguntur? Densitas totalis navis minor est quam densitas aquae vel aquae marinae.
Exempla quaestionum de lege Archimedis
Exemplum quaestionis quartae:
Saxum quadraginta chiliogrammatum in fundo piscinae est. Si volumen saxi = 0,2 m3 quanta vis minimum requisitum ad lapidem tollendum?
Disputatio
Constat:
Massa lapidis (m) = 40 Kg
Volumen lapidis (V) = 0,02 m²3
Densitas aquae = 1000 kg/m²3
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/s2
Rogatus/a: F minimum
Responsum:
F flotabilitatis = w F
F flotabilitatis = m F g → m = pV
F flotabilitatis = ρ F g V
F flotabilitatis = (1000 kg/m3 )(10 m/s2)(0,02 m3)
F flotabilitatis = 200 kg m/s2
F flotabilitatis = 200 N
Pondus lapidis (w) = mg
Pondus lapidis = (40 kg)(10 m/s)2)
Pondus lapidis = 400 kg m/s2
Pondus lapidis = 400 N
Vis minima ad saxum elevandum necessaria:
Pondus lapidis – Vis sustentationis = 400 N – 200 N = 200 Newtoni.
Exemplum quaestionis quartae:
Pondus rei in aere = 5000 kg m/s2 et pondus rei in aqua = 4000 kg m/s2Si densitas res = 2000 kg/m²3 Quae est massa et volumen rei? g = 10 m/s2
Disputatio
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/s2
Densitas obiecti = 2000 kg/m²3
Densitas aquae = 1000 kg/m²3
Pondus rei in aere = 5000 kg m/s2
Pondus rei in aqua = 4000 kg m/s2
Vis sustentationis (F sustentationis) = Pondus rei in aere – Pondus rei in aqua
F flotabilitatis = 5000 kg m/s2 – 4000 kg m/s2
F flotabilitatis = 1000 kg m/s2
F flotabilitatis = Pondus aquae depulsae
F flotabilitatis = (massa aquae)(g)
F flotabilitatis = (volumen aquae eiecti)(densitas aquae)(g)
Volumen aquae eiectae = Volumen rei in aqua submersae 😉
Ergo volumen rei = 0,1 m²3
Massa rei = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg / m²)3 )( 0,1 m3 )
m = 200 kg
Massa obiecti = 200 kg
Exemplum quaestionis quartae:
Quantum volumen helii requiritur si onus 500 kg aëroplano tollere debet?
Disputatio
Densitas helii = 0,1786 kg/m²3
Densitas aeris = 1,293 kg/m²3
Vis sustentationis = Pondus aeris eiecti = Pondus oneris + Pondus helii
Vis sustentationis = Pondus oneris + pondus helii
Vis sustentationis = (massa oneris)(g) + (massa helii)(g)
Vis sustentationis = (massa oneris + massa helii) g — aequatio 1
Vis sustentationis = Pondus aeris expulsi
Vis sustentationis = (massa aeris expellentis)(g) —- aequatio 2
Aequationem 1 et aequationem 2 coniungimus:
(massa oneris + massa helii)(g) = (massa aeris expellendi)(g)
massa oneris + massa helii = massa aeris expulsi
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ aer)(V aer)
500 kg = (ρ aer)(V aer) – (ρ helium)(V helium)
Volumen aeris eiecti (V aeris) = Volumen helii globum implentis (V helii)
500 kg = (ρ aer - ρ bellum)(V)
Hoc est minimum volumen helii quod requiritur ad pondus in superficie Telluris elevandum. Ut follis altius ferri possit, volumen helii augeri debet. Hoc fit quia densitas aeris cum altitudine decrescit.
