Exempla Quaestionum de Vectoribus Columnarum et Vectoribus Ordinum Disputantium
In mathematica, praesertim algebra lineari, vectores sunt notio fundamentalis saepe adhibita in variis applicationibus, a modellis physicis ad computationem. Vectores columnarum et vectores ordinum duae formae repraesentationis vectorialis sunt, quarum utraque suis propriis notis et usibus praedita est. Hic articulus exempla problematum et eorum solutiones, quae vectores columnarum et vectores ordinum implicant, tractabit.
Definitio Vectoris Columnae et Vectoris Ordinis
Antequam ad exempla quaestionum earumque disputationem ingrediamur, primum definitiones fundamentales vectorum columnarum et vectorum ordinum recognoscamus.
– Vectores columnae sunt vectores in columna dispositi, id est, una dimensione verticali. Exemplum:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Vectores ordines sunt vectores in ordines dispositi, id est, in una dimensione horizontali. Exemplum:
\[
`w` = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Exemplum 1: Vectores Columnarum Addendo
Quaestio:
Datis duobus vectoribus columnarum sequentibus:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
`pmatrix`, `v` = `pmatrix`
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Summam duorum vectorum columnarum calcula.
Solutio:
Additio duorum vectorum columnarum fit per additionem elementorum correspondentia.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \incipe{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 0 +
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Ergo summa \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v}\) est \(\begin{pmatrix} ∴ \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Exemplum Quaestionis II: Additio Vectorum Ordinis
Quaestio:
Datis duobus vectoribus ordinum sequentibus:
\[
`a` = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, `b` = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}`
\]
Summam duorum vectorum ordinum calcula.
Solutio:
Additio duorum vectorum ordinalium fit per additionem elementorum correspondentia.
\[
`a` + `b` = `pmatrix` 2 & 4 & 6 `pmatrix` + `pmatrix` 1 & 3 & 5 `pmatrix` = `pmatrix` 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 `pmatrix` = `pmatrix` 3 & 7 & 11 `pmatrix`
\]
Ergo, summa \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) est \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Exemplum III: Multiplicatio Scalaris per Vectores Columnarum
Quaestio:
Datis vectore columnae (c) et scalari (k):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Calcula exitum multiplicationis scalaris.
Solutio:
Multiplicatio scalaris per vectorem columnae fit multiplicando unumquodque elementum vectoris per scalarem.
\[
k\mathbf{c} = 2 \incipe{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
bis × -3
Bis quattuor
2 \ times 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Ergo, ex multiplicatione scalaris \(2\) per vectorem columnae \(\mathbf{c}\) evenit \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Exemplum Quaestionis 4: Multiplicatio Scalaris per Vectores Ordinis
Quaestio:
Datis vectore ordinis (d) et scalari (m):
\[
d = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, m = -3
\]
Calcula exitum multiplicationis scalaris.
Solutio:
Multiplicatio scalaris per vectorem ordinalem fit multiplicando unumquodque elementum vectoris per scalarem.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 × 7 & -3 × -2 & -3 × 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Ergo, ex multiplicatione scalaris \(-3\) per vectorem ordinis \(\mathbf{d}\) evenit \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Exemplum V: Multiplicatio Matricis (1 × 3) per (3 × 1) (Vector Ordinis per Vectorem Columnae)
Quaestio:
Data est ordo vectoris \(\mathbf{e}\) et columna vectoris \(\mathbf{f}\);
\[
\mathbf{e} = \incipe{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \incipe{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Productum duorum vectorum calcula.
Solutio:
Ad multiplicationem matricis perficiendam, vector ordinis (e) ut matrix (1 × 3), et vector columnae (f) ut matrix (3 × 1) tractatur. Ex hac multiplicatione resultat scalaris, nempe summa productorum elementorum correspondentium:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \incipe{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \incipe{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
pmatrix = (2 × 5) + (-1 × 3) + (4 × -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Ergo, ex multiplicatione vectoris ordinis \(\mathbf{e}\) per vectorem columnae \(\mathbf{f}\) evenit \(-1\).
Exemplum VI: Multiplicatio Matricis (3 × 1) per (1 × 3) (Vector Columnae per Vectorem Ordinem)
Quaestio:
Datis vectoribus columnae (g) et vectoribus ordinum (h):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
`pmatrix`, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 `pmatrix`
\]
Productum duorum vectorum calcula.
Solutio:
Multiplicatio matricis vectoris columnae per vectorem seriei producit matricem (\(3 × 1\)) multiplicatam per (\(1 × 3\)) quae matricem \(3 × 3\) producit. Quodque elementum novum est productum elementorum suorum correspondentium:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
`pmatrix` `pmatrix` 4 & 5 & 6 `pmatrix` = `pmatrix`
1 × 4 et 1 × 5 et 1 × 6
2 × 4 et 2 × 5 et 2 × 6
3 × 4 & 3 × 5 & 3 × 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 et 5 et 6 \\
8 et 10 et 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Ergo, ex multiplicatione vectoris columnae g per vectorem ordinis h est matrix:
\[
`pmatrix`
4 et 5 et 6 \\
8 et 10 et 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
conclusio
Per hunc articulum, plura exempla vidimus de vectoribus columnae et ordinis. Additio tam vectorum columnae quam ordinis fit per additionem elementorum correspondentia. Multiplicatio scalaris per vectorem etiam fit per multiplicationem cuiusque elementi vectoris per scalarem. Denique, didicimus quomodo vectores ordinis et columnae multiplicemus, producens vel scalarem vel matricem, pro ordine eorum. Peritia harum operationum basicarum est essentialis ad applicationes complexiores in algebra lineari et analysi datorum.
