Vectores notio magni momenti in physica sunt, ad quantitates cum directione et magnitudine repraesentandas adhibita. In physica, vectores saepe ad varia phaenomena describenda, ut vim, velocitatem, accelerationem, et alia, adhibentur. Hic articulus exempla complura problematum physicorum vectorium, una cum solutionibus et explicationibus eorum, tractabit.
1. Additio et Subtractio Vectorialis
Exemplum Quaestionis 1:
Duo vectores A et B hoc modo dantur:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Calcula:
1. (A + B)
2. (A – B)
Solutio:
Ad duos vectores addendos, eorum componentes separatim addimus.
1. (A + B):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 - 2)\ mathbf{i} + (4 + 5)\ mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. (A – B):
\[
\mathbf{A} - \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) - (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 - (-2)) mathbf{i} + (4 - 5)\ mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\ mathbf{i} + (-1)\ mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Ergo, eventus est:
\[
\mathbf{A} - \mathbf{B} = 5 \ mathbf{i} - \mathbf{j}
\]
2. Multiplicatio Scalaris (Productum Scalare)
Exemplum Quaestionis 2:
Duo vectores C et D hoc modo dantur:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
Calcula productum scalare (productum scalare) ex \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{D}\).
Solutio:
Productum scalare duorum vectorum \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{D}\) est:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 ∴ 3 + 2 ∴ 4
\]
\[
V = + X
\]
\[
= 26
\]
Ergo, productum scalaris ex \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{D}\) est 26.
3. Productum Crucis
Exemplum Quaestionis 3:
Duo vectores E et F hoc modo dantur:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
Productum transversalem (vel productum transversale) ex (\mathbf{E}) et (\mathbf{F}) computa.
Solutio:
Productum vecturae duorum vectorum E et F computari potest determinante matricis utens:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \incipe{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
1 et 2 et 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}
\]
Determinantem matricis computa:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4)
\]
\[
= \mathbf{i} (12 - 15) - \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) - \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\ mathbf{i} + 6\ mathbf{j}- 3\ mathbf{k}
\]
Ergo, productum vecturae inter (\mathbf{E}\) et (\mathbf{F}\) est:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j}-3\mathbf{k}
\]
4. Magnitudo Vectorialis
Exemplum Quaestionis 4:
Dato vectore (G = 3i – 4j), magnitudinem (longitudinem) vectoris (G) computa.
Solutio:
Magnitudo vectoris G hac formula computari potest:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Ergo magnitudo vectoris \(\mathbf{G}\) est 5.
5. Resolutio Vectorialis
Exemplum Quaestionis 5:
Vector \(\mathbf{H}\) magnitudinem decem unitatum habet et angulum 30° cum axe x format. Componentes vectoris \(\mathbf{H}\) in axibus x et y determina.
Solutio:
Partes vectoris H in axibus x (H_x) et y (H_y) trigonometria computari possunt:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \Cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \ Peccatum (\ theta)
\]
Cum \(|\mathbf{H}| = 10\) et \(\theta = 30°\):
\[
H_x = 10⁻² (30°)
\]
\[
H_y = 10 \sin(30°)
\]
Valores (cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}) et (sin(30°) = \frac{1}{2}):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}
\]
\[
H_y = 10⁻² = 5
\]
Ergo, componentes vectoris \(\mathbf{H}\) sunt:
\[
H_x = 5⁻² (vel 3)
\]
\[
H_y = 5
\]
conclusio
In hoc articulo, exempla problematum vectores in physica tractavimus, ab additione et subtractione vectorum, multiplicatione scalari et cruciata, ad magnitudinem et resolutionem vectorum. Intellectus conceptus et operationis vectorum in physica maximi momenti est, quia multa phaenomena naturalia vectoribus explicari possunt. Speramus haec exempla problematum te adiuvabunt ut conceptum vectorum altius intellegas.
