Exempla Quaestionum de Aequatione Lineae Tangentis ad Circulum Disputantium
Pendahuluan
Aequatio tangentis circuli res magni momenti est in geometria analytica. Intellegere quomodo aequationem tangentis circuli determinare adiuvare potest ad solvendas varias difficultates mathematicas in gradu mediocri et provecto. Hic articulus varia exempla problematum et methodos ad aequationem tangentis circuli determinandam tractabit.
Definitio et Theoria Fundamentalis
Circulus in plano coordinatarum plerumque aequatione quadratica repraesentari potest:
`(x – a)² + (y – b)² = r²`
ubi \((a, b)\) est punctum centrale circuli et \(r\) est radius circuli.
Tangens circulo ab puncto externo est linea quae circulum in uno puncto tangit. Si lineam hanc aequationem habere assumimus:
`y = mx + c`
tum conditio ut linea \(y = mx + c\) circulum tangat hac forma exprimi potest:
`(a + bm)² – r² = |c|`
Ubi \(m\) est inclinatio lineae tangentis et \(c\) est constans.
Formula Aequationis Lineae Tangentis
Pro tangente circuli cuius centrum est 0,0 et radio r, aequatio eius in puncto 1, 1, 2 in circulo est:
`x_1x + y_1y = r^2` (vel fortasse: r²)`
Sed si centrum circuli est in puncto \((a, b)\), tum aequatio est:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^² \]
Exempla Quaestionum et Disputationum
Quaestio III
Circulus cuius centrum est ad \((3, 4)\) et radius 5 unitatum. Aequationem lineae tangentis a puncto \((6, 8)\) determina.
Disputatio:
In hoc problemate, datur circulus cuius centrum est \((3, 4)\), radius est 5, et aequationem lineae tangentis a puncto est \((6, 8)\) invenire debemus. Gradus ad solvendum hic sunt:
1. Verifica punctum \((6, 8)\) non esse intra circulum: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Ergo punctum in circulo est, ita ut ad lineam tangentem inveniendam adhiberi possit.
2. Formula hac utens:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Aequationem simplifica:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Evolvere:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Aequatio lineae tangentis obtentae est:
\[
3x + 4y = 50
\]
Quaestio III
Circulus cum aequatione \[x^² + y^² = 16\]. Determina aequationem lineae tangentis a puncto \((4, 0)\).
Disputatio:
Circulus cuius centrum est ad \((0, 0)\) et radius quattuor unitatum. Punctum exterius datum est \((4, 0)\).
1. Formula circuli cum centro \((0, 0)\) utens:
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Substitutio valoris:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Simplifica:
\[
4x 16 =
\]
\[
4 x =
\]
Quod significat aequationem tangentis quam habemus esse:
\[
4 x =
\]
Quaestio III
Lineam forma quae circulum \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) in puncto \((-1, 5)\) tangat.
Disputatio:
Circulus cuius centrum est ad \((-2, 3)\) et radius trium unitatum. Punctum tangentiae est \((-1, 5)\).
1. Verifica punctum in circulo iacere:
\[
((-1 + 2)^2 + (5 - 3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{non in circulo}
\]
Ergo, error in inscriptione quaestionis vel puncti fieri potest. Si \((-2, 6)\) ut punctum tangentiae datur:
2. Simplifica:
\[
(x_1 - a)(xa) + (y_1 - b)(yb) = r^2
\]
Substitutio:
\[
(-2) (x+2) + (6-3) (y-3) = 9\].
Resultatum:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
Evenit ut punctum & pers.:
y = 6 certe valet. (or: y = 6 certe valet.)
Conclusionis probatio combinationis, memoria tene, duo modi numerandi.
Validum/falsum... Illud Plus summarium gar. td 2; forma validare cum (cratis). plis perimeter omnes puncta tegumenti.
Hoc est omne, gratias ago et spero hoc amicis meis utile esse.
Praeterea, notionem corroborationis intellectus disce.
Qui antea non intellexerunt, si Deus volens, gradus chirurgici criticos accuratiores habebunt.
\[
`.facts(n+x)=qa`. `\color{impedit}-fu`.
"
