Exempla Quaestionum et Disputatio de Distributione Probabilitatis
Distributio probabilitatis est una ex notionibus fundamentalibus in statistica et probabilitate. Adhibetur ad intellegendam probabilitatem variorum valorum numeri fortuiti occurrentium. Distributiones probabilitatis multas formas assumere possunt, secundum naturam datorum quae analysantur. Duo genera distributionum probabilitatis frequentissima sunt discreta et continua. In hoc articulo, exempla problematum aliquot recensebimus et distributiones probabilitatis tractabimus ut melius hanc rem intellegamus.
Distributio Discreta
Distributio discreta est distributio quae probabilitatem variabilis fortuitae discretae, id est, variabilis quae tantum certos valores accipere potest, computat. Exempla distributionum discretarum bene nota sunt Distributio Binomialis et Distributio Poissoniana.
Exemplum 1: Distributio Binomialis
Distributio binomialis numerum successuum in serie experimentorum Bernoullianorum describit. Quodque experimentum Bernoullianum duos exitus habet: successum aut defectum. Probabilitas successus per totum experimentum constans manet.
Quaestio:
Societas pharmaceutica novum medicamentum in decem aegrotis experitur. Probabilitas ut medicamentum in unoquoque aegroto prosit est 0.7. Calcula probabilitatem ut medicamentum in exacte septem ex decem aegrotis prosit.
Disputatio:
Variabilis fortuita ∫(X) distributionem binomialem cum ∫(n = 10) et ∫(p = 0.7) sequitur. Functio probabilitatis binomialis est:
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^n – k}
Pro k = 7:
P(X = 7) = 10/7 (0.7)^7 (0.3)^3)
Coefficiens binomialis (\binom{10}{7}\) computatur:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Calculatio probabilitatis valorum:
P(X = 7) = 120 × (0.7)^7 × (0.3)^3
P(X = 7) circiter 120 × 0.0823543 × 0.027
P(X = 7) circiter 0.231
Ergo, probabilitas ut medicamentum in exacte septem ex decem aegris operetur est circiter 0.231 vel 23.1%.
Exemplum II: Distributio Poissoniana
Distributio Poissoniana adhibetur ad repraesentandum numerum occurrentium eventus rari intra datum intervallum temporis vel spatii.
Quaestio:
Taberna quattuor clientes per horam accipit. Quae est probabilitas ut taberna quinque clientes intra horam unam accipiat?
Disputatio:
Variabilis fortuita ∫(X) distributionem Poissonianam cum parametro λ = 4 sequitur. Functio probabilitatis massae Poissonianae est:
P(X = k) = \frac{λke^{-λ}{k!}
Pro k = 5:
P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!}
Numerus:
P(X = 5) = (1024²⁴ e -4/120)
P(X = 5) circiter \frac{1024²⁴ \cdot 0.0183}{120}]
P(X = 5) circiter 0.156
Ergo, probabilitas ut taberna exacte quinque clientes intra unam horam accipiat est circiter 0.156, sive 15.6%.
Distributio Continua
Distributiones continuae adhibentur cum variabilis fortuita mensurata quemvis valorem intra certum ambitum assumere potest. Exempla distributionum continuarum bene nota sunt Distributio Normalis et Distributio Exponentialis.
Exemplum III: Distributio Normalis
Distributio Normalis, saepe Distributio Gaussiana appellata, est distributio vulgo adhibita in variis campis, inter quos scientia, ingeniaria, et oeconomia.
Quaestio:
Altitudines virorum adultorum in urbe normaliter distribuuntur cum media 170 cm et deviatione standard 10 cm. Quae est probabilitas ut vir temere electus inter 160 cm et 180 cm altus sit?
Disputatio:
Necesse est nobis z-score pro 160 cm et 180 cm computare. Z-score definitur ut:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Pro \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \tfrac{160- 170}{10} = -1 \]
Pro \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \tfrac{180-170}{10} = 1 \]
Nunc valores probabilitatis ab -1 ad 1 in tabula z inspicere debemus. Valor ab z = -1 ad z = 1 est circiter 0.6826.
Ergo, probabilitas ut vir temere electus inter 160 cm et 180 cm altus sit circiter 0.6826 vel 68.26%.
Exemplum IV: Distributio Exponentialis
Distributio exponentialis ad tempus inter eventa in processu Poissoniano simulandum adhibetur.
Quaestio:
Tempus medium inter adventum duorum emptorum ad tabernam quindecim minuta est. Quae est probabilitas ut tempus inter adventum duorum emptorum minus quam decem minuta sit?
Disputatio:
Distributio exponentialis parametrum λ habet, qui est inversum mediae (μ). Cum media 15 minutorum sit:
`lambda = frac{1}{\mu} = frac{1}{15} = 0.0667`
Functio distributionis cumulativae exponentialis est:
P(X ≤ x) = 1 – e^{- λ x}
Pro \(x = 10\):
P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 × 10}}
P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667}
P(X ≤ 10) circiter 1 – 0.5134
P(X ≤ 10) circiter 0.4866
Ergo, probabilitas ut tempus inter duos adventus clientium minus quam decem minuta sit est circiter 0.4866 vel 48.66%.
conclusio
Distributiones probabilitatis, sive discretae sive continuae, notiones perutiles sunt ad simulandum et intellegendum mores variabilium fortuitarum. Distributiones binomialis et Poissoniana saepe ad variabiles discretas adhibentur, dum distributiones normales et exponentiales exempla distributionum continuarum sunt.
Per exempla supra scripta, speramus te meliorem intellectum consecutum esse quomodo probabilitates in distributionibus probabilitatis computare et interpretari oporteat. Usu constanti, facultas tua distributiones probabilitatis intellegendi meliorabitur et per varias disciplinas adhiberi poterit.
